圆锥曲线压轴难题及解答.doc
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圆锥曲线压轴难题及解答.doc
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圆锥曲线提高题
1.设抛物线的焦点为,点.若线段的中点在抛物线上,则到该抛物线准线的距离为_____________。
解析:
利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为,B点坐标为()所以点B到抛物线准线的距离为,本题主要考察抛物线的定义及几何性质,属容易题
2.已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________.
解析:
设BF=m,由抛物线的定义知
中,AC=2m,AB=4m,
直线AB方程为
与抛物线方程联立消y得
所以AB中点到准线距离为
3.已知m>1,直线,椭圆,分别为椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)当直线过右焦点时,求直线的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,,的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内,求实数的取值范围.
解析:
本题主要考察椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
(Ⅰ)解:
因为直线经过,所以,得,
又因为,所以,
故直线的方程为。
(Ⅱ)解:
设。
由,消去得
则由,知,
且有。
由于,
故为的中点,
由,
可知
设是的中点,则,
由题意可知
即
即
而
所以
即
又因为且
所以。
所以的取值范围是。
4.己知斜率为1的直线l与双曲线C:
相交于B、D两点,且BD的中点为.
(Ⅰ)求C的离心率;
(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,,证明:
过A、B、D三点的圆与x轴相切.
【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质,考查直线与圆的关系,既考查考生的基础知识掌握情况,又可以考查综合推理的能力.
【参考答案】
【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目,命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查,如向量问题、三角形问题、函数问题等等,试题的难度相对比较稳定.
5.设椭圆,抛物线。
(1)若经过的两个焦点,求的离心率;
(2)设A(0,b),,又M、N为与不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为,且△QMN的重心在上,求椭圆和抛物线的方程。
【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量,通过交点三角形来确认方程。
(1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,可得:
,由
。
(2)由题设可知M、N关于y轴对称,设,由的垂心为B,有
。
由点在抛物线上,,解得:
故,得重心坐标.
由重心在抛物线上得:
,,又因为M、N在椭圆上得:
,椭圆方程为,抛物线方程为。
6.已知以原点O为中心,为右焦点的双曲线C的离心率。
(I)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;
(II)如题(20)图,已知过点的直线与过点(其中)的直线的交点E在双曲线C上,直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点,求的面积。
7.如图,已知椭圆过点.
,离心率为,左、右焦点分别为、
.点为直线上且不在轴上的任意
一点,直线和与椭圆的交点分别为、
和、,为坐标原点.
(I)求椭圆的标准方程;
(II)设直线、的斜线分别为、.
(i)证明:
;
(ii)问直线上是否存在点,使得直线、、、的斜率、、、满足?
若存在,求出所有满足条件的点的坐标;若不存在,说明理由.
8.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:
是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。
(I)解:
因为点B与A关于原点对称,所以点得坐标为.
设点的坐标为
由题意得
化简得.
故动点的轨迹方程为
(II)解法一:
设点的坐标为,点,得坐标分别为,.
则直线的方程为,直线的方程为
令得,.
于是得面积
又直线的方程为,,
点到直线的距离.
于是的面积
当时,得
又,
所以=,解得。
因为,所以
故存在点使得与的面积相等,此时点的坐标为.
解法二:
若存在点使得与的面积相等,设点的坐标为
则.
因为,
所以
所以
即,解得
因为,所以
故存在点S使得与的面积相等,此时点的坐标为.
9.已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:
x=,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.
本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识,考察平面机袭击和的思想方法及推理运算能力.
解:
(1)设P(x,y),则
化简得x2-=1(y≠0)………………………………………………………………4分
(2)①当直线BC与x轴不垂直时,设BC的方程为y=k(x-2)(k≠0)
与双曲线x2-=1联立消去y得
(3-k)2x2+4k2x-(4k2+3)=0
由题意知3-k2≠0且△>0
设B(x1,y1),C(x2,y2),
则
y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]
=k2(+4)
=
因为x1、x2≠-1
所以直线AB的方程为y=(x+1)
因此M点的坐标为()
同理可得
因此
=
=0
②当直线BC与x轴垂直时,起方程为x=2,则B(2,3),C(2,-3)
AB的方程为y=x+1,因此M点的坐标为(),
同理可得
因此=0
综上=0,即FM⊥FN
故以线段MN为直径的圆经过点F………………………………………………12分
10.一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2,点,是双曲线上不同的两个动点。
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式;
(2)若过点H(0,h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且,求h的值。
故,即。
(2)设,则由知,。
将代入得
,即,
由与E只有一个交点知,,即
。
同理,由与E只有一个交点知,,消去得,即,从而,即。
11.已知抛物线的焦点为F,过点的直线与相交于、两点,点A关于轴的对称点为D.
(Ⅰ)证明:
点F在直线BD上;
(Ⅱ)设,求的内切圆M的方程.
12.如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线和与椭圆的交点分别为和.
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设直线、的斜率分别为、,证明;
(Ⅲ)是否存在常数,使得恒成立?
若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为,得,又,所以可解得,,所以,所以椭圆的标准方程为;所以椭圆的焦点坐标为(,0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为
。
【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力。
其中问题(3)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力,
13.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有?
若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由。
14.已知椭圆经过点,对称轴为坐标轴,焦点
在轴上,离心率。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程;
(Ⅲ)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点?
若存在,请找出;若不存在,说明理由。
15.在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F。
设过点T()的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、,其中m>0,。
(1)设动点P满足,求点P的轨迹;
(2)设,求点T的坐标;
(3)设,求证:
直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。
[解析]本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。
考查运算求解能力和探究问题的能力。
满分16分。
(1)设点P(x,y),则:
F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。
由,得化简得。
故所求点P的轨迹为直线。
(2)将分别代入椭圆方程,以及得:
M(2,)、N(,)
直线MTA方程为:
,即,
直线NTB方程为:
,即。
联立方程组,解得:
,
所以点T的坐标为。
(3)点T的坐标为
直线MTA方程为:
,即,
直线NTB方程为:
,即。
分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,
解得:
、。
(方法一)当时,直线MN方程为:
令,解得:
。
此时必过点D(1,0);
当时,直线MN方程为:
,与x轴交点为D(1,0)。
所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0)。
(方法二)若,则由及,得,
此时直线MN的方程为,过点D(1,0)。
若,则,直线MD的斜率,
直线ND的斜率,得,所以直线MN过D点。
因此,直线MN必过轴上的点(1,0)。
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