人教版高中数学《不等式》全部教案.doc
- 文档编号:6140769
- 上传时间:2023-05-09
- 格式:DOC
- 页数:44
- 大小:1.82MB
人教版高中数学《不等式》全部教案.doc
《人教版高中数学《不等式》全部教案.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教版高中数学《不等式》全部教案.doc(44页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
不等式专题讲义德胜教育
第一教时
教材:
不等式、不等式的综合性质
目的:
首先让学生掌握不等式的一个等价关系,了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。
过程:
一、引入新课
1.世界上所有的事物不等是绝对的,相等是相对的。
2.过去我们已经接触过许多不等式从而提出课题
二、几个与不等式有关的名称(例略)
1.“同向不等式与异向不等式”
2.“绝对不等式与矛盾不等式”
三、不等式的一个等价关系(充要条件)
1.从实数与数轴上的点一一对应谈起
2.应用:
例一比较与的大小
解:
(取差)-
∴<
例二已知¹0,比较与的大小
解:
(取差)-
∵∴从而>
小结:
步骤:
作差—变形—判断—结论
例三比较大小1.和
解:
∵
∵
∴<
2.和
解:
(取差)-∵
∴当时>;当时=;当时<
3.设且,比较与的大小
解:
∴
当时≤;当时≥
四、不等式的性质
1.性质1:
如果,那么;如果,那么(对称性)
证:
∵∴由正数的相反数是负数
2.性质2:
如果,那么(传递性)
证:
∵,∴,
∵两个正数的和仍是正数∴
∴
由对称性、性质2可以表示为如果且那么
五、小结:
1.不等式的概念2.一个充要条件
3.性质1、2
六、作业:
P5练习P8习题6.11—3
补充题:
1.若,比较与的大小
解:
-=……=∴≥
2.比较2sinq与sin2q的大小(0 略解: 2sinq-sin2q=2sinq(1-cosq) 当qÎ(0,p)时2sinq(1-cosq)≥02sinq≥sin2q 当qÎ(p,2p)时2sinq(1-cosq)<02sinq 3.设且比较与的大小 解: 当时∴> 当时∴> ∴总有> 第二教时 教材: 不等式基本性质(续完) 目的: 继续学习不等式的基本性质,并能用前面的性质进行论证,从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。 过程: 一、复习: 不等式的基本概念,充要条件,基本性质1、2 二、1.性质3: 如果,那么(加法单调性)反之亦然 证: ∵∴ 从而可得移项法则: 推论: 如果且,那么(相加法则) 证: 推论: 如果且,那么(相减法则) 证: ∵∴ 或证: 上式>0……… 2.性质4: 如果且,那么; 如果且那么(乘法单调性) 证: ∵∴ 根据同号相乘得正,异号相乘得负,得: 时即: 时即: 推论1如果且,那么(相乘法则) 证: 推论1’(补充)如果且,那么(相除法则) 证: ∵∴ 推论2如果,那么 3.性质5: 如果,那么 证: (反证法)假设 则: 若这都与矛盾∴ 三、小结: 五个性质及其推论 口答P8练习1、2习题6.14 四、作业P8练习3习题6.15、6 五、供选用的例题(或作业) 1.已知,,,求证: 证: 2.若,求不等式同时成立的条件 解: 3.设,求证 证: ∵∴ 又∵∴>0∴ ∵∴ ∴ 4.比较与的大小 解: -当时∵即 ∴∴< 当时∵即 ∴∴> 5.若求证: 解: ∵∴∴ ∵∴∴ 6.若求证: 证: ∵p>1∴ 又∵∴ ∴∴原式成立 第三教时 教材: 算术平均数与几何平均数 目的: 要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义,并掌握“平均不等式”及其推导过程。 过程: 一、定理: 如果,那么(当且仅当时取“=”) 证明: 1.指出定理适用范围: 2.强调取“=”的条件 二、定理: 如果是正数,那么(当且仅当时取“=”) 证明: ∵∴ 即: 当且仅当时 注意: 1.这个定理适用的范围: 2.语言表述: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 三、推广: 定理: 如果,那么 (当且仅当时取“=”) 证明: ∵ ∵∴上式≥0从而 指出: 这里∵就不能保证 推论: 如果,那么 (当且仅当时取“=”) 证明: 四、关于“平均数”的概念 1.