江苏省南京市、盐城市2015届高三数学二模试卷word版.doc
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江苏省南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试
数学试题
一、填空题:
(本大题共14小题,每小题5分,共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上)
1.函数的最小正周期为▲.
2.已知复数,其中是虚数单位,则复数在复平面上对应的点位于第▲象限.
3.如图是一个算法流程图,如果输入的值是,则输出的值是▲.
4.某工厂为了了解一批产品的净重(单位:
克)情况,从中随机抽测了100件产品的净重,所得数据均在区间[96,106]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的100件产品中,净重在区间[100,104]上的产品件数是▲.
5.袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个,现有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球若摸出红球,得2分,摸出黑球,得1分,则3次摸球所得总分至少是4分的概率是▲.
6.如图,在平面四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点,若(),则▲.
7.已知平面α,β,直线,给出下列命题:
①若,,则 ②若,,则
③若,则 ④若,,则.
其中是真命题的是▲.(填写所有真命题的序号)。
8.如图,在中,D是BC上的一点。
已知,则AB=▲.
9.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:
的焦点为F,定点,若射线FA与抛物线C相交于点M,与抛物线C的准线相交于点N,则FM:
MN=▲.
10.记等差数列的前n项和为,已知,且数列也为等差数列,则=▲.
11.已知知函数,,则不等式的解集是▲.
12.在平面直角坐标系中,已知⊙C:
,A为⊙C与x负半轴的交点,过A作⊙C的弦AB,记线段AB的中点为M.则直线AB的斜率为▲.
13.已知均为锐角,且,则的最大值是▲.
14.已知函数,当时,关于的方程的所有解的和
为▲.
二、解答题(本大题共6小题,共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15(本小题满分14分)
在中,角A、B、C的对边分别为.已知.
(1)若,求的面积;
(2)设向量,,且,求的值。
16(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,,,,.
(1)求证:
平面;
(第16题图)
P
A
B
C
D
M
(2)若M为线段PA的中点,且过三点的平面与PB交于点N,求PN:
PB的值。
17(本小题满分14分)
E
B
G
A
N
D
M
C
F
O
H
P
(第17题图)
右图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是矩形ABCD,上部是圆AB,该圆弧所在的圆心为O,为了调节仓库内的湿度和温度,现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E,F在圆弧AB上,G,H在弦AB上)。
过O作,交AB于M,交EF于N,交圆弧AB于P,已知(单位:
m),记通风窗EFGH的面积为S(单位:
)
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设,将S表示成的函数;
(ii)设,将S表示成的函数;
(2)试问通风窗的高度MN为多少时?
通风窗EFGH的面积S最大?
18(本小题满分16分)
x
y
A
O
B
C
D
M
N
(第18题图)
如图,在平面直角坐标系中,椭圆E:
的离心率为,直线l:
与椭圆E相交于A,B两点,,C,D是椭圆E上异于A,B两点,且直线AC,BD相交于点M,直线AD,BC相交于点N.
(1)求的值;
(2)求证:
直线MN的斜率为定值。
19(本小题满分16分)
已知函数,其中为常数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程.
(2)若,求证:
有且仅有两个零点;
(3)若为整数,且当时,恒成立,求的最大值。
20(本小题满分16分)
给定一个数列,在这个数列里,任取项,并且不改变它们在数列中的先后次序,得到的数列的一个阶子数列。
已知数列的通项公式为,等差数列,,是数列的一个3子阶数列。
(1)求的值;
(2)等差数列是的一个阶子数列,且
,求证:
(3)等比数列是的一个阶子数列,
求证:
南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试
数学附加题
21、选做题
A.选修4-1;几何证明选讲
如图,过点A的圆与BC切于点D,且与AB、AC分别交于点E、F.已知AD为∠BAC的平分线,求证:
EF//BC
B
A
D
E
C
F
(第21A题图)
B.选修4-2:
矩阵与变换
已知矩阵,的逆矩阵
(1)求a,b的值;
(2)求的特征值。
C.选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中,已知曲线C:
,直线l:
.设曲线C与直线l交于A,B两点,求线段AB的长度。
D.选修4-5:
不行等式选讲
已知x,y,z都是正数且xyz=1,求证:
(1+x)(1+y)(1+z)≥8
22、甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束。
除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队以3:
0,3:
1,3:
2获胜的概率;
(2)若比赛结果为3:
0或3:
1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3:
2,则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分X的分布列及数学期望。
23、(本小题满分10分)
已知,定义
(1)记,求的值;
(2)记,求所有可能值的集合。
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数学参考答案
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.p2.一3.-24.555.
6.7.③④8.9.10.50
11.(1,2)12.213.14.10000
15.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知cosC=.
