圆锥曲线压轴难题及解答.docx
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圆锥曲线压轴难题及解答
圆锥曲线提高题
1.设抛物线y22px(p0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则
B到该抛物线准线的距离为
解析:
利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为2,B点坐标为(,)所
4
3
以点B到抛物线准线的距离为
_
2,本题主要考察抛物线的定义及几何性质,属容易
4
2.已知以F为焦点的抛物线y2
4x上的两点
A、B满足
uur
AFuuu
3FB则弦AB的中点到准
线的距离为•
解析:
设BF=m,由抛物线的定义知
AA-i3m,BB1m
ABC中,AC=2m,AB=4nk,AB,3
直线AB方程为y3(x1)
与抛物线方程联立消y得3x210x
x1x2
所以AB中点到准线距离为—2
2
2
-亠八m
3.已知m>1,直线l:
xmy一
2椭圆C:
2
x
-2
m
F1F2分别为椭圆C的左、
右焦点.
(I)当直线
I过右焦点F2时,求直线I的方程;
(n)设直线
I与椭圆C交于A,B两点,VAF,F2,
重心分别为G,H
•若原点0在以线段GH为直径的圆内,
的取值范围•
.2所以'm21m
解析:
本题主要考察椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
2.
(I)解:
因为直线I:
xmym0经过F2Cm21,0),
得m22,
又因为m1所以m.2,
故直线I的方程为x,2y
2
(n)解:
设A(xi,yj,BMy2)。
m2
xmy可由2
2
x2彳
—y1
m
,消去x得
2y2
m2
则由
my
m2
2
m28(
4
1)
且有yiy2
由于Fi(c,0),F2(c,0),,
故O为F1F2的中点,
uuuruuurumruuir
由AG2GO,BH2HO,
99
设M是GH的中点,贝yM弹生,址y2),
66
由题意可知2MOGH,
22
即4[(X1X2)2(y1y2)2](X1X2)(y1y?
)
6699
即x-ix2yy20
而XjX2y1y2(my-i)(my2
y』2
所以
(m2
即m24又因为m1且0
所以1m2。
所以m的取值范围是(1,2)。
22
4.己知斜率为1的直线I与双曲线C:
务笃1a>0,b>0相交于ab
的中点为M1,3.
(I)求C的离心率;
(H)设C的右顶点为A,右焦点为F,DFgBF17,证明:
过Ax轴相切.
【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质,考查直线与圆的关系,
知识掌握情况,又可以考查综合推理的能力
【参考答案】
B、D两点,且BD
B、D三点的圆与
既考查考生的基础
(1>由题设知•/的方和为:
y=x42.代入C的方程.井化简.爲
(b2-a2)^-4a2x-4a2-a2b2=0.
〃佃・必)、Ofxj.y,)*
4a24a2+a2fr2
由M(I.3>为BD的中点知△上殳=].故2
1心尹耳円•b2=3a31
c=>/a:
♦Z>2=2^
所以C的离心率e<£・2・
a
(II)由①、②知.C的方程为:
3?
-/=3o2,人(仏0)・F(2a.0).X|+x,=1Xy-x,=-^^-<0.
故不妨设斗Wt.©Na・
I财匸Jg_2d)'+y;=丁3-卯+3彳4=«-2^.
IFDI=Jcxj_2a)‘十y;35&・加)‘+3g-如二耳-c•
I=(a-2為X2x,r)
■Sa'*"亠8.
(1)
若C2经过G的两个焦点,求Ci的离心率;
XIRFilFDIsH九
故5<12+4^+8=]7.
=t舍去).
5
故IBDI=VSI码-花I■V5・J3+形尸一4州;电・6.
连WiMA.則由A(hO).M(l.3)>UIW4I=3*从而AM=MB-MD・且AM1<轴.冈此以M为岡心・MA为半检的関经过儿8.D三点*11在点人处‘小轴相切.
所yaa・b.d三点的関与jc轴相切.
【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目,命题者将好多考点以圆锥曲线为
背景来考查,如向量问题、三角形问题、函数问题等等,试题的难度相对比较稳定.