如果则: 叫做这n个正数的算术平均数 叫做这n个正数的几何平均数 2.点题: 算术平均数与几何平均数 3.基本不等式: ≥ 这个结论最终可用数学归纳法,二项式定理证明(这里从略) 语言表述: n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 4.的几何解释: A B D’ D C a b 以为直径作圆,在直径AB上取一点C,过C作弦DD’^AB则 从而 而半径 五、例一已知为两两不相等的实数,求证: 证: ∵ 以上三式相加: ∴ 六、小结: 算术平均数、几何平均数的概念 基本不等式(即平均不等式) 七、作业: P11-12练习1、2P12习题5.21--3 补充: 1.已知,分别求的范围 (8,11)(3,6)(2,4) 2.试比较与(作差>) 3.求证: 证: 三式相加化简即得 第四教时 教材: 极值定理 目的: 要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理,并学会初步应用。 过程: 二、复习: 算术平均数与几何平均数定义,平均不等式 三、若,设 求证: 加权平均;算术平均;几何平均;调和平均 证: ∵ ∴即: (俗称幂平均不等式) 由平均不等式 即: 综上所述: 例一、若求证 证: 由幂平均不等式: 四、极值定理 已知都是正数,求证: 1°如果积是定值,那么当时和有最小值 2°如果和是定值,那么当时积有最大值 证: ∵∴ 1°当(定值)时,∴ ∵上式当时取“=”∴当时有 2°当(定值)时,∴ ∵上式当时取“=”∴当时有 注意强调: 1°最值的含义(“≥”取最小值,“≤”取最大值) 2°用极值定理求最值的三个必要条件: 一“正”、二“定”、三“相等” 五、例题 1.证明下列各题: ⑴ 证: ∵∴ 于是 ⑵若上题改成,结果将如何? 解: ∵ 于是 从而 ⑶若则 解: 若则显然有 若异号或一个为0则∴ 2.①求函数的最大值 ②求函数的最大值 解: ①∵∴∴当即时 即时 ②∵∴ ∴ ∴当时 3.若,则为何值时有最小值,最小值为几? 解: ∵∴ ∴= 当且仅当即时 六、小结: 1.四大平均值之间的关系及其证明 2.极值定理及三要素 七、作业: P12练习3、4习题6.24、5、6 补充: 下列函数中取何值时,函数取得最大值或最小值,最值是多少? 1°时 2° 3°时 第五教时 教材: 极值定理的应用 目的: 要求学生更熟悉基本不等式和极值定理,从而更熟练地处理一些最值问题。 过程: 八、复习: 基本不等式、极值定理 九、例题: 1.求函数的最大值,下列解法是否正确? 为什么? 解一: ∴ 解二: 当即时 答: 以上两种解法均有错误。 解一错在取不到“=”,即不存在使得;解二错在不是定值(常数) 正确的解法是: 当且仅当即时 2.若,求的最值 解: ∵∴ 从而 即 3.设且,求的最大值 解: ∵∴ 又 ∴ 即 4.已知且,求的最小值 解: 当且仅当即时 十、关于应用题 1.P11例(即本章开头提出的问题)(略) 2.将一块边长为的正方形铁皮,剪去四个角(四个全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容积最大,剪去的小正方形的边长为多少? 最大容积是多少? 解: 设剪去的小正方形的边长为 则其容积为 当且仅当即时取“=” 即当剪去的小正方形的边长为时,铁盒的容积为 十一、作业: P12练习4习题6.27 补充: 1.求下列函数的最值: 1°(min=6) 2°() 2.1°时求的最小值,的最小值 2°设,求的最大值(5) 3°若,求的最大值 4°若且,求的最小值 3.若,求证: 的最小值为3 4.制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖),问圆柱底半径和 高各取多少时,用料最省? (不计加工时的损耗及接缝用料) 第六教时 教材: 不等式证明一(比较法) 目的: 以不等式的等价命题为依据,揭示不等式的常用证明方法之一——比较法,要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 过程: 一、复习: 1.不等式的一个等价命题 2.比较法之一(作差法)步骤: 作差——变形——判断——结论 二、作差法: (P13—14) 1.