二次函数学案(全章)Word下载.doc
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(1)
(2)(3)
(4)(5)(6)
三、挖掘教材
6.对二次函数定义的深刻理解及运用
例2若函数是二次函数,求k的值。
分析:
x的最高次数等于2,即k2-3k+2=2,求出k的值即可。
解:
若函数是二次函数,则k的值为。
四、反思小结
1.我们通过观察、思考、合作,交流,归纳出二次函数的概念,并从中体会函数的建模思想。
2.定义:
一般地,形如y=ax²
+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。
3.二次函数y=ax²
+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²
(a≠0);
(2)y=ax²
+c(a≠0且c≠0);
(3)y=ax²
+bx(a≠0且b≠0)。
4.二次函数定义的核心是关键字“二”,即必须满足自变量最高次项的指数为_____,且______项系数不为_____的整式。
【达标测评】
1.下列函数不属于二次函数的是()
A.y=(x-1)(x+2) B.y=(x+1)2C.y=2(x+3)2-2x2 D.y=1-x2
2.在边长为6cm的正方形中间剪去一个边长为xcm(x<
6)的小正方形,剩下的四方框形的面积为y,则y与x之间的函数关系是。
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地,场地面积S(m²
)与矩形一边长a(m)之间的关系式是,它是函数。
4.正方形的边长是5,若边长增加x,面积增加y,则y与x之间的函数表达式为。
5.当m=时,是二次函数;
若函数是二次函数,则m=。
6.已知函数y=ax2+bx+c(其中a,b,c都是常数):
当a时,它是二次函数;
当a,b时,它是一次函数;
当a,b,c时,它是正比例函数。
7.若函数y=(k2-4)x2+(k+2)x+3是二次函数,则k。
第2课时二次函数y=ax2的图象与性质
【学习目标】1.能够利用描点法做出函数y=ax2的图象,能根据图象认识和理解二次函数y=ax2的性质;
2.理解二次函数y=ax2中a对函数图象的影响。
【学习重点】经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验。
【学习难点】能够利用描点法作出函数的图象,并能根据图象认识和理解二次函数y=ax2的性质。
1.正比例函数y=kx(k≠0)是图像是。
2.一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是。
3.反比列函数y=(k≠0)的图像是。
4.当我们还不了解一种函数图像的形状时,只能用描点法研究,描点法的一般步骤是:
,,。
二、解读教材
x
y
O
5.试作出二次函数y=x2的图象。
(1)画出图象:
①列表:
(注意选择适当的x值,并计算出相应的y值)
……
y=x2
②描点:
(在右图坐标系中描点)
③连线:
(应注意用光滑的曲线连接各点)
(2)根据图像,进行小结:
①y=x2的图像是,且开口方向是。
这就是回答最值的标准格式。
②它是对称图像,对称轴是轴。
在对称轴的左侧(x>
0),y随x的增大而;
在对称轴的右侧(x<
0),y随x的增大而。
③图像与对称轴有交点,称为抛物线的顶点,从图中可以看出也是图像的最低点,
此时,坐标为(,)。
④因为图像有最低点,所以函数有最值,当x=0时,y最小=。
6.变式训练1作出二次函数y=-x2的图象。
y=-x2
小结:
①y=-x2的图像是,且开口向。
②对称轴是,在对称轴左右的增减性分别是:
在对称轴左侧,y随x的增大,在对称轴的右侧,y随x的增大。
③顶点坐标是:
(,),且从图像看出它有最点,所以函数有最值。
当x=0时,。
7.变式训练2作出y=2x2,y=0.5x2的图像。
y=2x2
y=0.5x2
8.根据上面的图象,从图象的开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标、最值等五个方面进行归纳。
表达式
草图
开口
对称轴
顶点
最值
增减性
x>
x<
y=ax2(a>
0)
y=ax2(a<
同时,a决定图象在同一直角坐标系中的开口方向,|a|越小图象开口。
9.例已知:
抛物线,当x>
0时,y随x的增大而增大,求m的值。
①函数的图象是抛物线,则它是二次函数,所以m2+m-10=2,且m≠0;
②当x>
0时,y随x的增大而增大,所以m>
0。
由题意得:
解得:
又∵当x>
0时,y随x的增大而增大,所以m>
∴m=3
10.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8),
(1)求此抛物线的函数解析式;
(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上;
(3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
二次函数的y=ax2(a≠0)的图象与性质:
五个方面理解:
,,,,。
1.抛物线y=2x2的顶点坐标是,对称轴是,在侧,y随着x的增大而增大;
在侧,y随着x的增大而减小。
当x=时,函数y的值最小,最小值是。
抛物线y=2x2的图象在方(除顶点外)。
2.函数y=x2的顶点坐标为,若点(a,4)在其图象上,则a的值是。
3.函数y=x2与y=-x2的图象关于对称,也可以认为y=-x2是函数y=x2的图象绕旋转得到的。