(1)若×=,求△ABC的面积;
(2)设向量x=(2sin,),y=(cosB,cos),且x∥y,求sin(B-A)的值.
解:
(1)由·=,得abcosC=.
又因为cosC=,所以ab==.……………………2分
又C为△ABC的内角,所以sinC=.……………………4分
所以△ABC的面积S=absinC=3.……………………6分
(2)因为x//y,所以2sincos=cosB,即sinB=cosB.…………………8分
因为cosB≠0,所以tanB=.
因为B为三角形的内角,所以B=.…………………10分
所以A+C=,所以A=-C.
所以sin(B-A)=sin(-A)=sin(C-)
=sinC-cosC=×-×
=.…………………14分
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,AD=CD=AB,AB∥DC,AD⊥CD,PC⊥平面ABCD.
(1)求证:
BC⊥平面PAC;
(第16题图)
P
A
B
C
D
M
(2)若M为线段PA的中点,且过C,D,M三点的平面与PB交于点N,求PN:
PB的值.
证明:
(1)连结AC.不妨设AD=1.
因为AD=CD=AB,所以CD=1,AB=2.
因为ÐADC=90°,所以AC=,ÐCAB=45°.
在△ABC中,由余弦定理得BC=,所以AC2+BC2=AB2.
所以BC^AC.……………………3分
因为PC^平面ABCD,BCÌ平面ABCD,所以BC^PC.……………………5分
因为PCÌ平面PAC,ACÌ平面PAC,PC∩AC=C,
所以BC^平面PAC.……………………7分
(第16题图)
P
A
B
C
D
M
N
(2)如图,因为AB∥DC,CDÌ平面CDMN,ABË平面CDMN,
所以AB∥平面CDMN.……………………9分
因为ABÌ平面PAB,
平面PAB∩平面CDMN=MN,
所以AB∥MN.……………………12分
在△PAB中,因为M为线段PA的中点,
所以N为线段PB的中点,
即PN:
PB的值为.……………………14分
17.(本小题满分14分)
E
B
G
A
N
D
M
C
F
O
H
P
(第17题图)
右图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是一个矩形ABCD,上部是圆弧AB,该圆弧所在圆的圆心为O.为了调节仓库内的湿度和温度,现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E,F在圆弧AB上,G,H在弦AB上).过O作OP^AB,交AB于M,交EF于N,交圆弧AB于P.已知OP=10,MP=6.5(单位:
m),记通风窗EFGH的面积为S(单位:
m2).
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设∠POF=θ(rad),将S表示成θ的函数;
(ii)设MN=x(m),将S表示成x的函数;
(2)试问通风窗的高度MN为多少时,通风窗EFGH的面积S最大?
解:
(1)由题意知,OF=OP=10,MP=6.5,故OM=3.5.
(i)在Rt△ONF中,NF=OFsinθ=10sinθ,ON=OFcosθ=10cosθ.
在矩形EFGH中,EF=2MF=20sinθ,FG=ON-OM=10cosθ-3.5,
故S=EF×FG=20sinθ(10cosθ-3.5)=10sinθ(20cosθ-7).
即所求函数关系是S=10sinθ(20cosθ-7),0<θ<θ0,其中cosθ0=.
…………4分
(ii)因为MN=x,OM=3.5,所以ON=x+3.5.
在Rt△ONF中,NF===.
在矩形EFGH中,EF=2NF=,FG=MN=x,
故S=EF×FG=x.
即所求函数关系是S=x,0<x<6.5.…………8分
(2)方法一:
选择(i)中的函数模型:
令f(θ)=sinθ(20cosθ-7),
则f′(θ)=cosθ(20cosθ-7)+sinθ(-20sinθ)=40cos2θ-7cosθ-20.…………10分
由f′(θ)=40cos2θ-7cosθ-20=0,解得cosθ=,或cosθ=-.
因为0<θ<θ0,所以cosθ>cosθ0,所以cosθ=.
设cosα=,且α为锐角,
则当θ∈(0,α)时,f′(θ)>0,f(θ)是增函数;当θ∈(α,θ0)时,f′(θ)<0,f(θ)是减函数,
所以当θ=α,即cosθ=时,f(θ)取到最大值,此时S有最大值.
即MN=10cosθ-3.5=4.5m时,通风窗的面积最大.…………14分
方法二:
选择(ii)中的函数模型:
因为S=,令f(x)=x2(351-28x-4x2),
则f′(x)=-2x(2x-9)(4x+39).………10分
因为当0<x<时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当<x<时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以当x=时,f(x)取到最大值,此时S有最大值.
