初中数学锐角三角函数提高题与常考题型和培优题(含解析)Word文档格式.doc
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初中数学锐角三角函数提高题与常考题型和培优题(含解析)Word文档格式.doc
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12.如果等腰三角形的腰与底边的比是5:
6,那么底角的余弦值等于 .
13.如图,△ABC中∠C=90°
,若CD⊥AB于D,且BD=4,AD=9,则tanA= .
14.如图,在△ABC中,∠C=90°
,AC=3,BC=2,边AB的垂直平分线交AC边于点D,交AB边于点E,联结DB,那么tan∠DBC的值是 .
15.如图,小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD,小明在自己所住楼AB的底部A处,利用对面楼CD墙上玻璃(与地面垂直)的反光,测得楼AB顶部B处的仰角是α,若tanα=0.45,两楼的间距为30米,则小明家所住楼AB的高度是 米.
16.如图,在边长相同的小正方形网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点P,则的值= ,tan∠APD的值= .
17.如图,在半径为3的⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tanD= .
18.如图,在直角坐标系中,点A,B分别在x轴,y轴上,点A的坐标为(﹣1,0),∠ABO=30°
,线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动,如果PQ=,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为 .
19.如图,测量河宽AB(假设河的两岸平行),在C点测得∠ACB=30°
,D点测得∠ADB=60°
,又CD=60m,则河宽AB为 m(结果保留根号).
20.如图,∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,则cos∠AOB的值是 .
21.如图,P(12,a)在反比例函数图象上,PH⊥x轴于H,则tan∠POH的值为 .
22.已知cosα=,则的值等于 .
23.如图,△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上,则tan(α+β) tanα+tanβ.(填“>”“=”“<”)
三.解答题(共17小题)
24.计算:
cos245°
+﹣•tan30°
.
25.计算:
2cos230°
﹣sin30°
+.
26.如图,在△ABC中,∠C=150°
,AC=4,tanB=.
(1)求BC的长;
(2)利用此图形求tan15°
的值(精确到0.1,参考数据:
=1.4,=1.7,=2.2)
27.如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°
,∠ADC=90°
,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A=60°
,求BC的长;
(2)若sinA=,求AD的长.
(注意:
本题中的计算过程和结果均保留根号)
28.如图,在四边形ABCD中,∠BCD是钝角,AB=AD,BD平分∠ABC,若CD=3,BD=,sin∠DBC=,求对角线AC的长.
29.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC=3,点D在边AC上,且AD=2CD,DE⊥AB,垂足为点E,联结CE,求:
(1)线段BE的长;
(2)∠ECB的余切值.
30.如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,试求sin∠ECM的值.
31.如图,△ABC中,∠ACB=90°
,sinA=,BC=8,D是AB中点,过点B作直线CD的垂线,垂足为点E.
(1)求线段CD的长;
(2)求cos∠ABE的值.
32.如图,已知∠MON=25°
,矩形ABCD的边BC在OM上,对角线AC⊥ON.当AC=5时,求AD的长.(参考数据:
sin25°
=0.42;
cos25°
=0.91;
tan25°
=0.47,结果精确到0.1)
33.一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°
,∠E=45°
,∠A=60°
,BC=10,试求CD的长.
34.已知:
如图,在△ABC中,∠ABC=45°
,AD是BC边上的中线,过点D作DE⊥AB于点E,且sin∠DAB=,DB=3.求:
(1)AB的长;
(2)∠CAB的余切值.
35.数学老师布置了这样一个问題:
如果α,β都为锐角.且tanα=,tanβ=.求α+β的度数.
甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题.他们分别设计了图1和图2.
(1)请你分别利用图1,图2求出α+β的度数,并说明理由;
(2)请参考以上思考问题的方法,选择一种方法解决下面问题:
如果α,β都为锐角,当tanα=5,tanβ=时,在图3的正方形网格中,利用已作出的锐角α,画出∠MON,使得∠MON=α﹣β.求出α﹣β的度数,并说明理由.
36.如图,点P、M、Q在半径为1的⊙O上,根据已学知识和图中数据(0.97、0.26为近似数),解答下列问题:
(1)sin60°
= ;
cos75°
(2)若MH⊥x轴,垂足为H,MH交OP于点N,求MN的长.(结果精确到0.01,参考数据:
≈1.414,≈1.732)
37.阅读下面的材料:
某数学学习小组遇到这样一个问题:
如果α,β都为锐角,且tanα=,tanβ=,求α+β的度数.
