正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版).doc
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正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版).doc
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正弦定理和余弦定理的应用举例
考点梳理
1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.
2.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①).
(2)方向角:
相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°,西偏北60°等;
(3)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).
(4)坡度:
坡面与水平面所成的二面角的度数.
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解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力.
(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型.
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
解三角形应用题常有以下两种情形
(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.
(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.
考点自测
1.(2012·江苏金陵中学)已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积等于________.
解析 记三角形三边长为a-4,a,a+4,则(a+4)2=(a-4)2+a2-2a(a-4)cos120°,解得a=10,故S=×10×6×sin120°=15.
答案 15
2.若海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距10海里,∠BAC=60°,∠ABC=75°,则B,C间的距离是________海里.
解析 由正弦定理,知=.解得BC=5(海里).
答案 5
3.(2013·日照调研)如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为________海里/时.
解析 由正弦定理,得MN==34(海里),船的航行速度为=(海里/时).
答案
4.在△ABC中,若2absinC=a2+b2+c2,则△ABC的形状是________.
解析 由2absinC=a2+b2+c2,a2+b2-c2=2abcosC相加,得a2+b2=2absin.又a2+b2≥2ab,所以
sin≥1,从而sin=1,且a=b,C=时等号成立,所以△ABC是等边三角形.
答案 等边三角形
5.(2010·江苏卷)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若+=6cosC,则+的值是________.
解析 利用正、余弦定理将角化为边来运算,因为+=6cosC,由余弦定理得=6·,即a2+b2=c2.而+==·====4.
答案 4
考向一 测量距离问题
【例1】如图所示,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1km.
(1)求证:
AB=BD;
(2)求BD.
(1)证明 在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以CD=AC=0.1.又∠BCD=180°-60°-60°=60°,
故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA.
(2)解 在△ABC中,=,
即AB==(km),
因此,BD=(km)
故B、D的距离约为km.
[方法总结]
(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的模型.
(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学模型的解.
(3)应用题要注意作答.
【训练1】隔河看两目标A与B,但不能到达,在岸边先选取相距千米的C,D两点,同时测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.
解 如题图所示,在△ACD中,∵∠ADC=30°,∠ACD=120°,∴∠CAD=30°,AC=CD=(千米).
在△BDC中,∠CBD=180°-45°-75°=60°.
由正弦定理,可得BC==(千米).
在△ABC中,由余弦定理,可得
AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠BCA,
即AB2=()2+2-2·cos75°=5,
∴AB=(千米).所以两目标A,B间的距离为千米.
考向二 测量高度问题
【例2】(2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位:
m)如图所示,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.
(1)该小组已测得一组α、β的值,算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出H的值;
(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:
m),使α与β之差较大,可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为125m,试问d为多少时,α-β最大?
解
(1)由AB=,BD=,AD=及AB+BD=AD得+=解得H===124.
因此,算出的电视塔的高度H是124m.
(2)由题设知d=AB,得tanα=.
由AB=AD-BD=-,得tanβ=,
所以tan(α-β)==≤,
当且仅当d=,即d===55时,上式取等号.所以当d=55时,tan(α-β)最大.因为0<β<α<,则0<α-β<,所以当d=55时,α-β最大.故所求的d是55m.
[方法总结]
(1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念.
(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形应用正、余弦定理.
(3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形.
【训练2】
如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.
解 在△BCD中,∠CBD=π-α-β,
由正弦定理得=,
所以BC==
在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=.
考向三 运用正、余弦定理解决航海应用问题
【例3】我国海军在东海举行大规模演习.在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A(-1)km的B处有一艘“敌舰”.在A处北偏西75°的方向,距离A2km的C处的“大连号”驱逐舰奉命以10km/h的速度追截“敌舰”.此时,“敌舰”正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问“大连号”沿什么方向能最快追上“敌舰”?
解 设“大连号”用th在D处追上“敌舰”,则有CD=10t,BD=10t,如图在△ABC中,∵AB=-1,AC=2,∠BAC=120°,
∴由余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC
=(-1)2+22-2·(-1)·2·cos120°=6
∴BC=,且sin∠ABC=·sin∠BAC=·=.
∴∠ABC=45°,
∴BC与正北方向垂直.
∴∠CBD=90°+30°=120°,
在△BCD中,由正弦定理,得
sin∠BCD===,
∴∠BCD=30°.
即“大连号”沿东偏北30°方向能最快追上“敌舰”.
[方法总结]用解三角形知识解决实际问题的步骤:
第一步:
将实际问题转化为解三角形问题;
第二步:
将有关条件和求解的结论归结到某一个或两个三角形中.
第三步:
用正弦定理和余弦定理解这个三角形.
第四步:
将所得结果转化为实际问题的结果.
【训练3】(2013·广州二测)
如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上,此时到达C处.
(1)求渔船甲的速度;
(2)求sinα的值.
解
(1)依题意知,∠BAC=120°,AB=12(海里),AC=10×2=20(海里),∠BCA=α,在△ABC中,由余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC
=122+202-2×12×20×cos120°=784.
解得BC=28(海里).所以渔船甲的速度为=14海里/时.
(2)在△ABC中,因为AB=12(海里),
∠BAC=120°,BC=28(海里),∠BCA=α,
由正弦定理,得=.
即sinα===.
高考经典题组训练
1.(四川卷改编)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连结EC、ED,则sin∠CED=________.
