北师大版:函数的单调性与导数公开课.ppt
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北师大版:函数的单调性与导数公开课.ppt
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4.1.1导数与函数的单调性,高二数学选修1-1第四章导数应用,(4).对数函数的导数:
(5).指数函数的导数:
(3).三角函数:
(1).常函数:
(C)/0,(c为常数);,
(2).幂函数:
(xn)/nxn1,一、复习回顾:
基本初等函数的导数公式,法则1:
f(x)g(x),法则2:
法则3:
=f(x)g(x);,导数的几何意义,f(x)在处的导数即为f(x)所表示曲线在处切线的斜率,即,复合函数的导数,观察:
下图
(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图
(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?
a,a,b,b,t,t,v,h,O,O,运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,
(1),
(2),x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,y=x,y=x2,y=x3,观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.,一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,如果则f(x)为增函数;如果,则f(x)为减函数,如果在某个区间内恒有,一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,如果则f(x)为增函数;如果,则f(x)为减函数,则f(x)为常数函数.,如果在某个区间内恒有,函数单调性与导数正负的关系,例1已知导函数的下列信息:
当1x4时,当x4,或x1时,当x=4,或x=1时,试画出函数的图象的大致形状.,解:
当1x4时,可知在此区间内单调递增;,当x4,或x1时,可知在此区间内单调递减;,当x=4,或x=1时,综上,函数图象的大致形状如右图所示.,题型:
应用导数信息确定函数大致图象,例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
解:
(1)因为,所以,因此,函数在上单调递增.,题型:
求函数的单调性、单调区间,例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
解:
(2)因为,所以,当,即时,函数单调递增;,当,即时,函数单调递减.,题型:
求函数的单调性、单调区间,例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
解:
(3)因为,所以,因此,函数在上单调递减.,(4)因为,所以,当,即时,函数单调递增;,当,即时,函数单调递减.,总结:
当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时,应考虑导数法。
1什么情况下,用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便?
2试总结用“导数法”求单调区间的步骤?
总结:
注:
单调区间不以“并集”出现。
练习,判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.,(A),(B),(C),(D),h,t,O,h,t,O,h,t,O,h,t,O,一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.,如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象“平缓”.,通过函数图像,不仅可以看出函数的增或减,还可以看出其变化的快慢,结合图像,从导数的角度解释变化快慢的情况。
一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,如果则f(x)为增函数;如果,则f(x)为减函数,如果在某个区间内恒有,一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,如果则f(x)为增函数;如果,则f(x)为减函数,则f(x)为常数函数.,如果在某个区间内恒有,函数单调性与导数正负的关系,总结:
当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时,应考虑导数法。
1什么情况下,用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便?
2试总结用“导数法”求单调区间的步骤?
总结:
注:
单调区间不以“并集”出现。
作业布置,习题4-1A组第1,2题,
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