函数的单调性与导数Word格式.docx
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e-x;
(3)f(x)=x+.
解
(1)函数的定义域为D=(0,+∞).∵f′(x)=6x-,令f′(x)=0,得x1=,x2=-(舍去),用x1分割定义域D,得下表:
x
f′(x)
-
+
f(x)
∴函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)函数的定义域为D=(-∞,+∞).∵f′(x)=(x2)′e-x+x2(e-x)′=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2),令f′(x)=0,由于e-x>0,∴x1=0,x2=2,用x1,x2分割定义域D,得下表:
(-∞,0)
(0,2)
2
(2,+∞)
∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2).
(3)函数的定义域为D=(-∞,0)∪(0,+∞).
∵f′(x)=1-,令f′(x)=0,得x1=-1,x2=1,用x1,x2分割定义域D,得下表:
(-∞,-1)
-1
(-1,0)
(0,1)
1
(1,+∞)
∴函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1),单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).
反思与感悟 首先确定函数定义域,然后解导数不等式,最后写成区间的形式,注意连接同类单调区间不能用“∪”.
跟踪训练1 求函数f(x)=x3-3x的单调区间.
解 f′(x)=3x2-3=3(x2-1).
当f′(x)>0时,x<-1或x>1,
此时函数f(x)单调递增;
当f′(x)<0时,-1<x<1,此时函数f(x)单调递减.
∴函数f(x)的递增区间是(-∞,-1),(1,+∞),递减区间是(-1,1).
题型二 利用导数确定函数的大致图象
例2 画出函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的大致图象.
解 f′(x)=6x2-6x-36=6(x2-x-6)=6(x-3)(x+2).
由f′(x)>0得x<-2或x>3,
∴函数f(x)的递增区间是(-∞,-2)和(3,+∞).
由f′(x)<0得-2<x<3,
∴函数f(x)的递减区间是(-2,3).
由已知得f(-2)=60,f(3)=-65,f(0)=16.
∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一).
反思与感悟 利用导数可以判定函数的单调性,而函数的单调性决定了函数图象的大致走向.当函数的单调区间确定以后,再通过描出一些特殊点,就可以画出一个函数的大致图象.
跟踪训练2 已知导函数f′(x)的下列信息:
当2<x<3时,f′(x)<0;
当x>3或x<2时,f′(x)>0;
当x=3或x=2时,f′(x)=0;
试画出函数f(x)图象的大致形状.
解 当2<x<3时,f′(x)<0,可知函数在此区间上单调递减;
当x>3或x<2时,f′(x)>0,可知函数在这两个区间上单调递增;
当x=3或x=2时,f′(x)=0,在这两点处的两侧,函数单调性发生改变.
综上可画出函数f(x)图象的大致形状,如图所示(答案不唯一).
题型三 利用导数确定参数的取值范围
例3 已知函数f(x)=2ax-x3,x∈(0,1],a>0,若函数f(x)在(0,1]上是增函数,求实数a的取值范围.
解 f′(x)=2a-3x2,
又f(x)在(0,1]上是增函数等价于f′(x)≥0对x∈(0,1]恒成立,
且仅有有限个点使得f′(x)=0,
∴x∈(0,1]时,2a-3x2≥0,也就是a≥x2恒成立.
又x∈(0,1]时,x2∈,
∴a≥.
∴a的取值范围是.
反思与感悟 已知函数在某个区间上的单调性,求参数的范围,是近几年高考的热点问题,解决此类问题的主要依据就是导数与函数的单调性的关系,其常用方法有三种:
①利用充要条件将问题转化为恒成立问题,即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在给定区间上恒成立,然后转为不等式恒成立问题;
②利用子区间(即子集思想),先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求出的增或减区间的子集;
③利用二次方程根的分布,着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置.
跟踪训练3 已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+2x,a≠0.
(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.
解
(1)h(x)=lnx-ax2-2x,x∈(0,+∞),
∴h′(x)=-ax-2.
∵h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,
∴当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解,
即a>-有解.
设G(x)=-,
∴只要a>G(x)min即可.
而G(x)=2-1,
∴G(x)min=-1,
∴a>-1.
(2)∵h(x)在[1,4]上单调递减,
∴x∈[1,4]时,h′(x)=-ax-2≤0恒成立,
即a≥-恒成立,
∴a≥G(x)max,而G(x)=2-1,
∴G(x)max=-,
∴a≥-.
求函数单调区间时,因忽视函数定义域致误
例4 求函数y=x-lnx的单调区间.
错解 y′=1-,令y′=1->0,得x>1或x<0,所以函数y=x-lnx的单调递增区间为(1,+∞),(-∞,0).令y′=1-<0,得0<x<1,所以函数y=x-lnx的单调递减区间为(0,1).
错因分析 在解与函数有关的问题时,一定要先考虑函数的定义域,这是最容易忽略的地方.
