1、 不等式专题讲义 德胜教育第一教时教材：不等式、不等式的综合性质目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质。过程：一、引入新课1世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。2过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题二、几个与不等式有关的名称 （例略）1“同向不等式与异向不等式” 2“绝对不等式与矛盾不等式”三、不等式的一个等价关系（充要条件）1从实数与数轴上的点一一对应谈起 2应用：例一 比较与的大小解：（取差）- 小结：步骤：作差变形判断结论例三 比较大小1和解： ；当时=；当时 3设且，比较与的大小解： 当时；当时四、不等式的性质1性质1：如果，那么；如果，那
2、么（对称性）证： 由正数的相反数是负数 2性质2：如果， 那么（传递性）证：， ，两个正数的和仍是正数 由对称性、性质2可以表示为如果且那么五、小结：1不等式的概念 2一个充要条件 3性质1、2六、作业：P5练习 P8 习题6.1 13补充题：1若，比较与的大小解： -= 2比较2sinq与sin2q的大小(0q2p)略解：2sinq-sin2q=2sinq(1-cosq)当q(0,p)时2sinq(1-cosq)0 2sinqsin2q当q(p,2p)时2sinq(1-cosq)0 2sinq当时 总有第二教时教材：不等式基本性质（续完）目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论
3、证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。过程：一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2二、1性质3：如果，那么 （加法单调性）反之亦然证： 从而可得移项法则：推论：如果且，那么 （相加法则）证：推论：如果且，那么 （相减法则）证： 或证： 上式0 2性质4：如果且, 那么；如果且那么 （乘法单调性）证： 根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：时即：时即：推论1 如果且，那么（相乘法则）证：推论1（补充）如果且，那么（相除法则）证： 推论2 如果, 那么 3性质5：如果，那么 证：（反证法）假设则：若这都与矛盾 三、小结：五个性质及其推论口答P8 练习1、2 习题6.1 4四、作业
4、 P8 练习3 习题6.1 5、6五、供选用的例题（或作业）1已知，求证：证：2若，求不等式同时成立的条件解：3设， 求证证： 又 0 4 比较与的大小解：- 当时即 5若 求证：解： 6若 求证：证： p1 又 原式成立第三教时教材：算术平均数与几何平均数目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。过程：一、 定理：如果，那么（当且仅当时取“=”） 证明： 1指出定理适用范围：2强调取“=”的条件二、定理：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）证明： 即： 当且仅当时 注意：1这个定理适用的范围： 2语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
5、三、推广： 定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明： 上式0 从而指出：这里 就不能保证 推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”） 证明： 四、关于“平均数”的概念1如果 则：叫做这n个正数的算术平均数叫做这n个正数的几何平均数2点题：算术平均数与几何平均数3基本不等式： 这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。4的几何解释：ABDDCab以为直径作圆，在直径AB上取一点C， 过C作弦DDAB 则 从而而半径五、例一 已知为两两不相等的实数，求证：证： 以上三式相加：六、小结：算术平均数、几何平均数的概念基本不等式（即平均
6、不等式）七、作业：P11-12 练习1、2 P12 习题5.2 1-3补充：1已知，分别求的范围 (8,11) (3,6) (2,4)2试比较 与（作差）3求证：证： 三式相加化简即得第四教时教材：极值定理目的：要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。过程：二、 复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式三、 若，设 求证： 加权平均；算术平均；几何平均；调和平均证：即：（俗称幂平均不等式）由平均不等式即：综上所述：例一、若 求证证：由幂平均不等式： 四、 极值定理 已知都是正数，求证：1 如果积是定值，那么当时和有最小值2 如果和是定值，那么当时积有最大值证： 1
7、当 (定值)时， 上式当时取“=” 当时有2当 (定值)时， 上式当时取“=” 当时有注意强调：1最值的含义（“”取最小值，“”取最大值） 2用极值定理求最值的三个必要条件：一“正”、二“定”、三“相等”五、 例题1证明下列各题： 证： 于是若上题改成，结果将如何？解： 于是从而若 则解：若则显然有若异号或一个为0则 2求函数的最大值求函数的最大值解： 当即时 即时 当时 3若，则为何值时有最小值，最小值为几？解： = 当且仅当即时六、 小结：1四大平均值之间的关系及其证明 2极值定理及三要素七、 作业：P12 练习3、4 习题6.2 4、5、6补充：下列函数中取何值时，函数取得最大值或最小值
8、，最值是多少？1 时2 3时 第五教时教材：极值定理的应用目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。过程：八、 复习：基本不等式、极值定理九、 例题：1求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？解一： 解二：当即时 答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在使得；解二错在不是定值（常数）正确的解法是：当且仅当即时2若，求的最值解： 从而 即3设且，求的最大值解： 又即4已知且，求的最小值解： 当且仅当即时十、 关于应用题1P11例（即本章开头提出的问题）（略）2将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最
9、大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解：设剪去的小正方形的边长为则其容积为当且仅当即时取“=”即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为十一、 作业：P12 练习4 习题6.2 7补充：1求下列函数的最值：1 (min=6)2 () 21时求的最小值，的最小值2设，求的最大值(5)3若, 求的最大值4若且，求的最小值3若，求证：的最小值为34制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）第六教时教材：不等式证明一（比较法）目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商
