第20章四边形知识点总结与例题分析Word文件下载.doc
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(3)对角线相等的平行四边形是矩形.
(4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形
注:
由平行四边形得到矩形需添加一个独立条件,由四边形得到矩形需要添加三个独立条件
菱形
菱形的对边平行
菱形的四条边都相等
菱形的对角相等;
菱形的对角线互相垂直平分并且每一条对角线平分一组对角
(1)四条边都相等的四边形是菱形
(2)一组邻边相等的平行四边形是菱形
(3对角线互相垂直的平行四边形是菱形
(4)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
正方形
正方形的对边平行
正方形的四条边都相等
正方形的四个角都相等;
正方形的对角线相等
并且互相垂直平分并且每一条对角线平分一组对角
定义法:
有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形。
判定1:
有一组邻边相等的矩形是正方形。
判定2:
有一个角为直角的菱形是正方形。
等腰梯形
两底平行,两腰相等
等腰梯形的同一底边上的两个内角相等;
等腰梯的对角线相等
两腰相等的梯形是等腰梯形
定理1:
在同一条底边上的两个内角相等的
梯形是等腰梯形。
定理2:
对角线相等的梯形是等腰梯形
2、梯形问题常见辅助线做法:
(1)平移梯形一腰即过梯形上底或下底的一个端点作一腰的平行线,将梯形分割成三角形和平行四边形,并出现上下底的差,利用这些条件解决所给的问题。
(2)平移梯形的一条对角线
即过梯形上底或下底的一个端点作一条对角线的平行线,将梯形割补成与之等积的三角形,并出现上下底的和,利用这些条件解决所给的问题
(3)作高线:
过上底的两个端点作梯形的高线,将梯形分成两个直角梯形和一个矩形
(4)延长两腰:
延长梯形两腰交于一点,构成两个三角形
(5)全等变换:
连结上底的一端点与一腰的中点,延长交下底的延长线于一点,将梯形割补成与之等积的三角形。
3、正方形:
判定方法(不要记,只须理解)
1:
对角线相等的菱形是正方形。
2:
对角线互相垂直的矩形是正方形,.对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。
3:
一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形。
4:
一组邻边相等的矩形是正方形。
5:
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
6:
四边均相等,对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
7:
8:
既是菱形又是矩形的四边形是正方形
20、(2007•安徽)如图1,在四边形ABCD中,已知AB=BC=CD,∠BAD和∠CDA均为锐角,点P是对角线BD上的一点,PQ∥BA交AD于点Q,PS∥BC交DC于点S,四边形PQRS是平行四边形.
(1)当点P与点B重合时,图1变为图2,若∠ABD=90°
,求证:
△ABR≌△CRD;
(2)对于图1,若四边形PRDS也是平行四边形,此时,你能推出四边形ABCD还应满足什么条件?
考点:
全等三角形的判定;
平行四边形的判定。
专题:
证明题;
开放型。
分析:
(1)可先证CR⊥BD,根据等腰三角形“三线合一”的性质,求得∠BCR=∠DCR,进而求得∠BAR=∠DCR,又有AB=CR,AR=BC=CD,可证△ABR≌△CRD;
(2)由PS∥QR,PS∥RD知,点R在QD上,故BC∥AD.又由AB=CD知∠A=∠CDA因为SR∥PQ∥BA,所以∠SRD=∠A=∠CDA,从而SR=SD.由PS∥BC及BC=CD知SP=SD.而SP=DR,所以SR=SD=RD故∠CDA=60度.因此四边形ABCD还应满足BC∥AD,∠CDA=60°
解答:
证明:
(1)∵∠ABD=90°
,AB∥CR,
∴CR⊥BD.
∵BC=CD,
∴∠BCR=∠DCR.
∵四边形ABCR是平行四边形,
∴∠BCR=∠BAR.
∴∠BAR=∠DCR.
又∵AB=CR,AR=BC=CD,
∴△ABR≌△CRD.
(2)由PS∥QR,PS∥RD知,点R在QD上,
故BC∥AD.
又由AB=CD知∠A=∠CDA,
因为SR∥PQ∥BA,
所以∠SRD=∠A=∠CDA,从而SR=SD.
由PS∥BC及BC=CD知SP=SD.而SP=DR,所以SR=SD=RD故∠CDA=60°
.
因此四边形ABCD还应满足BC∥AD,∠CDA=60°
(注:
若推出的条件为BC∥AD,∠BAD=60°
或BC∥AD,∠BCD=120°
等亦可.)
点评:
三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.
21、(2005•四川)己知:
如图,E、F分别是▱ABCD的AD、BC边上的点,且AE=CF.
(1)求证:
△ABE≌△CDF;
(2)若M、N分别是BE、DF的中点,连接MF、EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形,并证明你的结论.
探究型。
(1)、根据平行四边形的性质和全等三角形的判定,在△ABE和△CDF中,很容易确定SAS,即证结论;
(2)、在已知条件中求证全等三角形,即△ABE≌△CDF,△MBF≌△NDE,得两对边分别对应相等,根据平行四边形的判定,即证.