4.求出函数y=x+2与函数y=x2的图象的交点坐标。
5.若a>
1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,判断y1,y2,y3的大小关系是。
第3课时二次函数y=ax2+k的图象与性质
【学习目标】1.会用描点法作出函数y=ax2+k的图象,能根据图象认识和理解二次函数y=ax2+k的性质;
2.理解二次函数y=ax2+k中a和k对函数图象的影响;
3.理解二次函数y=ax2与y=ax2+k的关系。
【学习重点】理解二次函数y=ax2+k的性质。
【学习难点】理解二次函数y=ax2与y=ax2+k的关系。
【学习过程】一、学习准备1.画出两条抛物线的草图并填空。
抛物线
开口方向
在对称轴左侧,y随x的增大而。
在对称轴右侧,y随x的增大而。
顶点坐标
当x=0时,ymax=。
二、解读教材2.用描点法作出二次函数y=2x2+1的图像。
y=2x2+1
①y=2x2+1的图像是,且开口向。
②对称轴是,在对称轴左右的增减性分别是:
在对称轴左侧,y随x的增大而;
在对称轴的右侧,y随x的增大而。
③顶点是:
(,),且从图像看它有最点,则函数y有最值,即当x=时y有最值是。
3.在同一直角坐标系中,作出二次函数y=-x2,y=-x2+2,y=-x2-2的图像。
y=-x2+2
y=-x2-2
①抛物线y=ax2+k的开口方向由决定,当时,开口向上;
当时,开口向下。
②对称轴是,当a>
0时,在对称轴左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而。
且函数y当x=0时ymin=。
当a<
时,在对称轴左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而。
且函数y当x=0时ymax=。
③顶点坐标是(,)。
④y=-x2的顶点坐标是(,),y=-x2+2的顶点坐标是(,)所以y=-x2向平移个单位便可以得到y=-x2+2。
y=-x2-2的顶点坐标是(,)所以y=-x2+2向平移个单位便可以得到y=-x2-2。
4.变式训练1二次函数y=x2+3的图像是线,开口向,顶点坐标是,对称轴是;
当x>
0时,y随x的增大而。
当x=时,y有最值为。
三、挖掘教材---抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2经过向上(k>
0)或向下(k<
0)平移|k|个单位得到。
5.函数y=-2x2的图像向下平移3个单位,就得到函数;
函数y=-4+x2的图像可以看作函数y=x2的图像向平移个单位而得到。
6.已知:
二次函数y=ax2+1的图像与反比列函数y=的图像有一个公共点是(-1,-1)。
(1)求二次函数及反比例函数解析式;
(2)在同一坐标系中画出它们的图形,说明x取何值时,二次函数与反比例函数都随x的增大而减小。
四、反思小结:
1.填表回忆
函数
y=ax2+k(a>
y=ax2+k(a<
2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2经过向(k>
0)或向(k<
0)平移个单位得到。
1.抛物线y=-x2-5可以看作是抛物线经过向平移个单位得到。
2.抛物线y=x2+4的开口向,对称轴是,在对称轴左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而;
顶点坐标是,当x=时,y有最值为。
3.抛物线y=-3x2上有两点A(x,-27),B(2,y),则x=,y=。
4.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点为(2,b),则k=,b=。
第4课时二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与性质
【学习目标】1.能够作出函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象,并能理解它与y=ax2的图象的关系,理解a,h,k对二次函数图象的影响;
2.能够正确说出二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
你画出这条抛物线的“尖”了吗?
【学习重点】能够作出函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象,正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况。
(1)y=2x²
(2)y=-2x²
+1
2.请说出二次函数y=ax²
+c与y=ax²
的关系。
3.我们已知y=ax²
,y=ax²
+c的图像及性质,现在同学们可能想探究y=ax²
+bx的图像,那我们就动手画图像。
y=x²
+x
列表、描点、连线。
4.由学习准备可知,我们如果知道一条抛物线的顶点坐标,那么画图像就比较简单,所以我们可以先配成完全平方式结构。
现在我们画二次函数y=3(x-1)2+2的图象.在同一直角坐标系中作y=3x²
,y=3(x-1)2,y=3(x-1)2+2的图像,并结合图像完成下表。
观察后得到:
二次函数y=3x2,y=3(x-1)2,y=3(x-1)2+2的图象都是抛物线.并且形状相同,开口方向相同,只是位置不同,顶点不同,对称轴不同,将函数y=3x2的图象向右平移1个单位,就得到函数y=3(x-1)2的图象;
再向上平移2个单位,就得到函数y=3(x-1)2+2的图象.
