解直角三角形的应用测试题带答案Word文件下载.docx
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12.如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30∘,测得底部C的俯角为60∘,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米,那么该建筑物的高度BC约为______米.(精确到1米,参考数据:
3≈1.73)
121415
13.小明沿着坡度i为1:
3的直路向上走了50m,则小明沿垂直方向升高了______m.
14.如图,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60∘,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45∘,则调整后楼梯AC长为______米.
15.如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为34∘的斜坡,从A滑行至B,已知AB=500米,则这名滑雪运动员的高度下降了______米.(参考数据:
sin34∘≈0.56,cos34∘≈0.83,tan34∘≈0.67)
16.如图,为测量某栋楼房AB的高度,在C点测得A点的仰角为30∘,朝楼房AB方向前进10米到达点D,再次测得A点的仰角为60∘,则此楼房的高度为______米(结果保留根号).
161718
17.如图,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30∘、45∘,如果此时热气球C处的高度为200米,点A、B、C在同一直线上,则AB两点间的距离是______米(结果保留根号).
18.如图,水库堤坝的横断面是梯形,测得BC长为30m,CD长为205m,斜坡AB的坡比为1:
3,斜坡CD的坡比为1:
2,则坝底的宽AD为______m.
19.如图,某堤坝的斜坡AB的斜角是α,坡度是1:
3,则α=______.
20.某兴趣小组借助无人飞机航拍,如图,无人飞机从A处飞行至B处需12秒,在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75∘,B处的仰角为30∘.已知无人飞机的飞行速度为3米/秒,则这架无人飞机的飞行高度为(结果保留根号)______米.
三、计算题(本大题共4小题,共24.0分)
21.如图,某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库,高2.5米;
上面五层居住,每层高度相等.测角仪支架离地1.5米,在A处测得五楼顶部点D的仰角为60∘,在B处测得四楼顶部点E的仰角为30∘,AB=14米.求居民楼的高度(精确到0.1米,参考数据:
22.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园.如图,无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒,在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75∘,B处的仰角为30∘.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒,求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)
23.如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18∘,教学楼底部B的俯角为20∘,量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m.
(1)求∠BCD的度数.
(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m,参考数据:
tan20∘≈0.36,tan18∘≈0.32)
24.如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米,坡角∠DCE=30∘,小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60∘,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45∘,其中点A、C、E在同一直线上.
(1)求斜坡CD的高度DE;
(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)
四、解答题(本大题共2小题,共16.0分)
25.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30∘,测得大楼顶端A的仰角为45∘(点B,C,E在同一水平直线上),已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B,C两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据:
2≈1.414,3≈1.732)
26.如图,某湖中有一孤立的小岛,湖边有一条笔直的观光小道AB,现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PQ通往小岛,某同学在观光道AB上测得如下数据:
AB=100米,∠PAB=45∘,∠PBA=30∘.请求出小桥PQ的长.(2≈1.414,3≈1.732,结果精确到0.1米)
答案和解析
【答案】
1.A 2.B 3.D 4.B 5.A 6.C 7.B
8.B 9.D 10.C
11.8
12.208
13.25
14.26
15.280
16.53
17.200(3+1)
18.130
19.30∘
20.93+9
21.解:
设每层楼高为x米,
由题意得:
MC'
=MC-CC'
=2.5-1.5=1米,
∴DC'
=5x+1,EC'
=4x+1,
在Rt△DC'
A'
中,∠DA'
C'
=60∘,
∴C'
=DC'
tan60∘=33(5x+1),
在Rt△EC'
B'
中,∠EB'
=30∘,
=EC'
tan30∘=3(4x+1),
∵A'
=C'
-C'
=AB,
∴3(4x+1)-33(5x+1)=14,
解得:
x≈3.17,
则居民楼高为5×
3.17+2.5≈18.4米.
