宜昌市近五届中考数学几何压轴题题汇编及答案文档格式.docx
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(1)求∠D的度数;
(2)若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH,
①如图1,连接GH,AD,当GH⊥AD时,请判断四边形AGDH的形状,并证明;
②当四边形AGDH的面积最大时,过A作AP⊥EF于P,且AP=AD,求k的值.
(第23题图1)(第23题图2供参考用)(第23题图3供参考用)
图1图2
参考答案:
【2012/23】
解:
(1)不是.…1分
据题意得:
AE=GE,∠EGB=∠EAB=90°
,
∴Rt△EGD中,GE<ED,
∴AE<ED,
故,点E不可以是AD的中点;
…2分
(注:
大致说出意思即可;
反证法叙述也可)
(2)方法一:
证明:
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBF,
∵△EAB≌△EGB,
∴∠AEB=∠BEG,
∴∠EBF=∠BEF,
∴FE=FB,
∴△FEB为等腰三角形.
∵∠ABG+∠GBF=90°
,∠GBF+∠EFB=90°
∴∠ABG=∠EFB,…4分
在等腰△ABG和△FEB中,∠BAG=(180°
﹣∠ABG)÷
2,
∠FBE=(180°
﹣∠EFB)÷
∴∠BAG=∠FBE,…5分
∴△ABG∽△BFE,(注:
证一对角对应等评2分,第二对角对应等评1分,该小问3分,若只证得△FEB为等腰三角形,评1分.)
方法二:
∠ABG=∠EFB(见方法一),…4分
证得两边对应成比例:
,…5分
由此可得出结论.
两边对应成比例,夹角等证得相似,若只证得△FEB为等腰三角形,评1分.)
(3)①方法一:
∵四边形EFCD为平行四边形,
∴EF∥DC,
证明两个角相等,得△ABD∽△DCB,…7分
∴,
即,
∴a2+b2=ac;
…8分
如图,过点D作DH⊥BC,
∵四边形EFCD为平行四边形
∴∠C=∠EFB,
∵△ABG∽△BFE,
∴∠EFB=∠GBA,
∴∠C=∠ABG,
∵∠DAB=∠DHC=90°
∴△ABD∽△HCD,…7分
…8分(注:
或利用tan∠C=tan∠ABD,对应评分)
方法三:
证明△ABD∽△GFB,则有,
∴,则有BF=,…6分
∴FC=ED=c﹣,
∵ED∥BC,
∴△EDG∽△FBG,
②方法一:
解关于a的一元二次方程a2﹣ac+22=0,得:
a1=,a2=…9分
由题意,△=0,即c2﹣16=0,
∵c>0,
∴c=4,
∴a=2…10分
∴H为BC的中点,且ABHD为正方形,DH=HC,∠C=45°
;
…11分
设关于a的一元二次方程a2﹣ac+22=0两根为a1,a2,
a1+a2=c>0,a1•a2=4>0,
∴a1>0,a2>0,…9分
∴a=2,…10分
.…11分
【2013/23】
(1)①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧,当点A在⊙O上时,过点B作的一条切线BE,E为切点,
∴OB=4,EO=2,∠OEB=90°
∴∠EBA的度数是:
30°
②如图2,
∵直线l与⊙O相切于点F,
∴∠OFD=90°
∵正方形ADCB中,∠ADC=90°
∴OF∥AD,
∵OF=AD=2,
∴四边形OFDA为平行四边形,
∵∠OFD=90°
∴平行四边形OFDA为矩形,
∴DA⊥AO,
∵正方形ABCD中,DA⊥AB,
∴O,A,B三点在同一条直线上;
∴EA⊥OB,
∵∠OEB=∠AOE,
∴△EOA∽△BOE,
∴=,
∴OE2=OA•OB,
∴OA(2+OA)=4,
解得:
OA=﹣1±
∵OA>0,∴OA=﹣1;
在Rt△OAE中,cos∠EOA==,
在Rt△EOB中,cos∠EOB==,
∵OE⊥EB,EA⊥OB,
∴由射影定理,得OE2=OA•OB,
∵OA>0,
∴OA=﹣1;
(2)如图3,设∠MON=n°
,S扇形MON=×
22=n(cm2),
S随n的增大而增大,∠MON取最大值时,S扇形MON最大,
当∠MON取最小值时,S扇形MON最小,
过O点作OK⊥MN于K,
∴∠MON=2∠NOK,MN=2NK,
在Rt△ONK中,sin∠NOK==,
∴∠NOK随NK的增大而增大,∴∠MON随MN的增大而增大,
∴当MN最大时∠MON最大,当MN最小时∠MON最小,
①当N,M,A分别与D,B,O重合时,MN最大,MN=BD,
∠MON=∠BOD=90°
,S扇形MON最大=π(cm2),
②当MN=DC=2时,MN最小,
∴ON=MN=OM,
∴∠NOM=60°
S扇形MON最小=π(cm2),
∴π≤S扇形MON≤π.
