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1.初速度Vo=0
2.末速度Vt=gt
3.下落高度h=gt^2/2<
从Vo位置向下计算)
4.推论Vt^2=2gh
注:
自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动,遵循匀变速度直线运动规律。
a=g=9.8
m/s^2≈10m/s^2
重力加速度在赤道附近较小,在高山处比平地小,方向竖直向下。
3>
竖直上抛
1.位移S=Vot-
gt^2/2
2.末速度Vt=
Vo-
gt
g=9.8≈10m/s2
)
3.有用推论Vt^2
–Vo^2=-2gS
4.上升最大高度Hm=Vo^2/2g
(抛出点算起>
5.往返时间t=2Vo/g
从抛出落回原位置的时间)
全过程处理:
是匀减速直线运动,以向上为正方向,加速度取负值。
分段处理:
向上为匀减速运动,向下为自由落体运动,具有对称性。
上升与下落过程具有对称性,如在同点速度等值反向等。
一,质点的运动<
1)-----直线运动
1>
匀变速直线运动
1.平均速度V平=S/t<
定义式)2.有用推论Vt2–V02=2as
3.中间时刻速度Vt/2=V平=(Vt+Vo>
/2
4.末速度V=Vo+at
5.中间位置速度Vs/2=[(V_o2+V_t2>
/2]1/2
6.位移S=V平t=Vot+at2/2=Vt/2t
7.加速度a=(V_t-V_o>
/t以V_o为正方向,a与V_o同向(加速>
0b5E2RGbCAP
8.实验用推论ΔS=aT2ΔS为相邻连续相等时间(T>
内位移之差
初速(V_o>
m/s加速度(a>
m/s2末速度(Vt>
m/s
位移(S>
m)路程:
M
1m/s=3.6Km/h
a=(V_t-V_o>
/t只是量度式,不是决定式。
质点/位移和路程/s--t图/v--t图/速度与速率/p1EanqFDPw
自由落体
1.初速度V_o=02.末速度V_t=gt
3.下落高度h=gt2/2<
从V_o位置向下计算)
4.推论Vt2=2gh
a=g=9.8≈10m/s2重力加速度在赤道附近较小,在高山处比平地小,方向竖直向下。
竖直上抛
1.位移S=V_ot–gt2/22.末速度V_t=V_o–gt<
g=9.8≈10m/s2)DXDiTa9E3d
3.有用推论V_t2-V_o2=-2gS4.上升最大高度H_max=V_o2/(2g>
(抛出点算起>
RTCrpUDGiT
5.往返时间t=2V_o/g<
从抛出落回原位置的时间)
5PCzVD7HxA
平抛运动
1.水平方向速度V_x=V_o2.竖直方向速度V_y=gt
3.水平方向位移S_x=V_ot4.竖直方向位移S_y=gt2/2
5.运动时间t=(2S_y/g>
1/2(通常又表示为(2h/g>
1/2>
6.合速度V_t=(V_x2+V_y2>
1/2=[V_o2+(gt>
2]1/2
合速度方向与水平夹角β:
tgβ=V_y/V_x=gt/V_o
7.合位移S=(S_x2+S_y2>
1/2,
位移方向与水平夹角α:
tgα=S_y/S_x=gt/(2V_o>
平抛运动是匀变速曲线运动,加速度为g,通常可看作是水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合成。
运动时间由下落高度h(S_y>
决定与水平抛出速度无关。
3)θ与β的关系为tgβ=2tgα。
4)在平抛运动中时间t是解题关键。
(5>
曲线运动的物体必有加速度,当速度方向与所受合力(加速度>
方向不在同一直线上时物体做曲线运动。
jLBHrnAILg
2)匀速圆周运动
1.线速度V=s/t=2πR/T2.角速度ω=Φ/t=2π/T=2πf
3.向心加速度a=V2/R=ω2R=(2π/T>
2R4.向心力F心=mV2/R=mω2R=m(2π/T>