求证: x2+3>3x 证: ∵(x2+3)-3x= ∴x2+3>3x 2.已知a,b,m都是正数,并且a 证: ∵a,b,m都是正数,并且a0,b-a>0 ∴即: 变式: 若a>b,结果会怎样? 若没有“a 3.已知a,b都是正数,并且a¹b,求证: a5+b5>a2b3+a3b2 证: (a5+b5)-(a2b3+a3b2)=(a5-a3b2)+(b5-a2b3) =a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3) =(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2) ∵a,b都是正数,∴a+b,a2+ab+b2>0 又∵a¹b,∴(a-b)2>0∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0 即: a5+b5>a2b3+a3b2 4.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m行走,另一半时间以速度n行走;有一半路程乙以速度m行走,另一半路程以速度n行走,如果m¹n,问: 甲乙两人谁先到达指定地点? 解: 设从出发地到指定地点的路程为S, 甲乙两人走完全程所需时间分别是t1,t2, 则: 可得: ∴ ∵S,m,n都是正数,且m¹n,∴t1-t2<0即: t1 从而: 甲先到到达指定地点。 变式: 若m=n,结果会怎样? 三、作商法 5.设a,bÎR+,求证: 证: 作商: 当a=b时, 当a>b>0时, 当b>a>0时, ∴(其余部分布置作业) 作商法步骤与作差法同,不过最后是与1比较。 四、小结: 作差、作商 五、作业: P15练习 P18习题6.31—4 第七教时 教材: 不等式证明二(比较法、综合法) 目的: 加强比商法的训练,以期达到熟练技巧,同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。 过程: 二、比较法: a)复习: 比较法,依据、步骤 比商法,依据、步骤、适用题型 b)例一、证明: 在是增函数。 证: 设2≤x1 ∵x2-x1>0,x1+x2-4>0∴ 又∵y1>0,∴y1>y2∴在是增函数 三、综合法: 定义: 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这个证明方法叫综合法。 i.已知a,b,c是不全相等的正数, 求证: a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc 证: ∵b2+c2≥2bc,a>0,∴a(b2+c2)≥2abc 同理: b(c2+a2)≥2abc,c(a2+b2)≥2abc ∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥6abc 当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号,而a,b,c是不全相等的正数 ∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc ii.设a,b,cÎR, 1°求证: 2°求证: 3°若a+b=1,求证: 证: 1°∵∴ ∴ 2°同理: , 三式相加: 3°由幂平均不等式: ∴ iii.a,b,cÎR,求证: 1° 2° 3° 证: 1°法一: ,两式相乘即得。 法二: 左边 ≥3+2+2+2=9 2°∵ 两式相乘即得 3°由上题: ∴ 即: 三、小结: 综合法 四、作业: P15—16练习1,2 P18习题6.31,2,3 补充: 1.已知a,bÎR+且a¹b,求证: (取差) 2.设aÎR,x,yÎR,求证: (取商) 3.已知a,bÎR+,求证: 证: ∵a,bÎR+∴∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 4.设a>0,b>0,且a+b=1,求证: 证: ∵∴∴ ∴ 第八教时 教材: 不等式证明三(分析法) 目的: 要求学生学会用分析法证明不等式。 过程: 一、介绍“分析法”: 从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。 