22.解:
如图,作AD⊥BC,BH⊥水平线,
∠ACH=75∘,∠BCH=30∘,AB//CH,
∴∠ABC=30∘,∠ACB=45∘,
∵AB=32m,
∴AD=CD=16m,BD=AB⋅cos30∘=163m,
∴BC=CD+BD=(163+16)m,
则BH=BC⋅sin30∘=(83+8)m.
23.解:
(1)过点C作CE⊥BD,则有∠DCE=18∘,∠BCE=20∘,
∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18∘+20∘=38∘;
(2)由题意得:
CE=AB=30m,
在Rt△CBE中,BE=CE⋅tan20∘≈10.80m,
在Rt△CDE中,DE=CD⋅tan18∘≈9.60m,
∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m,
则教学楼的高约为20.4m.
24.解:
(1)在Rt△DCE中,DC=4米,∠DCE=30∘,∠DEC=90∘,
∴DE=12DC=2米;
(2)过D作DF⊥AB,交AB于点F,
∵∠BFD=90∘,∠BDF=45∘,
∴∠BFD=45∘,即△BFD为等腰直角三角形,
设BF=DF=x米,
∵四边形DEAF为矩形,
∴AF=DE=2米,即AB=(x+2)米,
在Rt△ABC中,∠ABC=30∘,
∴BC=ABcos30∘=x+232=2x+43=3(2x+4)3米,
BD=2BF=2x米,DC=4米,
∵∠DCE=30∘,∠ACB=60∘,
∴∠DCB=90∘,
在Rt△BCD中,根据勾股定理得:
2x2=(2x+4)23+16,
x=4+43,
则AB=(6+43)米.
25.解:
如图,过点D作DF⊥AB于点F,过点C作CH⊥DF于点H.
则DE=BF=CH=10m,
在直角△ADF中,∵AF=80m-10m=70m,∠ADF=45∘,
∴DF=AF=70m.
在直角△CDE中,∵DE=10m,∠DCE=30∘,
∴CE=DEtan30∘=1033=103(m),
∴BC=BE-CE=70-103≈70-17.32≈52.7(m).
答:
障碍物B,C两点间的距离约为52.7m.
26.解:
设PQ=x米,
在直角△PAQ中,tan∠PAQ=xAQ,
∴AQ=xtan45∘=x,
在直角△PBQ中,tan∠PBQ=xBQ,
∴BQ=xtan30∘=3x,
∵AB=100米,
∴x+3x=100,
x=503-50≈36.6(米).
小桥PQ的长度约是36.6米.
【解析】
1.解:
设PA=PB=PB'
=x,
在RT△PCB'
中,,
∴x-1x=sinα,
∴x-1=xsinα,
∴(1-sinα)x=1,
∴x=11-sinα.
故选:
A.
=x,在RT△PCB'
中,根据,列出方程即可解决问题.
本题考查解直角三角形、三角函数等知识,解题的关键是设未知数列方程,属于中考常考题型.
2.解:
在Rt△ABD中,∵sin∠ABD=ADAB,
∴AD=4sin60∘=23(m),
在Rt△ACD中,∵sin∠ACD=ADAC,
∴AC=23sin45∘=26(m).
故选B.
先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD,然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可.
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角:
坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比,又叫做坡比,它是一个比值,反映了斜坡的陡峭程度,一般用i表示,常写成i=1:
m的形式.把坡面与水平面的夹角α叫做坡角,坡度i与坡角α之间的关系为:
i=tanα.
3.解:
在Rt△ABC中,BC=AC⋅tanθ=4tanθ(米),
∴AC+BC=4+4tanθ(米),
∴地毯的面积至少需要1×
(4+4tanθ)=4+4tanθ(米 2);
D.
由三角函数表示出BC,得出AC+BC的长度,由矩形的面积即可得出结果.
本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算;
由三角函数表示出BC是解决问题的关键.
4.解:
如图,过点B作BN⊥AM于点N.
由题意得,AB=40×
12=20海里,∠ABM=105∘.