10、比较法证明不等式。过程：一、 复习： 1不等式的一个等价命题2比较法之一（作差法）步骤：作差变形判断结论二、作差法：（P1314）1 求证：x2 + 3 3x 证：(x2 + 3) - 3x = x2 + 3 3x2 已知a, b, m都是正数，并且a b，求证： 证：a,b,m都是正数，并且a 0 , b - a 0 即： 变式：若a b，结果会怎样？若没有“a a2b3 + a3b2 证：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) = a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (
11、a3 - b3)= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)a, b都是正数，a + b, a2 + ab + b2 0又a b，(a - b)2 0 (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) 0即：a5 + b5 a2b3 + a3b24 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，则： 可得：S, m, n都是正数，且m n，t1 - t2
12、 0 即：t1 b 0时， 当b a 0时， （其余部分布置作业）作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。四、小结：作差、作商五、作业： P15 练习 P18 习题6.3 14 第七教时教材：不等式证明二（比较法、综合法）目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。过程：二、 比较法： a) 复习：比较法，依据、步骤 比商法，依据、步骤、适用题型b) 例一、证明：在是增函数。证：设2x1 0, x1 + x2 - 4 0 又y1 0， y1 y2 在是增函数三、 综合法：定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法
13、叫综合法。i. 已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc 证：b2 + c2 2bc , a 0 , a(b2 + c2) 2abc 同理：b(c2 + a2) 2abc , c(a2 + b2) 2abc a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc 当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abcii. 设a, b, c R，1求证：2求证：3若a + b = 1
14、, 求证： 证：1 2同理：， 三式相加：3由幂平均不等式：iii. a , b, cR, 求证：123 证：1法一：, , 两式相乘即得。 法二：左边 3 + 2 + 2 + 2 = 92 两式相乘即得3由上题：即：三、小结：综合法四、作业： P1516 练习 1，2 P18 习题6.3 1，2，3补充：1 已知a, bR+且a b，求证：（取差）2 设aR，x, yR，求证：（取商）3 已知a, bR+，求证：证：a, bR+ 4 设a0, b0，且a + b = 1，求证：证： 第八教时教材：不等式证明三（分析法）目的：要求学生学会用分析法证明不等式。过程：一、 介绍“分析法”：从求证的
15、不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。二、 例一、求证：证： 综合法： 只需证明： 21 25 展开得： 即： 即： 21 0，y 0，证明不等式：证一：（分析法）所证不等式即： 即： 即： 只需证： 成立 证二：（综合法） x 0，y 0， 例三、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca 0证一：（综合法）a + b + c = 0 (a + b + c)2 = 0 展开得： ab + bc + ca 0证二：（分析法）要证ab + bc + ca 0 a + b + c = 0 故只需证 ab + bc + c
16、a (a + b + c)2 即证： 即： （显然） 原式成立证三：a + b + c = 0 - c = a + b ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab - (a + b)2 = -a2 -b2 -ab = 例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。 证：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为 问题只需证： 即证： 两边同乘，得：因此只需证：4 p （显然成立） 也可用比较法（取商）证，也不困难。三、 作业： P18 练习 13
17、 及 习题6.3 余下部分补充作业：1 已知0 q p，证明：略证：只需证： 0 q 0故只需证：即证： 1 + cosq 0只需证：即只需证：即： （成立）2 已知a b 0，q为锐角，求证：略证：只需证： 即：（成立） 3 设a, b, c是的ABC三边，S是三角形的面积，求证：略证：正弦、余弦定理代入得： 即证：即：即证：（成立）第九教时教材：不等式证明四（换元法）目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。过程：四、 提出课题：（换元法）五、 三角换元：例一、求证：证一：（综合法）即： 证二：（换元法） 令 x = cosq , q0, p则 例二、已知x
18、 0 , y 0，2x + y = 1，求证：证一： 即：证二：由x 0 , y 0，2x + y = 1，可设 则例三：若，求证： 证：设， 则例四：若x 1，y 1，求证： 证：设 则例五：已知：a 1, b 0 , a - b = 1，求证： 证：a 1, b 0 , a - b = 1 不妨设 则 , 0 sinq 0，则 证：设则 （ 当a = 1时取“=” ）即 原式成立七、 小结：还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法，有兴趣的课后还可进一步学习。八、 作业：1 若，求证：2 若|a| 1，|b| 1, b 0 , a - b = 1，求证：5 求证：6 已知|a|1，|b|1，
19、求证：第十教时教材：不等式证明五（放缩法、反证法）目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。过程：九、 简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法提出课题：放缩法与反证法十、 放缩法：例一、若a, b, c, dR+，求证：证：记m = a, b, c, dR+ 1 m 2 时，求证： 证：n 2 n 2时, 例三、求证： 证： 十一、 反证法：例四、设0 a, b, c , (1 - b)c , (1 - c)a ,则三式相乘：ab (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a, b, c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 证：设a 0, bc 0, 则b + c = -a 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾， 必有a 0 同理可证：b 0, c 0十二、 作业：证明下列不等式：1 设x 0, y 0, ，求证：a b放缩法：2 lg9lg11 b c, 则 5左边6 7已知a, b, c 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn 0, 8设0 a, b, c 0，且x + y 2，则和中至少有一个小于2反设2，2 x, y 0，可得x + y 2 与x + y 2矛盾第十一教时教材：不等式证明六（构造法及其它方法）目的：要求学生