【2014/23】
(1)①∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADH=90°
∵DH=DA,
∴∠DAH=∠DHA=45°
∴∠HAE=45°
∵HA=HG,
∴∠HAE=∠HGA=45°
故答案为:
45°
②分两种情况讨论:
第一种情况:
∵∠HAG=∠HGA=45°
∴∠AHG=90°
由折叠可知:
∠HAE=∠F=45°
,∠AHE=∠FHE,
∵EF∥HG,
∴∠FHG=∠F=45°
∴∠AHF=∠AHG﹣∠FHG=45°
即∠AHE+∠FHE=45°
∴∠AHE=22.5°
此时,当B与G重合时,a的值最小,最小值是2;
第二种情况:
∴∠HGA=∠FEA=45°
即∠AEH+∠FEH=45°
∠AEH=∠FEH,
∴∠AEH=∠FEH=22.5°
∴∠GHE=∠FEH=22.5°
∴∠AHE=90°
+22.5°
=112.5°
此时,当B与E重合时,a的值最小,
设DH=DA=x,则AH=CH=x,
在Rt△AHG中,∠AHG=90°
,由勾股定理得:
AG=AH=2x,
∵∠AEH=∠FEH,∠GHE=∠FEH,
∴∠AEH=∠GHE,
∴GH=GE=x,
∴AB=AE=2x+x,
∴a的最小值是=2+;
(2)如图:
过点H作HQ⊥AB于Q,则∠AQH=∠GOH=90°
在矩形ABCD中,∠D=∠DAQ=90°
∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°
∴四边形DAQH为矩形,
∴AD=HQ,
设AD=x,GB=y,则HQ=x,EG=2y,
∠AEH=∠FEH=60°
∴∠FEG=60°
在Rt△EFG中,EG=EF×
cos60°
,EF=4y,
在Rt△HQE中,EQ==x,
∴QG=QE+EG=x+2y,
∵HA=HG,HQ⊥AB,
∴AQ=GQ=x+2y,
∴AE=AQ+QE=x+2y,
AE=EF,
∴x+2y=4y,
∴y=x,
∴AB=2AQ+GB=2(x+2y)+y=x,
∴a==.
【2015/23】
(1)∵EF是⊙O的直径,∴∠FDE=90°
(2)四边形FACD是平行四边形.
理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AC⊥BD,
∴∠AEB=90°
.
又∵∠FDE=90°
∴∠AEB=∠FDE,
∴AC∥DF,
∴四边形FACD是平行四边形;
(3)①连接GE,如图.
∵四边形ABCD是菱形,∴点E为AC中点.
∵G为线段DC的中点,∴GE∥DA,
∴∠FHI=∠FGE.
∵EF是⊙O的直径,∴∠FGE=90°
∴∠FHI=90°
∵∠DEC=∠AEB=90°
,G为线段DC的中点,
∴DG=GE,
∴∠1=∠2.
∵∠1+∠3=90°
,∠2+∠4=90°
∴∠3=∠4,
∴FD=FI;
②∵AC∥DF,∴∠3=∠6.
∵∠4=∠5,∠3=∠4,
∴∠5=∠6,∴EI=EA.
∵四边形ABCD是菱形,四边形FACD是平行四边形,
∴DE=BD=n,AE=AC=m,FD=AC=2m,
∴EF=FI+IE=FD+AE=3m.
在Rt△EDF中,根据勾股定理可得:
n2+(2m)2=(3m)2,
即n=m,
∴S⊙O=π()2=πm2,S菱形ABCD=•2m•2n=2mn=2m2,
∴S⊙O:
S菱形ABCD=.
【2016/23】
(1)∵AB2+AC2=100=BC2,
∴∠BAC=90°
∵△DEF∽△ABC,
∴∠D=∠BAC=90°
(2)①四边形AGDH为正方形,
理由:
如图1,
延长ED交BC于M,延长FD交BC于N,
∴∠B=∠C,
∵EF∥BC,
∴∠E=∠EMC,
∴∠B=∠EMC,
∴AB∥DE,
同理:
DF∥AC,
∴四边形AGDH为平行四边形,
∵∠D=90°
∴四边形AGDH为矩形,
∵GH⊥AD,
∴四边形AGDH为正方形;
②当点D在△ABC内部时,四边形AGDH的面积不可能最大,
如图2,
点D在内部时(N在△ABC内部或BC边上),延长GD至N,过N作NM⊥AC于M,
∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH,
∴点D在△ABC内部时,四边形AGDH的面积不可能最大,
只有点D在BC边上时,面积才有可能最大,
如图3,
点D在BC上,
∵DG∥AC,
∴△BGD∽△BAC,
∴AH=8﹣GA,
S矩形AGDH=AG×
AH=AG×
(8﹣AG)=﹣AG2+8AG,
当AG=﹣=3时,S矩形AGDH最大,此时,DG=AH=4,
即:
当AG=3,AH=4时,S矩形AGDH最大,
在Rt△BGD中,BD=5,
∴DC=BC﹣BD=5,
点D为BC的中点,
∵AD=BC=5,
∴PA=AD=5,
延长PA,∵EF∥BC,QP⊥EF,
∴QP⊥BC,
∴PQ是EF,BC之间的距离,
∴D是EF的距离为PQ的长,
在△ABC中,AB×
AC=BC×
AQ
∴AQ=4.8
∴k===.
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