(1)∵▱ABCD中,AB=CD,∠A=∠C,
又∵AE=CF,
∴△ABE≌△CDF;
(2)四边形MFNE平行四边形.
由
(1)知△ABE≌△CDF,
∴BE=DF,∠ABE=∠CDF,
又∵ME=BM=BE,NF=DN=DF
∴ME=NF=BM=DN,
又∵∠ABC=∠CDA,
∴∠MBF=∠NDE,
又∵AD=BC,
AE=CF,
∴DE=BF,
∴△MBF≌△NDE,
∴MF=NE,
∴四边形MFNE是平行四边形.
此题考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定,学会在已知条件中多次证明三角形全等,寻求角边的转化,从而求证结论.
1、(2008•咸宁)如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
EO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?
并证明你的结论.
矩形的判定。
动点型。
(1)根据平行线性质和角平分线性质及,由平行线所夹的内错角相等易证.
(2)根据矩形的判定方法,即一个角是直角的平行四边形是矩形可证
(1)∵CE平分∠ACB,
∴∠1=∠2,
又∵MN∥BC,
∴∠1=∠3,
∴∠3=∠2,
∴EO=CO,(2分)
同理,FO=CO,(3分)
∴EO=FO.(4分)
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.(5分)
∵EO=FO,点O是AC的中点.
∴四边形AECF是平行四边形,(6分)
∵CF平分∠BCA的外角,
∴∠4=∠5,
又∵∠1=∠2,
∴∠2+∠4=×
180°
=90°
即∠ECF=90度,(7分)
∴四边形AECF是矩形.(8分)
本题涉及矩形的判定定理,解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍,运用发散思维,多方思考,探究问题在不同条件下的不同结论,挖掘它的内在联系,向“纵、横、深、广”拓展,从而寻找出添加的条件和所得的结论.
2、(2008•宿迁)如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.
AB=CF;
(2)当BC与AF满足什么数量关系时,四边形ABFC是矩形,并说明理由.
矩形的判定;
全等三角形的判定与性质;
平行四边形的判定与性质。
(1)根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等,利用AAS判定△ABE≌△FCE,从而得到AB=CF;
(2)由已知可得四边形ABFC是平行四边形,BC=AF,根据对角线相等的平行四边形是矩形,可得到四边形ABFC是矩形.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE,
∵E为BC的中点,
∴EB=EC,
∴△ABE≌△FCE,
∴AB=CF.
(2)解:
当BC=AF时,四边形ABFC是矩形.
理由如下:
∵AB∥CF,AB=CF,
∴四边形ABFC是平行四边形,
∵BC=AF,
∴四边形ABFC是矩形.
此题主要考查了学生对全等三角形的判定,平行四边形的性质及矩形的判定等知识点的掌握情况.
3、(2008•南京)如图,在平行四边形ABCD中,E,F为BC上两点,且BE=CF,AF=DE.
求证:
(1)△ABF≌△DCE;
(2)四边形ABCD是矩形.
平行四边形的性质。
证明题。
(1)根据题中的已知条件我们不难得出:
AB=CD,AF=DE,又因为BE=CF,那么两边都加上EF后,BF=CE,因此就构成了全等三角形的判定中边边边(SSS)的条件.
(2)由于四边形ABCD是平行四边形,只要证明其中一角为直角即可.
解:
(1)∵BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,
∴BF=CE.
∴AB=DC.
在△ABF和△DCE中,∵AB=DC,BF=CE,AF=DE,
∴△ABF≌△DCE.
(2)∵△ABF≌△DCE,
∴∠B=∠C.
∴AB∥CD.
∴∠B+∠C=180°
∴∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形.
本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定和矩形的判定等知识点.全等三角形的判定是本题的重点.
9、(2006•济宁)直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形.方法如下:
请你用上面图示的方法,解答下列问题:
(1)对任意三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形面积相等的矩形;
(2)对任意四边形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原四边形面积相等的矩形.
方案型。
(1)和题目给出的方法是相同的,只不过②和③换了换位置而已;
(2)可先把四边形沿对角线分成两个三角形,然后再按照题目给出的方法进行拼接.
(1)如图所示:
(2)如图所示:
17、(2010•潼南县)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连接AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4.
△ABE≌△DAF;
(2)若∠AGB=30°
,求EF的长.
正方形的性质;
全等三角形的判定与性质。
计算题;
(1)根据已知及正方形的性质,利用ASA即可判定△ABE≌△DAF;
(2)根据正方形的性质及直角三角形的性质可得到DF的长,根据勾股定理可求得AF的长,从而就不难求得EF的长.
∵ABCD是正方形,
∴AD=AB,
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴△ABE≌△DAF.
∵ABCD是正方形,∠AGB=30°
,
∴AD∥BC,
∴∠1=∠AGB=30°
∵∠1+∠4=∠1+∠3=90°
∴DF⊥AG,
∴DF=AD=1,
∴AF=,
∵△ABE≌△DAF,
∴AE=DF=1,
∴EF=﹣1.
故所求EF的长为﹣1.
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- 20 四边形 知识点 总结 例题 分析