正解 函数y=x-lnx的定义域为(0,+∞),
又y′=1-,
令y′=1->0,得x>1或x<0(舍去),所以函数y=x-lnx的单调递增区间为(1,+∞).
令y′=1-<0,得0<x<1,所以函数y=x-lnx的单调递减区间为(0,1).
防范措施 在确定函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域.
1.函数f(x)=x+lnx在(0,6)上是( )
A.单调增函数
B.单调减函数
C.在上是减函数,在上是增函数
D.在上是增函数,在上是减函数
答案 A
解析 ∵x∈(0,6)时,f′(x)=1+>0,∴函数f(x)在(0,6)上单调递增.
2.f′(x)是函数y=f(x)的导函数,若y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )
答案 D
解析 由导函数的图象可知,当x<0时,f′(x)>0,即函数f(x)为增函数;
当0<x<2时,f′(x)<0,即f(x)为减函数;
当x>2时,f′(x)>0,即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.
3.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.a=1C.(-∞,1]D.(0,1)
解析 ∵f′(x)=3x2-2ax-1,
且f(x)在(0,1)内单调递减,
∴不等式3x2-2ax-1≤0在(0,1)内恒成立,
∴f′(0)≤0,且f′
(1)≤0,∴a≥1.
4.函数y=x2-4x+a的增区间为________,减区间为________.
答案 (2,+∞) (-∞,2)
解析 y′=2x-4,令y′>0,得x>2;
令y′<0,得x<2,
所以y=x2-4x+a的增区间为(2,+∞),减区间为(-∞,2).
5.已知函数f(x)=2ax-,x∈(0,1].若f(x)在x∈(0,1]上是增函数,则a的取值范围为__________.
答案
解析 由已知条件得f′(x)=2a+.
∵f(x)在(0,1]上是增函数,
∴f′(x)≥0,即a≥-在x∈(0,1]上恒成立.
而g(x)=-在(0,1]上是增函数,
∴g(x)max=g
(1)=-.
当a=-时,f′(x)=-1+对x∈(0,1]有f′(x)≥0,且仅在x=1时,f′(x)=0.
∴a=-时,f(x)在(0,1]上是增函数.
判断函数单调性的方法如下:
(1)定义法.在定义域内任取x1,x2,且x1<x2,通过判断f(x1)-f(x2)的符号来确定函数的单调性.
(2)图象法.利用函数图象的变化趋势进行直观判断.图象在某个区间呈上升趋势,则函数在这个区间内是增函数;
图象在某个区间呈下降趋势,则函数在这个区间内是减函数.
(3)导数法.利用导数判断可导函数f(x)在区间(a,b)内的单调性,步骤是:
①求f′(x);
②确定f′(x)在(a,b)内的符号;
③确定单调性.
求函数y=f(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式f′(x)>0和f′(x)<0所得的x的取值集合.反过来,如果已知f(x)在区间D上单调递增,求f(x)中参数的值,这类问题往往转化为不等式的恒成立问题,即f′(x)≥0在D上恒成立且仅在有限个点上等号成立,求f(x)中参数的值.同样可以解决已知f(x)在区间D上单调递减,求f(x)中参数的值的问题.
一、选择题
1.函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是( )
A.(-∞,0)B.(0,+∞)
C.(-∞,-3)和(1,+∞)D.(-3,1)
解析 求导函数得y′=(-x2-2x+3)ex.
令y′=(-x2-2x+3)ex>0,可得x2+2x-3<0,
∴-3<x<1.
∴函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是(-3,1).
2.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-]∪[,+∞)
B.[-,]
C.(-∞,-)∪(,+∞)
D.(-,)
答案 B
解析 由题意得f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立,且仅在有限个点上f′(x)=0,则有Δ=4a2-12≤0,解得-≤a≤.
3.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( )
A.y=sinxB.y=xe2
C.y=x3-xD.y=lnx-x
解析 显然y=sinx在(0,+∞)上既有增又有减,故排除A;
对于函数y=xe2,因e2为大于零的常数,不用求导就知y=xe2在(0,+∞)内为增函数;
对于C,y′=3x2-1=3,
故函数在,上为增函数,
在上为减函数;
对于D,y′=-1(x>0).
故函数在(1,+∞)上为减函数,
在(0,1)上为增函数.故选B.
4.设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且f′(x)>g′(x),则当a<x<b时,有( )
A.f(x)>g(x)
B.f(x)<g(x)
C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)
D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)
答案 C
解析 ∵f′(x)-g′(x)>0,
∴(f(x)-g(x))′>0,
∴f(x)-g(x)在[a,b]上是增函数,
∴当a<x<b时f(x)-g(x)>f(a)-g(a),
∴f(x)+g(a)>g(x)+f(a).
5.函数y=的图象大致是( )
解析 ∵y=f(-x)==-f(x),
∴y=f(x)=为奇函数,
∴y=f(x)的图象关于原点成中心对称,可排除B.