2RxHAQX74J0X
5.周期与频率T=1/f6.角速度与线速度的关系V=ωR
7.角速度与转速的关系ω=2πn(此处频率与转速意义相同>
8.主要物理量及单位:
弧长(S>
M(m>
角度(Φ>
:
弧度<
rad)频率<
f):
赫<
Hz)
周期<
T):
秒<
s)转速<
n):
r/s半径(R>
m)线速度<
V):
m/s
角速度<
ω):
rad/s向心加速度:
m/s2
1)向心力可以由具体某个力提供,也可以由合力提供,还可以由分力提供,方向始终与速度方向垂直。
2)做匀速度圆周运动的物体,其向心力等于合力,并且向心力只改变速度的方向,不改变速度的大小,因此物体的动能保持不变,但动量不断改变。
LDAYtRyKfE
万有引力
1.开普勒第三定律T2/R3=K(4π2/GM>
R:
轨道半径T:
周期K:
常量(与行星质量无关>
Zzz6ZB2Ltk
2.万有引力定律F=Gm_1m_2/r2G=6.67×
10-11N·
m2/kg2方向在它们的连线上dvzfvkwMI1
3.天体上的重力和重力加速度GMm/R2=mgg=GM/R2R:
天体半径(m>
4.卫星绕行速度、角速度、周期V=(GM/R>
1/2
ω=(GM/R3>
1/2T=2π(R3/GM>
5.第一(二、三>
宇宙速度V_1=(g地
r地>
1/2=7.9Km/sV_2=11.2Km/sV_3=16.7Km/s
6.地球同步卫星GMm/(R+h>
2=m4π2(R+h>
/T2
h≈36000km/h:
距地球表面的高度
天体运动所需的向心力由万有引力提供,F心=F万。
应用万有引力定律可估算天体的质量密度等。
地球同步卫星只能运行于赤道上空,运行周期和地球自转周期相同。
卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变大、周期变小。
地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9Km/S。
rqyn14ZNXI
三、力<
常见的力、力矩、力的合成与分解)
常见的力
1.重力G=mg方向竖直向下g=9.8m/s2≈10m/s2作用点在重心适用于地球表面附近
2.胡克定律F=kX方向沿恢复形变方向k:
劲度系数(N/m>
X:
形变量(m>
3.滑动摩擦力f=μN与物体相对运动方向相反μ:
摩擦因数N:
正压力(N>
4.静摩擦力0≤f静≤fm与物体相对运动趋势方向相反fm为最大静摩擦力
5.万有引力F=Gm_1m_2/r2G=6.67×
10-11N·
m2/kg2方向在它们的连线上EmxvxOtOco
6.静电力F=KQ_1Q_2/r2K=9.0×
109N·
m2/C2方向在它们的连线上
7.电场力F=EqE:
场强N/Cq:
电量C正电荷受的电场力与场强方向相同
8.安培力F=BILsinθθ为B与L的夹角当L⊥B时:
F=BIL,B//L时:
F=0SixE2yXPq5
9.洛仑兹力f=qVBsinθθ为B与V的夹角当V⊥B时:
f=qVB,V//B时:
f=06ewMyirQFL
劲度系数K由弹簧自身决定(2>
摩擦因数μ与压力大小及接触面积大小无关,由接触面材料特性与表面状况等决定。
fm略大于μN一般视为fm≈μN(4>
物理量符号及单位B:
磁感强度(T>
,L:
有效长度(m>
,I:
电流强度(A>
,V:
带电粒子速度(m/S>
q:
带电粒子<
带电体)电量(C>
,(5>
安培力与洛仑兹力方向均用左手定则判定。
kavU42VRUs
力矩
1.力矩M=FLL为对应的力的力臂,指力的作用线到转动轴<
点)的垂直距离
2.转动平衡条件M顺时针=M逆时针M的单位为N·
m此处N·
m≠J
倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式.