22
xyCi~2i(ab0)C•X2bvb2
5.设椭圆ab,抛物线C2bybo
(2)
设A(0,b),Q3J3,5又M、N为Ci与C2不在y轴上的两个交点,若△AMN
43
的垂心为B0,—b,且△QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程。
4
【解析】
考查椭圆和抛物线的定义、
基本量,通过交点三角形来确认方程。
(1)由已知椭圆焦点
(c,0)
在抛物线上,可得:
b2—
a2
2
222c
bc2c,有2a
⑵由题设可知
N关于y轴
xi,yi),Ng%)(为
0),由
AMN的垂心为
B,有
UULULOT
BMAN0
Xi2(yi
3b)(yib)0。
4
设
由点”(为,yj在抛物线上,
22
Xibyib,解得:
yi
b或yb(舍去)
4
于b,M(予(于b,三),得QMN
重心坐标
4
b2
由重心在抛物线上得:
3—
4
11b2,所以b=2,M(.5,—),N(、5,-),又因为M22
16
N在椭圆上得:
a2,椭圆方程为
3
2
X
16
2
L1,抛物线方程为X2
42y4。
6•已知以原点0为中心,
F-.5,0为右焦点的双曲线C的离心率e
(I)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;
(II)如题(20)图,已知过点MX1,y1
的直线11:
x-|X4y1y4与过点
NX2,y2(其中X2x)的直线
l2:
x2x4y2y4的交点E在双
曲线C上,直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点,求OGH的面积。
解:
(I)的标准方程为密「(a>0,
6>0),则由题意c=e=—=孕,az
因此a=2,6=Jd-J=1,
C的标准方程为j--/=1・
C的渐近线方程为y=±yx,即x-2y=0和a+2y=0.
(n)解法一:
如答(20)图,由题意点E(孔,九)在直线2心“+4力y・4和ZjzXjX+
4如=4上,因此有衍牝+4)•伉=4,xax£+4力允=4,
故点M、N均在直线x£x+4yEy=4上,因此直线MN的方程为
xer+4ycy=4.
设G、H分别是直线MN与渐近线入-2y=0&x+2y=0的交点,
[XfX+4VrV
由方程纽
x-2y=0
22
解得北=
4
设MN与*轴的交点为Q,则在直线x£x+4nr=4中,令y=0得力=•(易知xc
%<#0).注意到xJ-4/1=4J9
Sg=*・IOQI•In-/.I=盘・I石七土;I
42|xe|
"■M"*|xl-4yir
解法二:
设E(牝』由方程组
因七*巧‘则直线朋N的斜睾点
=——■
衍-辛4/x
故直线MN的方程为
注截到岭壮*4卄血三4,因此直线的方程为St+4y£y
下同解法一.
22
(I)求椭圆的标准方程;
(II)设直线PFi、PF?
的斜线分别为ki、k2.
13
(i)证明:
2;
k1k2
(ii)问直线l上是否存在点P,使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、
koc、koD满足koAkoBkockoD0?
若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若
不存在,说明理由•
所以?
■*zT"*'-
更小・卩1「.
所1]d■竝山■k
F折求桶圆方程为
(n)(i)ws弋•:
方法-:
*>!
>><-UO).F:
(lt0)tPF^PFz的国率分别为虹g且点P不衣历以ki工fki工0人丰0・・
又宜线PFfPF,的方程分别为y-AJx+Dty-^Cx-l).
所以
*2—*1
2爲島+3b-k9
厂q・-Ta2■结论成匕
方法二:
设9(4以》•则爲一召匚
因为点P不在工紬上.所以y9^0.又x»+力—2»所以土一鱼乂心一込竺乂口旦口如
*1h力>0
因此结论成立.
CH)解:
设AC"%儿力儿C(xc»yc)>DGr
"塔(卄1》J芋皿T,
联立贯线川I与橢圆的方程得
化简得《2卅+1)云+4卅工T绅一'
図此
由于
所以
目此
0>
■・,2対一2
和+刊一-巫耳V工皿=阪TH亍
OA.OB的斜甲存在.
xA工0,xBH0■因此妊兴0』•匕+心=之+也=臥*尢"+匕轧土!