该数学课外小组最后是这样解决问题的:
如图1,把α,β放在正方形网格中,使得∠ABD=α,∠CBE=β,且BA,BC在直线BD的两侧,连接AC.
(1)观察图象可知:
α+β= °
;
(2)请参考该数学小组的方法解决问题:
如果α,β都为锐角,当tanα=3,tanβ=时,在图2的正方形网格中,画出∠MON=α﹣β,并求∠MON的度数.
38.阅读下列材料:
在学习完锐角三角函数后,老师提出一个这样的问题:
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AB=1,∠A=α,求sin2α(用含sinα,cosα的式子表示).
聪明的小雯同学是这样考虑的:
如图2,取AB的中点O,连接OC,过点C作CD⊥AB于点D,则∠COB=2α,然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC,BC,在Rt△ACD中表示出CD,则可以求出
sin2α====2sinα•cosα.
阅读以上内容,回答下列问题:
在Rt△ABC中,∠C=90°
,AB=1.
(1)如图3,若BC=,则sinα= ,sin2α= ;
(2)请你参考阅读材料中的推导思路,求出tan2α的表达式(用含sinα,cosα的式子表示).
39.图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景.图2是小明锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时的示意图.已知BC=0.64米,AD=0.24米,α=18°
.(sin18°
≈0.31,cos18°
≈0.95,tan18°
≈0.32)
(1)求AB的长(精确到0.01米);
(2)若测得EN=0.8米,试计算小明头顶由M点运动到N点的路径弧MN的长度(结果保留π)
40.某厂家新开发的一种电动车如图,它的大灯A射出的光线AB,AC与地面MN所夹的锐角分别为8°
和10°
,大灯A与地面离地面的距离为1m求该车大灯照亮地面的宽度BC.(不考虑其它因素)(参数数据:
sin8°
=,tan8°
=,sin10°
=,tan10°
=)
锐角三角函数常考题型与解析
参考答案与试题解析
1.(2017•奉贤区一模)如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍,那么锐角A的余切值( )
【分析】根据△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,得到锐角A的大小没改变和余切的概念解答.
【解答】解:
因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,
所以锐角A的大小没改变,所以锐角A的余切值也不变.
故选:
C.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,掌握在直角三角形中,一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的关键.
2.(2017•金山区一模)在△ABC中,∠C=90°
【分析】根据sinA=代入数据直接得出答案.
∵∠C=90°
,AB=5,BC=4,
∴sinA==,
故选D.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用:
在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.
3.(2017•浦东新区一模)已知在Rt△ABC中,∠C=90°
【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA=,代入求出即可.
∵在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=α,BC=2,
∴sinA=,
∴AB==,
故选A.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键,注意:
在Rt△ACB中,∠ACB=90°
,则sinA=,cosA=,tanA=.
4.(2017•静安区一模)如果锐角α的正弦值为,那么下列结论中正确的是( )
【分析】正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小),可得答案.
由<<,得
30°
,
【点评】本题考查了锐角三角形的增减性,当角度在0°
~90°
间变化时,①正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);
②余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);
③正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).也考查了互余两角的三角函数之间的关系.
5.(2017•莒县模拟)如图,在4×
【分析】根据勾股定理即可求出AC、BC、DE、DF的长度,然后证明△FDE∽△ABC,所以
由勾股定理可求出:
BC=2,AC=2,DF=,DE=,
∴,,,
∴,
∴△FDE∽△CAB,
∴∠DFE=∠ACB,
∴tan∠DFE=tan∠ACB=,
故选(B)
【点评】本题考查解直角三角形,涉及勾股定理,相似三角形的判定与性质.
6.(2017春•兰陵县校级月考)在Rt△ABC中,各边都扩大3倍,则角A的正弦值( )
【分析】根据锐角三角函数的定义,可得答案.
由题意,得
Rt△ABC中,各边都扩大3倍,则角A的正弦值不变,
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,利用锐角三角函数的定义是解题关键.
7.(2017•兴化市校级一模)如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=6km,某船从港口A出发,沿北偏东15°
【分析】根据题意,可以作辅助线AC⊥OB于点C,然后根据题目中的条件,可以求得AC和BC的长度,然后根据勾股定理即可求得AB的长.