现列出公式如下:
sin2α=2sinαcosα
tan2α=2tanα/(1-tan^2(α>
>
cos2α=cos^2(α>
-sin^2(α>
=2cos^2(α>
-1=1-2sin^2(α>
可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.
号外:
tan(α/2>
=sinα/(1+cosα>
=(1-cosα>
/sinαtan(2α>
=2tanα/[1-tan^2(α>
]
·
倍角公式:
sin(2α>
=2sinα·
cosα
cos(2α>
=cos^2(α>
tan(2α>
其他一些公式
三倍角公式:
sin3α=3sinα-4sin^3(α>
cos3α=4cos^3(α>
-3cosα
tan3α=tan(α>
*(-3+tan(α>
^2>
/(-1+3*tan(α>
半角公式:
sin^2(α/2>
/2
cos^2(α/2>
=(1+cosα>
tan^2(α/2>
/(1+cosα>
/sinα
万能公式:
sinα=2tan(α/2>
/[1+tan^2(α/2>
cosα=[1-tan^2(α/2>
]/[1+tan^2(α/2>
tanα=2tan(α/2>
/[1-tan^2(α/2>
积化和差公式:
sinα·
cosβ=(1/2>
[sin(α+β>
+sin(α-β>
cosα·
sinβ=(1/2>
-sin(α-β>
[cos(α+β>
+cos(α-β>
sinβ=-(1/2>
-cos(α-β>
和差化积公式:
sinα+sinβ=2sin[(α+β>
/2]cos[(α-β>
/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β>
/2]sin[(α-β>
cosα+cosβ=2cos[(α+β>
cosα-cosβ=-2sin[(α+β>
y6v3ALoS89
高一数学诱导公式
2018-02-2723:
37
★诱导公式★
常用的诱导公式有以下几组:
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin<
2kπ+α)=sinα
cos<
2kπ+α)=cosα
tan<
2kπ+α)=tanα
cot<
2kπ+α)=cotα
公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
π+α)=-sinα
π+α)=-cosα
π+α)=tanα
π+α)=cotα
公式三:
任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
-α)=-sinα
-α)=cosα
-α)=-tanα
-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
π-α)=sinα
π-α)=-cosα
π-α)=-tanα
π-α)=-cotα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
2π-α)=-sinα
2π-α)=cosα
2π-α)=-tanα
2π-α)=-cotα
公式六:
π/2±
α及3π/2±
α与α的三角函数值之间的关系:
π/2+α)=cosα
π/2+α)=-sinα
π/2+α)=-cotα
π/2+α)=-tanα
π/2-α)=cosα
π/2-α)=sinα
π/2-α)=cotα
π/2-α)=tanα
3π/2+α)=-cosα
3π/2+α)=sinα
3π/2+α)=-cotα
3π/2+α)=-tanα
3π/2-α)=-cosα
3π/2-α)=-sinα
3π/2-α)=cotα
3π/2-α)=tanα
(以上k∈Z>
注意:
在做题时,将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀
※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为:
对于π/2*k±
α(k∈Z>
的三角函数值,
①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变;
②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos。
cos→sin。
tan→cot,cot→tan.
<
奇变偶不变)
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
符号看象限)
例如:
sin(2π-α>
=sin(4·
π/2-α>
,k=4为偶数,所以取sinα。
当α是锐角时,2π-α∈(270°
,360°
,sin(2π-α>
<0,符号为“-”。
所以sin(2π-α>
=-sinα
上述的记忆口诀是:
奇变偶不变,符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·
360°
+α<
k∈Z),-α、180°
±
α,360°
-α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变;
符号看象限。
#
各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;
二正弦(余割>
;
三两切;
四余弦(正割>
”.
这十二字口诀的意思就是说:
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;
第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;
第三象限内切函数是“+”,弦函数是“-”;
第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”.
上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦
还有一种按照函数类型分象限定正负:
函数类型第一象限第二象限第三象限第四象限
正弦...........+............+............—............—........
余弦...........+............—............—............+........
正切...........+............—............+............—........