2
XaX>如工・
=2h十®兰主^■■h(2-诂、2>
2kx
S3—…X
Q-1
相似地可以得到Xc#O,%工0,愿界0丄址十&8
故心十屉〒址%+
_严為—新十上%—鱼
2Ct(^-D(*i+fet)
(Al^-1X%I1>
若点曲十‘匸+匕+张=乩黛宥h+島虫°或九电«1
5)岂杠+h■0时.结合(i〉的结论•可得Jtj・l沢质Ulin曙点P站坐掠为C0,2>
②当居虽弓】时•箱舍的鰭论,解钳趾=一M此时—I■不瞒足站护居,含去片此时点阀CD的方程为>-3(x-nj^立方裂盂十2盹■#4-召
铜此F脊申・
练上所述曲足乘件的点f的生皿駢35②煜申,
8.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点0对称,P是动点,且直线AP
1
与BP的斜率之积等于^
3
(I)求动点P的轨迹方程;
(II)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:
是否存在点P使得△PAB与厶PMN的面积相等?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。
(I)解:
因为点B与A(1,1)关于原点0对称,所以点B得坐标为(1,1).
设点P的坐标为(x,y)
由题意得
化简得
4(x
故动点P的轨迹方程为x2
(II)解法一:
设点P的坐标为
1).
3y24(x1)
(X。
,y。
),点M,N得坐标分别为(3皿),(3必).
y01y01则直线AP的方程为y10(x1),直线BP的方程为y10(x1)x。
1X。
1
令X3得yM叮严,yN
2y。
x3
x。
1
于是VPMN得面积
1
SVPMN—|yM
yN1(3
Xo)
2
|Xoyo|(3Xo)
|Xo21|
又直线AB的方程为x
|AB|2,2,
点P到直线AB的距离
|Xo
yo|血—
SVPAB
当SVPAB
SVPMN
又|Xo
yo|o,
所以(3
xo)2=|
2
因为Xo
c2
3yo
于是VPAB的面积
1-|AB|gd
时,得|x0
故存在点
|Xo
yo|
2
1|,解得|Xo
yol
2
|Xoyo|(3Xo)
4,所以yo少
9
|Xo21|
5
P使得VPAB与VPMN的面积相等,此时点P的坐标为(―,
3
解法二:
若存在点P使得VPAB与VPMN的面积相等,设点P的坐标为(xo,yo)
则1|PAgPB|sinAPB?
|PM|gPN|sinMPN.因为sinAPBsinMPN,
所以IfAL
|PM|
|PN||PB|
所以|Xo1|
|3Xo|
|3Xo|
|x1|
2
即(3Xo)
2
|Xo1|,解得
Xo
22
因为xo3yo4,所以yo
.33
9
故存在点PS使得VPAB与VPMN的面积相等,此时点P的坐标为
(3,¥)•
39
1
9•已知定点A(—1,0),F(2,0),定直线I:
x=-,不在x轴上的动点P与点F的距离是它
到直线I的距离的2倍•设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交I于点M、N
(I)求E的方程;
(H)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由•
本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识,考察平面机袭击和的思想方法及推理
运算能力•
解:
(1)设P(x,y),则,(x2)2y22|x1|
2
化简得x2——=1(y*0)4分
3
(2)①当直线BC与x轴不垂直时,设BC的方程为y=k(x—2)(k*0)与双曲线x2—1=1联立消去y得
3
(3—k)2x2+4k2x—(4k2+3)=0
由题意知3—k2*0且厶>0
设B(X1,yJ,Cg,y2),
4k2
x1“k23
x1x2
4k23
k23
y1y2=k2(X1—2)(X2—2)=k2[—2(x1+刈)+4]
4k23
k23
8k2
k23
+4)
_9k2_k23
因为捲、X2*—1
所以直线AB的方程为y=』一(x+1)
x11
因此M点的坐标为(丄,纽)
22(X11)
ULUU33vumr33v
FM(),同理可得FN(=卫2)
22(x11)22(x21)
UUUUUULT因此FMgFN(
3)2
9y“2
2(X11)(X21)
81k2
k23
4k23~~4?