作BN⊥AM于点N.
在直角三角形ABN中,BN=AB⋅sin45∘=102.
在直角△BNM中,∠MBN=60∘,则∠M=30∘,
所以BM=2BN=202(海里).
过点B作BN⊥AM于点N.根据三角函数求BN的长,从而求BM的长.
解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.
5.解:
∵sina=hm,
∴m=hsina.
故选A.
根据三角函数的定义即可求解.
本题考查了三角函数的定义,理解定义是关键.
6.【分析】
根据题意求出CE的长,根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质求出AE的长,根据正弦的定义计算即可.
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题,理解仰角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
【解答】
解:
由题意得,CE=DF=120m,
∠EAC=∠AEG-∠ACE=30∘,
∴∠EAC=∠ECA,
∴AE=DF=120m,
∴AG=AE×
sin∠AEG=603m,
∴AB=AG+GB=(603+1)m.
C.
7.解:
∵第一艘快艇沿北偏西70∘方向,第二艘快艇沿南偏西20∘方向,
∴∠BOA=90∘,
∵BO=AO=50km,
∴AB=502km,∠B=∠OAB=45∘,
∵第二艘快艇沿南偏西20∘方向,
∴∠1=∠CAO=20∘,
∴∠2=45∘-20∘=25∘,
∴第二艘快艇航行的方向和距离分别是:
北偏西25∘,502千米.
B.
根据题意得出AO=BO以及∠BOA=90∘,进而得出第二艘快艇航行的方向和距离.
此题主要考查了方向角以及勾股定理,正确把握方向角的定义是解题关键.
8.解:
如图作PE⊥AB于E.
在Rt△PAE中,∵∠PAE=45∘,PA=60nmile,
∴PE=AE=22×
60=302nmile,
在Rt△PBE中,∵∠B=30∘,
∴PB=2PE=602nmile,
如图作PE⊥AB于E.在Rt△PAE中,求出PE,在Rt△PBE中,根据PB=2PE即可解决问题.
本题考查方向角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识.解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.
9.解:
∵坝高12米,斜坡AB的坡度i=1:
1.5,
∴AE=1.5BE=18米,
∵BC=10米,
∴AD=2AE+BC=2×
18+10=46米,
先根据坡比求得AE的长,已知CB=10m,即可求得AD.
此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况,将相关的知识点相结合更利于解题.
10.解:
过D作DG⊥BC于G,EH⊥BC于H,
∴GH=DE=2,
∵DG=EH=15,背水坡CD的坡度i=1:
0.6,背水坡EF的坡度i=3:
4,
∴CG=9,HF=20,
∴CF=GH+HF-CG=13米,
故选C.
过D作DG⊥BC于G,EH⊥BC于H,解直角三角形即可得到结论.
本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义,构造直角三角形,利用三角函数表示相关线段的长度,难度一般.
11.解:
分别过A、D作AF⊥BC,DG⊥BC,垂点分别为F、G,如图所示.
∵在Rt△ABF中,AB=12米,∠B=60∘,
∴sin∠B=AFAB,
∴AF=12×
32=63,
∴DG=63.
∵在Rt△DGC中,CD=123,DG=63米,
∴GC=CD2-DG2=18.
∵在Rt△DEG中,tanE=3133,
∴63GE=3133,
∴GE=26,
∴CE=GE-CG=26-18=8.
即CE的长为8米.
故答案为8.
分别过A、D作下底的垂线,设垂足为F、G.在Rt△ABF中,已知坡面长和坡角的度数,可求得铅直高度AF的值,也就得到了DG的长;
在Rt△CDG中,由勾股定理求CG的长,在Rt△DEG中,根据正切函数定义得到GE的长;
根据CE=GE-CG即可求解.
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题,锐角三角函数的定义,勾股定理.作辅助线构造直角三角形是解答此类题的一般思路.