余切...........+............—............+............—........
同角三角函数基本关系
同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα·
cotα=1
sinα·
cscα=1
cosα·
secα=1
商的关系:
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方关系:
sin^2(α>
+cos^2(α>
=1
1+tan^2(α>
=sec^2(α>
1+cot^2(α>
=csc^2(α>
同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法:
参看图片或参考资料链接)
构造以"
上弦、中切、下割;
左正、右余、中间1"
的正六边形为模型。
1)倒数关系:
对角线上两个函数互为倒数;
2)商数关系:
六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。
由此,可得商数关系式。
3)平方关系:
在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
两角和差公式
两角和与差的三角函数公式
α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
α+β)=(tanα+tanβ>
/(1-tanαtanβ>
α-β)=(tanα-tanβ>
/(1+tanα·
tanβ>
二倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式<
升幂缩角公式)
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α>
-sin^2(α>
=2cos^2(α>
-1=1-2sin^2(α>
tan2α=2tanα/[1-tan^2(α>
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式<
降幂扩角公式)
sin^2(α/2>
=(1-cosα>
/2
cos^2(α/2>
=(1+cosα>
tan^2(α/2>
/(1+cosα>
另也有tan(α/2>
=(1-cosα>
/sinα=sinα/(1+cosα>
万能公式
万能公式
sinα=2tan(α/2>
cosα=[1-tan^2(α/2>
tanα=2tan(α/2>
万能公式推导
附推导:
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α>
+sin^2(α>
......*,
因为cos^2(α>
=1)
再把*分式上下同除cos^2(α>
,可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α>
然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。
正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α=3sinα-4sin^3(α>
cos3α=4cos^3(α>
-3cosα
tan3α=[3tanα-tan^3(α>
]/[1-3tan^2(α>
三倍角公式推导
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα>
/(cos2αcosα-sin2αsinα>
=(2sinαcos^2(α>
sinα-sin^3(α>
/(cos^3(α>
-cosαsin^2(α>
-2sin^2(α>
cosα>
上下同除以cos^3(α>
,得:
tan3α=(3tanα-tan^3(α>
/(1-3tan^2(α>
sin3α=sin(2α+α>
=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos^2(α>
+(1-2sin^2(α>
sinα
=2sinα-2sin^3(α>
+sinα-2sin^2(α>
=3sinα-4sin^3(α>
cos3α=cos(2α+α>
=cos2αcosα-sin2αsinα
=(2cos^2(α>
-1>
cosα-2cosαsin^2(α>
=2cos^3(α>
-cosα+(2cosα-2cos^3(α>
=4cos^3(α>
即
-3cosα
三倍角公式联想记忆
★记忆方法:
谐音、联想
正弦三倍角:
3元减4元3角<
欠债了(被减成负数>
,所以要“挣钱”(音似“正弦”>
)
余弦三倍角:
4元3角减3元<
减完之后还有“余”)
☆☆注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。
★另外的记忆方法:
正弦三倍角:
山无司令(谐音为三无四立>
三指的是"
3倍"
sinα,无指的是减号,四指的是"
4倍"
立指的是sinα立方
余弦三倍角:
司令无山与上同理
和差化积公式
三角函数的和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β>
/2]·
cos[(α-β>
/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β>
sin[(α-β>
cosα+cosβ=2cos[(α+β>
cosα-cosβ=-2sin[(α+β>
积化和差公式
三角函数的积化和差公式
cosβ=0.5[sin(α+β>
+sin(α-β>
]
sinβ=0.5[sin(α+β>
-sin(α-β>
cosβ=0.5[cos(α+β>
+cos(α-β>
sinβ=-0.5[cos(α+β>
-cos(α-β>
和差化积公式推导
首先,我们知道sin(a+b>
=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b>
=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b>
+sin(a-b>
=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b>
/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b>
-sin(a-b>
同样的,我们还知道cos(a+b>
=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b>
=cosa*cosb+sina*
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