~~
21)
3k23
4(W
=0
②当直线BC与x轴垂直时,
AB的方程为y=x+1,因此
起方程为x=2,贝UB(2,3),C(2,—3)
13UULU33
M点的坐标为(―,),FM(—,)
2222
uiur
同理可得FN
UULUUULT
因此FMg=N
33)
2,2)
3)23(
22
UUUUUULT综上FMgFN
=0,即FM丄FN
故以线段MN
为直径的圆经过点
12分
10•—条双曲线
2
x2
y1的左、
右顶点分别为Ai,A2,点P(Xi,yi),Q(Xi,yj是双曲线上
不同的两个动点。
(1)求直线
AiP与A2Q交点的轨迹E的方程式;
(2)若过点
H(0,h)(h>1)的两条直线11和12与轨迹E都只有一个交点,且hl2,求
h的值。
fe:
⑴由.七忌対収曲线的左、右顶点知,庞0,九(庞,0)・
:
丁=—(不戸=必尺(卞-V2);两式相乘得
二幼而电貝亏川在収曲线上,所成互-x二1,二丄
—22亦亠22
故y2
2(x22),即yy2
22
(2)设l1:
ykxh,则由l1l2知,l2:
y-xh。
k
2
宀x2
将l-:
ykxh代入y1得
2
x(kxh)1,即(12k)x4khx2h20,
2
由l-与E只有一个交点知,16k2h24(12k2)(2h22)0,即卩
22
12kho
122122同理,由l2与E只有一个交点知,122h,消去h得2k,即k1,从kk
而h212k23,即h.3。
11.已知抛物线C:
y24x的焦点为F,过点K(1,0)的直线I与C相交于A、B两点,点
A关于x轴的对称点为D.
(I)证明:
点F在直线BD上;
uuruuu8
(n)设FAg=B—,求BDK的内切圆M的方程
9
余析;本小題为解断儿何与平直句量埒合ED叵主要垮奁办物线的性庾.直线与因的谊直去系,克锻弓拋怖土位置哭冯-園的几何性质勻圖的方腥矿附暇、平面向植矿叢宜帆铮如決,奪査考生纬含忆用舸学叩识进行和虑证的龍力■.运算能力和解耒伺遷的能力,同时靑査T数黑纽巻思憬-左而平廉尽想.
解:
〔Q设卫(珂小)戶(叼丿)则D(*—尸小许直強人尸三处"1)仗尹0)谊入化陆整理得
2上2j
F/+(2以一4触+尸=5由心40*再Qvk'V,罚+七=2~血-阳=1
戸,_/a,A_灯.勺+1)山7+如44恥-1)_珈舟叼7)_八
b■A-rr*—jjp1;:
LF
Jtj—1七一1円—1(尤?
一1)(血—1)珂勺一(勺~h半1
_片+一5一土第
吃r两(帀-曲)小
如:
力+历,-3二0如-T7y-3=a
-(珂-呱-1)I-F(和l)(x3il)r(F+1)(耳此+1)i-(k21)仙+Xj)-|
将勺亠先
。
以一491
-j—3呵宝=1■代入丄式:
麻得以二一M二士—
Jf164
.■J:
y=+—(x+11,3Tif:
3x+4rri-3=O或3兀-4^+3=0d
白题食盯的內切—定在厂铀上,不赫曲站到直建丿空三匸:
”巨喝対
«,初T叽卩y船g酬冷如―夕:
舍些内切BW的半龟广」:
+引—扌
化內协测M的+72-i.
12.如图,已知椭圆竺池
a2b21(a>b>0)的离心率为
以该椭圆上的点和椭圆的左、
右焦点Fi,F2为顶点的三角形的周长为
4(.21)一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设
P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PFi和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
(I)求椭圆和双曲线的标准方程;
(n)设直线PFi、PF?
