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第六章数列
第一节等差数列与等比数列
题型73等差、等比数列的通项及基本量的求解
1.(2011全国理17-1)等比数列的各项均为正数,且,.
(1)求数列的通项公式;
2.(2013全国Ⅱ理3)等比数列的前项和为,已知,则().
A.B.C.D.
3.(2015全国Ⅱ理4)等比数列满足,,则().
A.B.C.D.
题型74等差、等比数列的求和
题型75等差、等比数列的性质应用
4(2012全国理5)已知为等比数列,,,则()
A.B.C.D.
5.(2013课标全国Ⅰ,理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( ).
A.3B.4C.5D.6
6.(2014全国Ⅰ理17)已知数列{}的前项和为,=1,,,其中为常数.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)是否存在,使得{}为等差数列?
并说明理由.
………12分
题型76判断或证明数列是等差、等比数列
7.(2014全国Ⅱ理17-1)已知数列满足,.
(Ⅰ)证明是等比数列,并求的通项公式;
7.(Ⅰ)证明:
∵,∴,即:
又,∴是以为首项,3为公比的等比数列.
∴,即
题型77等差数列与等比数列的综合应用
第二节数列的通项公式与求和
题型78数列通项公式的求解
8.(2012全国理5)已知为等比数列,,,则()
A.B.C.D.
9.(2013课标全国Ⅰ,理14)若数列{an}的前n项和,则{an}的通项公式是an=__________.
10.(2015全国Ⅰ理17-1)为数列的前项和,已知,.
(1)求的通项公式;
题型79数列的求和
11.(2011全国理17-2)等比数列的各项均为正数,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设…,求数列的前项和.
12.(2012全国理16)数列满足,则的前项和为.
13.(2014全国Ⅱ理17-2)
已知数列满足,.
(Ⅰ)证明是等比数列,并求的通项公式;
(Ⅱ)证明.
14.(2015全国Ⅰ理17-2)为数列的前项和,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
15.(2015全国Ⅱ理16)设是数列的前项和,且,则____________________.
第三节数列的综合
题型80数列与不等式的综合
第六章试题详解
1.【解析】
(1)设数列的公比为.由得,所以.
由条件可知,故.由得,
所以.故数列的通项公式为.
2.分析先设出公比,然后根据已知条件列出方程组,求出.
解析:
设公比为,因为,所以所以
解得故选C.
3.解析由题意可设等比数列的公比为,则由得,
.又因为,所以.解得或(舍去),所以.故选B.
评注等差数列与等比数列的基本概念和性质是考查的重点.本题考查了等比数列的通项公式及一元二次方程的解法,注意最后一步要能将“”写成“”的形式,再提出“”.
4.解析方法一:
利用等比数列的通项公式求解.
由题意得,所以,或,
.故选D.
方法二:
利用等比数列的性质求解.
由,解得,或.所以,或,
所以.故选D.
5.答案:
C
解析:
∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,
∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3.
∴d=am+1-am=3-2=1.
∵Sm=ma1+×1=0,∴.
又∵am+1=a1+m×1=3,∴.
∴m=5.故选C.
6.【解析】:
(Ⅰ)由题设,,两式相减
,由于,所以…………6分
(Ⅱ)由题设=1,,可得,由(Ⅰ)知
假设{}为等差数列,则成等差数列,∴,解得;
证明时,{}为等差数列:
由知
数列奇数项构成的数列是首项为1,公差为4的等差数列
令则,∴
数列偶数项构成的数列是首项为3,公差为4的等差数列
令则,∴
∴(),
因此,存在存在,使得{}为等差数列.
8.解析方法一:
利用等比数列的通项公式求解.
由题意得,所以,或,
.故选D.
方法二:
利用等比数列的性质求解.
由,解得,或.所以,或,
所以.故选D.
9.答案:
(-2)n-1
解析:
∵,①
∴当n≥2时,.②
①-②,得,
即=-2.
∵a1=S1=,
∴a1=1.
∴{an}是以1为首项,-2为公比的等比数列,an=(-2)n-1.
10.解析
(1)由①
可得②
式①-式②得.又因为,所以.
当时,,即,解得或(舍去),所以是首项为,公差为的等差数列,通项公式为.
11.【解析】
(1)设数列的公比为.由得,所以.
由条件可知,故.由得,
所以.故数列的通项公式为.
(2).
故,
所以,
所以数列的前项和为.
12.分析利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解.
解析因为,所以,,,,,,,,,,,,,,,,所以.
13.解析:
(Ⅰ)证明:
∵,∴,即:
又,∴是以为首项,3为公比的等比数列.
∴,即
(Ⅱ)证明:
由(Ⅰ)知,∴
∴
故:
14.解析
(1)由①
可得②
式①-式②得.又因为,所以.
当时,,即,解得或(舍去),所以是首项为,公差为的等差数列,通项公式为.
(2)由可得.
记数列前项和为,则.
15.解析根据题意,由数列的项与前项和关系得,,
由已知得,由题意知,,则有,
故数列是以为首项,为公差的等差数列,
则,所以.
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