二、例一、求证: 证: ∵综合法: 只需证明: ∵21<25 展开得: ∴ 即: ∴ ∴∴ 即: 21<25(显然成立)∴ ∴∴ 例二、设x>0,y>0,证明不等式: 证一: (分析法)所证不等式即: 即: 即: 只需证: ∵成立 ∴ 证二: (综合法)∵ ∵x>0,y>0,∴ 例三、已知: a+b+c=0,求证: ab+bc+ca≤0 证一: (综合法)∵a+b+c=0∴(a+b+c)2=0 展开得: ∴ab+bc+ca≤0 证二: (分析法)要证ab+bc+ca≤0∵a+b+c=0 故只需证ab+bc+ca≤(a+b+c)2 即证: 即: (显然) ∴原式成立 证三: ∵a+b+c=0∴-c=a+b ∴ab+bc+ca=ab+(a+b)c=ab-(a+b)2=-a2-b2-ab = 例四、(课本例)证明: 通过水管放水,当流速相等时,如果水管截面(指横截面)的周长相等,那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。 证: 设截面周长为l,则周长为l的圆的半径为,截面积为, 周长为l的正方形边长为,截面积为 问题只需证: > 即证: > 两边同乘,得: 因此只需证: 4>p(显然成立) ∴>也可用比较法(取商)证,也不困难。 三、作业: P18练习1—3及习题6.3余下部分 补充作业: 1.已知0 略证: 只需证: ∵0 故只需证: 即证: ∵1+cosq>0 只需证: 即只需证: 即: (成立) 2.已知a>b>0,q为锐角,求证: 略证: 只需证: 即: (成立) 3.设a,b,c是的△ABC三边,S是三角形的面积,求证: 略证: 正弦、余弦定理代入得: 即证: 即: 即证: (成立) 第九教时 教材: 不等式证明四(换元法) 目的: 增强学生“换元”思想,能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。 过程: 四、提出课题: (换元法) 五、三角换元: 例一、求证: 证一: (综合法) ∵ 即: ∴ 证二: (换元法)∵∴令x=cosq,qÎ[0,p] 则 ∵∴ 例二、已知x>0,y>0,2x+y=1,求证: 证一: 即: 证二: 由x>0,y>0,2x+y=1,可设 则 例三: 若,求证: 证: 设, 则 例四: 若x>1,y>1,求证: 证: 设 则 例五: 已知: a>1,b>0,a-b=1,求证: 证: ∵a>1,b>0,a-b=1∴不妨设 则 ∵,∴0 小结: 若0≤x≤1,则可令x=sinq()或x=sin2q()。 若,则可令x=cosq,y=sinq()。 若,则可令x=secq,y=tanq()。 若x≥1,则可令x=secq()。 若xÎR,则可令x=tanq()。 六、代数换元: 例六: 证明: 若a>0,则 证: 设 则 (当a=1时取“=”) ∴ 即∴原式成立 七、小结: 还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法,有兴趣的课后还可进一步学习。 八、作业: 1.若,求证: 2.若|a|<1,|b|<1,则 3.若|x|≤1,求证: 4.若a>1,b>0,a-b=1,求证: 5.求证: 6.已知|a|≤1,|b|≤1,求证: 第十教时 教材: 不等式证明五(放缩法、反证法) 目的: 要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。 过程: 九、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法 提出课题: 放缩法与反证法 十、放缩法: 例一、若a,b,c,dÎR+,求证: 证: 记m= ∵a,b,c,dÎR+ ∴ ∴1 例二、当n>2时,求证: 证: ∵n>2∴ ∴ ∴n>2时, 例三、求证: 证: ∴ 十一、反证法: 例四、设0 (1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不可能同时大于 证: 设(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>, 则三式相乘: ab<(1-a)b•(1-b)c•(1-c)a<①0
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 不等式 人教版 高中数学 全部 教案