12.解:
由题意可得:
tan30∘=BDAD=BD90=33,
BD=303,
tan60∘=DCAD=DC90=3,
DC=903,
故该建筑物的高度为:
BC=BD+DC=1203≈208(m),
故答案为:
208.
分别利用锐角三角函数关系得出BD,DC的长,进而求出该建筑物的高度.
此题主要考查了解直角三角形的应用,熟练应用锐角三角函数关系是解题关键.
13.解:
如图,过点B作BE⊥AC于点E,
∵坡度:
i=1:
3,
∴tan∠A=1:
3=33,
∴∠A=30∘,
∵AB=50m,
∴BE=12AB=25(m).
∴他升高了25m.
25.
首先根据题意画出图形,由坡度为1:
3,可求得坡角∠A=30∘,又由小明沿着坡度为1:
3的山坡向上走了50m,根据直角三角形中,30∘所对的直角边是斜边的一半,即可求得答案.
此题考查了坡度坡角问题.此题比较简单,注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键,注意数形结合思想的应用.
14.解:
故答案是:
26.
本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题,难度不大,注意细心运算即可.
15.解:
如图在Rt△ABC中,
AC=AB⋅sin34∘=500×
0.56≈280m,
∴这名滑雪运动员的高度下降了280m.
故答案为280
如图在Rt△ABC中,AC=AB⋅sin34∘=500×
0.56≈280m,可知这名滑雪运动员的高度下降了280m.
本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识,解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义,属于中考常考题型.
16.解:
∵在直角三角形ADB中,∠D=30∘,
∴ABBD=tan30∘,
∴BD=ABtan30∘=3AB,
∵在直角三角形ABC中,∠ACB=60∘,
∴BC=ABtan60∘=33AB,
∵CD=10,
∴CD=BD-BC=3AB-33AB=10,
AB=53.
53.
首先根据题意分析图形;
本题涉及到两个直角三角形,应利用其公共边AB及CD=BD-BC=10构造方程关系式,进而可解,即可求出答案.
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题,要求学生能借助仰角构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.
17.解:
∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30∘、45∘,
∴∠BCD=90∘-45∘=45∘,∠ACD=90∘-30∘=60∘,
∵CD⊥AB,CD=200m,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴BD=CD=200m,
在Rt△ACD中,CD=200m,∠ACD=60∘,
∴AD=CD⋅tan60∘=200×
3=2003m,
∴AB=AD+BD=2003+200=200(3+1)m.
200(3+1).
先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30∘、45∘可求出∠BCD与∠ACD的度数,再由直角三角形的性质求出AD与BD的长,根据AB=AD+BD即可得出结论.
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题,熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键.
18.解:
作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,
∵斜坡CD的坡比为1:
2,即CFDF=12,
∴DF=2CF,又CD=205m,
∴CF=20m,DF=40m,
由题意得,四边形BEFC是矩形,
∴BE=CF=20m,EF=BC=30m,
∵斜坡AB的坡比为1:
∴BEAE=13,即AE=3BE=60m,
∴AD=AE+EF+DF=130m,
130m.
作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,根据坡度的概念分别求出AE、DF,结合图形计算即可.
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题,掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键,掌握矩形的判定和性质的应用.
19.解:
tanα=1:
3,则α=30∘.
30∘.
根据坡度就是坡角的正切值即可求解.
本题主要考查了坡度的定义,理解坡度和坡角的关系是解题的关键.
20.解:
∵AB=3×
12=36m,
∴AD=CD=18m,BD=AB⋅cos30∘=183m,
∴BC=CD+BD=(183+18)m,
∴BH=BC⋅sin30∘=(93+9)m.
93+9.
作AD⊥BC,BH⊥水平线,根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数,利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长,由CD+BD求出BC的长,即可求出BH的长.
此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.
21.设每层楼高为x米,由MC-CC'
求出MC'
的长,进而表示出DC'
与EC'
的长,在直角三角形DC'
中,利用锐角三角函数定义表示出C'
A
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