5.抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k
在前面的学习中你发现二次函数y=a(x-h)2+k中的a,h,k决定了图形什么?
用自己的语言整理得:
同桌交流看是否有遗漏!
然后填写下表。
y=a(x-h)2+k
a>0
a<0
y=a(x-横)2+纵
直接说出抛物线y=-0.5x²
,y=-0.5x²
-1,y=-0.5(x+1)²
,y=-0.5(x+1)²
-1的开口方向、对称轴、顶点坐标。
6.例已知:
抛物线y=a(x-h)2+k的形状及开口方向与y=-2x2+1相同,当x=2时,函数有最大值3,求a,h,k的值。
即时练习
已知抛物线的顶点坐标是(3,5)且经过点A(2,-5),请你求出此抛物线的解析式。
7.例二次函数的顶点坐标是,把它的图像向右平移2个单位再向下平移2个单位此时得到的抛物线顶点坐标为,它的解析式为。
y=ax2
y=a(x–h)2
上下平移
左右平移
y=a(x–h)2+k
y=ax2+k
1.一般地,平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数为y=ax2+c,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k的图象.(规律为:
上正下负,右正左负)
2.二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k的图象是轴对称图形,对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k),a决定开口方向和大小,a>0时,开口向上,有最小值k;
a<0时,开口向下,有最大值k。
1.指出下面函数的开口方向,对称轴,顶点坐标,最值。
(1)y=2(x-3)2-5
(2)y=-0.5(x+1)2(3)y=-0.75x2-1
(4)y=2(x-2)2+5(5)y=-0.5(x+4)2+2(6)y=-0.75(x-3)2
2.函数y=x2的图象向平移个单位得到y=x2+3的图象;
再向平移个单位得到y=(x-1)2+3的图象。
第5课时二次函数的图象与性质
【学习目标】1.理解用配方法推导二次函数的顶点坐标,对称轴公式的过程;
2.会用公式求二次函数的顶点坐标,对称轴;
3.会画二次函数的图象,理解二次函数的性质。
【学习重点】会用公式求二次函数的顶点坐标,对称轴。
【学习难点】理解用配方法推导公式的过程。
【课时类型】公式法则学习
1.理解记忆:
向上
直线
(h,k)
向下
2.二次函数的顶点坐标是,对称轴是。
3.公式推导——二次函数图象的顶点坐标,对称轴公式。
由上一节课,我们看到一个二次函数通过配方化成顶点式来研究了二次函数中的a、h、k对二次函数图象的影响。
但我觉得,这样的恒等变形运算量较大,而且容易出错。
那么这节课,我们就研究一般形式的二次函数图象的作法和性质。
例1求二次函数图象的顶点坐标,对称轴。
横==h,纵==k
=
二次函数的顶点坐标是(),对称轴是直线。
4.公式应用——用公式求函数的顶点坐标,对称轴。
(1)分别用配方法,公式法确定下列二次函数的顶点坐标,对称轴并比较其解值。
①②
5.实际操作——画二次函数的图象
(2)已知:
二次函数
①指出函数图象的顶点坐标,对称轴。
②画出所给函数的草图,并研究它的性质。
三、挖掘教材——二次函数的性质
6.抛物线()通过配方可变形为y=
(1)开口方向:
当时,开口向;
当时,开口向。
(2)对称轴是直线;
顶点坐标是。
(3)最大(小)值:
当,时,ymin=;
当,时,ymax=。
(4)增减性:
当时,对称轴左侧(),y随x增大而;
对称轴右侧(),y随x增大而;
根据公式法指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标,对称轴、最值和增减性。
①②
③④
第6课时二次函数与一元二次方程
【学习目标】1.体会二次函数与一元二次方程之间的联系;
2.理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
【学习重点】把握二次函数图象与x轴(或y=h)交点的个数与一元二次方程的根的关系。
【学习难点】应用一元二次方程根的判别式、求根公式对二次函数及其图象进行进一步的理解,并结合二次函数的图象加以分析以解决一些问题。
1.已学二次函数的哪两种表达式?
2.分解因式:
x2-2x-3;
3.解方程:
x2-2x-3=0
4.一元二次方程的两根x1,x2在哪里?
在坐标系中画出二次函数y=x2-2x-3的图象,研究抛物线与x轴的交点,你发现了什么?
再找一个一元二次方程和二次函数试一试吧!
5.二次函数的两根式(交点式)
二次函数的另一种表达式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)叫做二次函数
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- 关 键 词:
- 二次 函数