的斜率分别为ki、k?
,证明kik21;
(川)是否存在常数,使得ABCDABCD恒成立?
若存在,求的值;若不
存在,请说明理由.
【解析】(I)由题意知,椭圆离心率为-上2,得a,2c,又2a2c4(、、21),
a2
22
所以可解得a2^2,c2,所以b2a2c24,所以椭圆的标准方程为—-1;
84
所以椭圆的焦点坐标为(2,0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所
以该双曲线的标准方程为
(H)设点P(两,九),则咕丄—扁=』二,所以岳临=』4』4西)+2xa-2环+2珀)_2
着又心
亦必)在双曲线上所创有号-一牛=1,即膚=彳_牛,所以
CD\=2\AE\-\7D\'^il,则由(II)知片吨=1,所以设直线AE的方程为尸二忒石+2),卩」直线CD的方程为》=丄(芹+2),
k
(IID假设存在常数处便得也E+
由右程组
y=Jt(里十2)
a32消V^5(2疋+1)严+滤乙+$好一呂=0,设4珂必'承兀必卜—+—=1
I84
则由韦达定理得;冏+花二弟gp
所LUAB■丘7乜可+可尸-4聞■兰钞fp,同理可得
CD=
w戸_M(i+Q
鮎F
又因为|』別十二見也刀|忙0|,所以有兄二11
P+2
+三—
\AB\\CD\4j5(l+P)4雀(1+P)
■4盂:
]厂容所囚?
?
在橄丸二芋,便得|朋|+|CD|=/l⑷卜|CD|恒咸立.
【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线
的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力。
其中问题(3)
是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力,
13.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是
1.
(I)求曲线C的方程;
(H)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都
uuuuuu
有FA?
FB0?
若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由。
冋車*比土盘£汲盘线与樂揚馥的抄赛黃护抛物彼M性厉等镇熬抄说.同时那誉it理运算的能放彳満井〕2弁〉
Mi J(X-1): +y2-x-5J(jt>0)» (匕简尅尸=4x(a? >0). ()1>谡过A簷⑷期伽A(n的血故八」曲ftc的仝血为卅心片)・%小 设f的方觀为肾冃刖十翩T由 X・**e和y: -勺厂斗附r0・A=l6(I? +flj)>0*r-4i T-« FM・FH<0o朗*1)(屯-1)+y;y==r,*;-(斗•斗)*I*>\y*<0② 乂其斗r*H帶丈②令KrT 琴丰弼n卄z b";? L*m: f扌Kh*r;)s^划打1*i"®山①武・不零武③尊价r rtJa-"fijti*1© 屈仔总实數「所口不甞丈⑷对尸u畀成亞甞仰于 Bf"*&■*1^0*1$3^2^2弋卿丈1*2^5* di比可知「召在iESfl/rxjra*S/M)乩比勵缚cvv两个交点厶&的任■Htfc.wnW-Ffi 14•已知椭圆E经过点A2,3,对称轴为坐标轴,焦点 1 Fi,F2在x轴上,离心率e一。 2 (I)求椭圆E的方程; (n)求FiAF2的角平分线所在直线I的方程; (川)在椭圆E上是否存在关于直线I对称的相异两点? 若存在,请找出;若不存在,说明理由。 ■"小■■满分13分)本JB为施桶圆的建义及标准方程.橢圆的简单几何性质.W线的点斜式方程与 -股方程•点到直线的距离公式,点关于宜线的对称尊華础知识;考衣解析几何的并本思惣.纺: 合运算能力.探处盘识与创新意识・解: (I)设IffilfflE的方程为手♦石… 由e■寺.即亍=as2c9得6: =a'一疋=3c2・ X椭圆方程典有形式右+右"• 将/(2.3)代入上式.得-! ♦弓=1.舸得c@2. cc •・•ffi®£: 的方程为jy=1. (n)解法1: 由(I〉知几(-2.0)tF,(2.0)•所以 支线片几的方
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