解析 在Rt△EAD和Rt△EBC中,易知ED=,EC=,在△DEC中,由余弦定理得cos∠CED===.∴sin∠CED=.
答案
2.(2011·新课标卷)在△ABC中,B=60°,AC=,则AB+2BC的最大值为________.
解析 由正弦定理知==,
∴AB=2sinC,BC=2sinA.
又A+C=120°,∴AB+2BC=2sinC+4sin(120°-C)=2(sinC+2sin120°cosC-2cos120°sinC)
=2(sinC+cosC+sinC)=2(2sinC+cosC)
=2sin(C+α),其中tanα=,α是第一象限角.
由于0°<C<120°,且α是第一象限角,
因此AB+2BC有最大值2.
答案 2
3.(湖北卷改编)若△ABC的三边长为连续三个正整数,且A>B>C,3b=20acosA,则sinA∶sinB∶sinC=________.
解析 由A>B>C,得a>b>c.设a=c+2,b=c+1,则由3b=20acosA,得3(c+1)=20(c+2)·,即3(c+1)2c=10(c+1)(c+2)(c-3),解得c=4,所以a=6,b=5.
答案 6∶5∶4
4.
(2·陕西卷)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船达到D点需要多长时间?
解 由题意知AB=5(3+)海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,
所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,
在△ADB中,由正弦定理得=,
所以DB==
==10(海里),
又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,
BC=20(海里),在△DBC中,由余弦定理得
CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC
=300+1200-2×10×20×=900,
所以CD=30(海里),则需要的时间t==1(小时).
所以救援船到达D点需要1小时.
(江苏省2013届高三高考压轴数学试题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=5,b=4,cos(A-B)=.
(Ⅰ)求sinB的值;
(Ⅱ)求cosC的值.
分层训练A级 基础达标演练
(时间:
30分钟 满分:
60分)
一、填空题(每小题5分,共30分)
1.若渡轮以15km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶,水流速度为4km/h,则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1km/h)________.
答案 13.5km/h
2.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距________m.
解析 如图,OM=AOtan45°=30(m),
ON=AOtan30°=×30=10(m),
由余弦定理得,
MN=
==10(m).
答案 10
3.某人向正东方向走xkm后,他向右转150°,然后朝新方向走3km,结果他离出发点恰好km,那么x的值为________.
解析 如图,在△ABC中,AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30°,由余弦定理得()2=32+x2-2×3x×cos30°,即x2-3x+6=0,解得x1=,x2=2,经检测均合题意.
答案 或2
4.如图所示,为了测量河对岸A,B两点间的距离,在这一岸定一基线CD,现已测出CD=a和∠ACD=60°,∠BCD=30°,∠BDC=105°,∠ADC=60°,则AB的长为________.
解析 在△ACD中,已知CD=a,∠ACD=60°,∠ADC=60°,
所以AC=a.①
在△BCD中,由正弦定理可得BC==a.②
在△ABC中,已经求得AC和BC,又因为∠ACB=30°,
所以利用余弦定理可以求得A,B两点之间的距离为
AB==a.
答案 a
5.(2010·新课标全国卷)在△ABC中,D为边BC上一点,BD=CD,∠ADB=120°,AD=2,若△ADC的面积为3-,则∠BAC=________.
解析 由A作垂线AH⊥BC于H.
因为S△ADC=DA·DC·sin60°=×2×DC·=3-,所以DC=2(-1),又因为AH⊥BC,∠ADH=60°,所以DH=ADcos60°=1,∴HC=2(-1)-DH=2-3.
又BD=CD,∴BD=-1,∴BH=BD+DH=.又AH=AD·sin60°=,所以在Rt△ABH中AH=BH,∴∠BAH=45°.
又在Rt△AHC中tan∠HAC===2-,
所以∠HAC=15°.又∠BAC=∠BAH+∠CAH=60°,
故所求角为60°.
答案 60°
6.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是________米.
解析 在△BCD中,CD=10(米),∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC=30°,=,BC==10(米).在Rt△ABC中,tan60°=,AB=BCtan60°=10(米).
答案 10
二、解答题(每小题15分,共30分)
7.(2011·常州七校联考)如图,在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA上,点N、M在OB上,设矩形PNMQ的面积为y,
(1)按下列要求写出函数的关系式:
①设PN=x,将y表示成x的函数关系式;
②设∠POB=θ,将y表示成θ的函数关系式;
(2)请你选用
(1)中的一个函数关系式,求出y的最大值.
解
(1)①∵ON==,OM=x,
∴MN=-x,
∴y=x,x∈.
②∵PN=sinθ,ON=cosθ,OM=×sinθ=sinθ,
∴MN=ON-OM=cosθ-sinθ,
∴y=sinθ(cosθ-sinθ),
即y=3sinθcosθ-sin2θ,θ∈.
(2)选择y=3sinθcosθ-sin2θ=sin-,
∵θ∈,∴2θ+∈,∴ymax=.
8.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.
解
(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,则
S=
==.
故当t=时,Smin=10(海里),
此时v==30(海里/时).
即,小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.
(2)设小艇与轮船在B处相遇,则v2t2=400+900t2-2·20·30t·
cos(90°-30°),
故v2=900-+,∵0<v≤30,
∴900-+≤900,即-≤0,解得t≥.
又t=时,v=30海里/时.
故v=30海里/时时,t取得最小值,且最小值等于.
此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20海里,故可设计航行方案如下:
航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇.
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