作AC⊥OB于点C,如右图所示,
由已知可得,
∠COA=30°
,OA=6km,
∵AC⊥OB,
∴∠OCA=∠BCA=90°
∴OA=2AC,∠OAC=60°
∴AC=3km,∠CAD=30°
∵∠DAB=15°
∴∠CAB=45°
∴∠CAB=∠B=45°
∴BC=AC,
∴AB=,
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题,解答此类问题的关键是明确题意,利用在直角三角形中30°
所对的边与斜边的关系和勾股定理解答.
8.(2017春•萧山区月考)如图,在2×
【分析】连接OA,过点A作AC⊥OB于点C,由题意知AC=1、OA=OB=2,从而得出OC==、BC=OB﹣OC=2﹣,在Rt△ABC中,根据tan∠ABO=可得答案.
如图,连接OA,过点A作AC⊥OB于点C,
则AC=1,OA=OB=2,
∵在Rt△AOC中,OC===,
∴BC=OB﹣OC=2﹣,
∴在Rt△ABC中,tan∠ABO===2+,
【点评】本题主要考查解直角三角形,根据题意构建一个以∠ABO为内角的直角三角形是解题的关键.
9.(2016•安顺)如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是( )
【分析】根据勾股定理,可得AC、AB的长,根据正切函数的定义,可得答案.
如图:
由勾股定理,得
AC=,AB=2,BC=,
∴△ABC为直角三角形,
∴tan∠B==,
D.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,先求出AC、AB的长,再求正切函数.
10.(2016•攀枝花)如图,点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A上,BD是⊙A的一条弦,则sin∠OBD=( )
【分析】连接CD,可得出∠OBD=∠OCD,根据点D(0,3),C(4,0),得OD=3,OC=4,由勾股定理得出CD=5,再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可.
∵D(0,3),C(4,0),
∴OD=3,OC=4,
∵∠COD=90°
∴CD==5,
连接CD,如图所示:
∵∠OBD=∠OCD,
∴sin∠OBD=sin∠OCD==.
【点评】本题考查了圆周角定理,勾股定理、以及锐角三角函数的定义;
熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键.
11.(2016•娄底)如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°
【分析】设CD=a,DB=b,∠DCF=∠DBE=α,易知BE+CF=BC•cosα,根据0<α<90°
,由此即可作出判断.
∵BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,
∴CF∥BE,
∴∠DCF=∠DBF,设CD=a,DB=b,∠DCF=∠DBE=α,
∴CF=DC•cosα,BE=DB•cosα,
∴BE+CF=(DB+DC)cosα=BC•cosα,
∵∠ABC=90°
∴O<α<90°
当点D从B→D运动时,α是逐渐增大的,
∴cosα的值是逐渐减小的,
∴BE+CF=BC•cosα的值是逐渐减小的.
故选C.
【点评】本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识,利用三角函数的定义,得到BE+CF=BC•cosα,记住三角函数的增减性是解题的关键,属于中考常考题型.
12.(2017•普陀区一模)如果等腰三角形的腰与底边的比是5:
【分析】如图,△ABC中,AB=AC,AC:
BC=5:
6,作AE⊥BC于E,则BE=EC,在Rt△AEC中,根据cos∠C===,即可解决问题.
如图,△ABC中,AB=AC,AC:
6,作AE⊥BC于E,则BE=EC,
在Rt△AEC中,cos∠C===,
故答案为.
【点评】本题考查等腰三角形的性质,解直角三角形锐角三角函数等知识,解题的关键是熟练掌握所学知识,掌握等腰三角形中的常用辅助线,属于中考常考题型.
13.(2017•宝山区一模)如图,△ABC中∠C=90°
【分析】先证明△BDC∽△CDA,利用相似三角形的性质求出CD的长度,然后根据锐角三角函数的定义即可求出tanA的值.
∵∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠A=90°
∴∠BCD=∠A,
∵CD⊥AB,
∴∠BDC=∠CDA=90°
∴△BDC∽△CDA,
∴CD2=BD•AD,
∴CD=6,
∴tanA==
故答案为:
【点评】本题考查解直角三角形,涉及锐角三角函数,相似三角形的判定与性质.