又∵当x>0时,f(x)=,f′(x)=,
∴当x>e时,f′(x)<0,
∴函数f(x)在(e,+∞)上单调递减;
当0<x<e时,f′(x)>0,
∴函数f(x)在(0,e)上单调递增.
故可排除A,D,而C满足题意.
6.定义在R上的函数f(x)满足:
f′(x)>1-f(x),f(0)=6,f′(x)是f(x)的导函数,则不等式exf(x)>ex+5(其中e为自然对数的底数)的解集为( )
A.(0,+∞)B.(-∞,0)∪(3,+∞)
C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(3,+∞)
解析 由题意可知不等式为exf(x)-ex-5>0,
设g(x)=exf(x)-ex-5,
∴g′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex
=ex[f(x)+f′(x)-1]>0.
∴函数g(x)在定义域上单调递增.
又∵g(0)=0,∴g(x)>0的解集为(0,+∞).
二、填空题
7.若函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是______________.
解析 显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=4x-=.由f′(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间为;
由f′(x)<0,得函数f(x)单调递减区间为.因为函数在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,所以k-1<<k+1,解得-<k<,又因为(k-1,k+1)为定义域内的一个子区间,所以k-1≥0,即k≥1.综上可知,1≤k<.
8.函数y=f(x)在其定义域内可导,其图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)≤0的解集为________.
答案 ∪[2,3)
9.函数y=ln(x2-x-2)的递减区间为________.
答案 (-∞,-1)
解析 f′(x)=,令f′(x)<0得x<-1或<x<2,注意到函数定义域为(-∞,-1)∪(2,+∞),故递减区间为(-∞,-1).
10.若函数f(x)=x2+ax+在上是增函数,则a的取值范围是________.
答案 [3,+∞)
解析 因为f(x)=x2+ax+在上是增函数,
故f′(x)=2x+a-≥0在上恒成立,
即a≥-2x在上恒成立.
令h(x)=-2x,则h′(x)=--2,
当x∈时,h′(x)<0,则h(x)为减函数,
所以h(x)<h=3,所以a≥3.
三、解答题
11.已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.
(1)求实数a,b的值;
(2)若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围.
解
(1)∵函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),∴a+b=4.①
f′(x)=3ax2+2bx,则f′
(1)=3a+2b.
由条件f′
(1)·
=-1,即3a+2b=9.②
由①②解得a=1,b=3.
(2)f(x)=x3+3x2,则f′(x)=3x2+6x.
令f′(x)=3x2+6x≥0,得x≥0或x≤-2.
∵函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,
∴[m,m+1]⊆(-∞,-2]∪[0,+∞),
∴m≥0或m+1≤-2,∴m≥0或m≤-3.
12.已知函数f(x)=ax+x2-xlna-b(a,b∈R,a>1),e是自然对数的底数.
(1)试判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;
(2)当a=e,b=4时,求整数k的值,使得函数f(x)在区间(k,k+1)上存在零点.
解
(1)f′(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna.
∵a>1,∴当x∈(0,+∞)时,lna>0,ax-1>0,
∴f′(x)>0,
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)∵f(x)=ex+x2-x-4,∴f′(x)=ex+2x-1,
∴f′(0)=0.
当x>0时,ex>1,∴f′(x)>0,
∴f(x)是(0,+∞)上的增函数.
同理,f(x)是(-∞,0)上的减函数.
又f(0)=-3<0,f
(1)=e-4<0,f
(2)=e2-2>0,
当x>2时,f(x)>0,
∴当x>0时,函数f(x)的零点在(1,2)内,
∴k=1满足条件.
f(0)=-3<0,f(-1)=-2<0,f(-2)=+2>0,
当x<-2时,f(x)>0,
∴当x<0时,函数f(x)零点在(-2,-1)内,
∴k=-2满足条件.
综上所述,k=1或-2.
13.求下列函数的单调区间.
(1)y=ln(2x+3)+x2;
(2)f(x)=alnx+(a为常数).
解
(1)函数y=ln(2x+3)+x2定义域为.
∵y=ln(2x+3)+x2,
∴y′=+2x==.
当y′>0,即-<x<-1或x>-时,
函数y=ln(2x+3)+x2单调递增.
当y′<0,即-1<x<-时,
函数y=ln(2x+3)+x2单调递减.
故函数y=ln(2x+3)+x2的单调递增区间为,;
单调递减区间为.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=+=.
当a≥0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,
由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),
①当a=-时,Δ=0,g(x)≤0,
f′(x)=≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②当a<-时,Δ<0,g(x)<0,
f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
③当-<a<0时,Δ>0.
设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点,
则x1=,x2=.由x1==>0,
所以当x∈(0,x1)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
综上可得:
当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a≤-时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当-<a<0时,
f(x)在,上单调递减,
在上单调递增.
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