14.(2017•青浦区一模)如图,在△ABC中,∠C=90°
【分析】由DE垂直平分AB,得到AD=BD,设CD=x,则有BD=AD=3﹣x,在直角三角形BCD中,利用勾股定理求出x的值,确定出CD的长,利用锐角三角函数定义求出所求即可.
∵边AB的垂直平分线交AC边于点D,交AB边于点E,
∴AD=BD,
设CD=x,则有BD=AD=AC﹣CD=3﹣x,
在Rt△BCD中,根据勾股定理得:
(3﹣x)2=x2+22,
解得:
x=,
则tan∠DBC==,
【点评】此题考查了解直角三角形,以及线段垂直平分线性质,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
15.(2017•黄浦区一模)如图,小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD,小明在自己所住楼AB的底部A处,利用对面楼CD墙上玻璃(与地面垂直)的反光,测得楼AB顶部B处的仰角是α,若tanα=0.45,两楼的间距为30米,则小明家所住楼AB的高度是 27 米.
【分析】作PE⊥AB于点E,在直角△AEP中,利用三角函数求得AE的长,根据AB=2AE即可求解.
作PE⊥AB于点E,
在直角△AEP中,∠APE=∠α,
则AE=PE•tan∠APE=30×
0.45=13.5(米),
则AB=2AE=27(米).
故答案是:
27.
【点评】本题考查解直角三角形、仰角、俯角的定义,解题的关键是记住特殊三角形的边之间关系,学会把问题转化为方程解决,属于中考常考题型.
16.(2016•自贡)如图,在边长相同的小正方形网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点P,则的值= 3 ,tan∠APD的值= 2 .
【分析】首先连接BE,由题意易得BF=CF,△ACP∽△BDP,然后由相似三角形的对应边成比例,易得DP:
CP=1:
3,即可得PF:
CF=PF:
BF=1:
2,在Rt△PBF中,即可求得tan∠BPF的值,继而求得答案.
∵四边形BCED是正方形,
∴DB∥AC,
∴△DBP∽△CAP,
∴==3,
连接BE,
∴DF=CF=CD,BF=BE,CD=BE,BE⊥CD,
∴BF=CF,
根据题意得:
AC∥BD,
∴△ACP∽△BDP,
∴DP:
CP=BD:
AC=1:
3,
DF=1:
2,
∴DP=PF=CF=BF,
在Rt△PBF中,tan∠BPF==2,
∵∠APD=∠BPF,
∴tan∠APD=2,
3,2.
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义.此题难度适中,解题的关键准确作出辅助线,注意转化思想与数形结合思想的应用.
17.(2016•枣庄)如图,在半径为3的⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tanD= 2 .
【分析】连接BC可得RT△ACB,由勾股定理求得BC的长,进而由tanD=tanA=可得答案.
如图,连接BC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°
∵AB=6,AC=2,
∴BC===4,
又∵∠D=∠A,
∴tanD=tanA===2.
2.
【点评】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形,连接BC构造直角三角形是解题的关键.
18.(2016•舟山)如图,在直角坐标系中,点A,B分别在x轴,y轴上,点A的坐标为(﹣1,0),∠ABO=30°
,线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动,如果PQ=,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为 4 .
【分析】首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形,分四种情况进行计算:
①点P从O→B时,路程是线段PQ的长;
②当点P从B→C时(QC⊥AB,C为垂足),点Q从O运动到Q,计算OQ的长就是运动的路程;
③点P从C→A时,点Q由Q向左运动,路程为QQ′;
④点P从A→O时,点Q运动的路程就是点P运动的路程;
最后相加即可.
在Rt△AOB中,∵∠ABO=30°
,AO=1,
∴AB=2,BO==,
①当点P从O→B时,如图1、图2所示,点Q运动的路程为,
②如图3所示,QC⊥AB,则∠ACQ=90°
,即PQ运动到与AB垂直时,垂足为P,
当点P从B→C时,
∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°
﹣60°
=30°
∴cos30°
=
∴AQ==2
∴OQ=2﹣1=1
则点Q运动的路程为QO=1,
③当点P从C→A时,如图3所示,点Q运动的路程为QQ′=2﹣,
④当点P从A→O时,点Q运动的路程为AO=1,
∴点Q运动的总路程为:
+1+2﹣+1=4
4
【点评】本题主要是应用三角函数定义
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