即MN=x=4.5m时,通风窗的面积最大.…………14分
18.(本小题满分16分)
x
y
A
O
B
C
D
M
N
(第18题图)
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:
+=1(a>b>0)的离心率为,直线l:
y=x与椭圆E相交于A,B两点,AB=2.C,D是椭圆E上异于A,B的任意两点,且直线AC,BD相交于点M,直线AD,BC相交于点N.
(1)求a,b的值;
(2)求证:
直线MN的斜率为定值.
解:
(1)因为e==,所以c2=a2,即a2-b2=a2,所以a2=2b2.……2分
故椭圆方程为+=1.
由题意,不妨设点A在第一象限,点B在第三象限.
由解得A(b,b).
又AB=2,所以OA=,即b2+b2=5,解得b2=3.
故a=,b=.………………5分
(2)方法一:
由
(1)知,椭圆E的方程为+=1,从而A(2,1),B(-2,-1).
①当CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设直线CA,DA的斜率分别为k1,k2,C(x0,y0),
显然k1≠k2.
从而k1·kCB=·====-.
所以kCB=-.……………………8分
同理kDB=-.
于是直线AD的方程为y-1=k2(x-2),直线BC的方程为y+1=-(x+2).
由解得
从而点N的坐标为(,).
用k2代k1,k1代k2得点M的坐标为(,).
…………11分
所以kMN===-1.
即直线MN的斜率为定值-1.………14分
②当CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时,
根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,
故不妨设直线CA的斜率不存在,从而C(2,-1).
仍然设DA的斜率为k2,由①知kDB=-.
此时CA:
x=2,DB:
y+1=-(x+2),它们交点M(2,-1-).
BC:
y=-1,AD:
y-1=k2(x-2),它们交点N(2-,-1),
从而kMN=-1也成立.
由①②可知,直线MN的斜率为定值-1.…………16分
方法二:
由
(1)知,椭圆E的方程为+=1,从而A(2,1),B(-2,-1).
①当CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设直线CA,DA的斜率分别为k1,k2.
显然k1≠k2.
直线AC的方程y-1=k1(x-2),即y=k1x+(1-2k1).
由得(1+2k12)x2+4k1(1-2k1)x+2(4k12-4k1-2)=0.
设点C的坐标为(x1,y1),则2·x1=,从而x1=.
所以C(,).
又B(-2,-1),
所以kBC==-.………………8分
所以直线BC的方程为y+1=-(x+2).
又直线AD的方程为y-1=k2(x-2).
由解得
从而点N的坐标为(,).
用k2代k1,k1代k2得点M的坐标为(,).
………11分
所以kMN===-1.
即直线MN的斜率为定值-1.………………14分
②当CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时,
根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,
故不妨设直线CA的斜率不存在,从而C(2,-1).
仍然设DA的斜率为k2,则由①知kDB=-.
此时CA:
x=2,DB:
y+1=-(x+2),它们交点M(2,-1-).
BC:
y=-1,AD:
y-1=k2(x-2),它们交点N(2-,-1),
从而kMN=-1也成立.
由①②可知,直线MN的斜率为定值-1.………………16分
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=1+lnx-,其中k为常数.
(1)若k=0,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若k=5,求证:
f(x)有且仅有两个零点;
(3)若k为整数,且当x>2时,f(x)>0恒成立,求k的最大值.
(参考数据ln8=2.08,ln9=2.20,ln10=2.30)
解:
(1)当k=0时,f(x)=1+lnx.
因为f¢(x)=,从而f¢
(1)=1.
又f
(1)=1,
所以曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程y-1=x-1,
即x-y=0.………3分
(2)当k=5时,f(x)=lnx+-4.
因为f¢(x)=,从而
当x∈(0,10),f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(10,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以当x=10时,f(x)有极小值.………………5分
因f(10)=ln10-3<0,f
(1)=6>0,所以f(x)在(1,10)之间有一个零点.
因为f(e4)=4+-4>0,所以f(x)在(10,e4)之间有一个零点.
从而f(x)有两个不同的零点.……………8分
(3)方法一:
由题意知,1+lnx->0对x∈(2,+∞)恒成立,
即k<对x∈(2,+∞)恒成立.
令h(x)=,则h¢(x)=.
设v(x)=x-2lnx-4,则v¢(x)=.
当x∈(2,+∞)时,v¢(x)>0,所以v(x)在(2,+∞)为增函数.
因为v(8)=8-2ln8-4=4-2ln8<0,v(9)=5-2ln9>0,
所以存在x0∈(8,9),v(x0)=0,即x0-2lnx0-4=0.
当x∈(2,x0)时,h¢(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,h¢(x)>0,h(x)单调递增.
所以当x=x0时,h(x)的最小值h(x0)=.
因为lnx0=,所以h(x0)=∈(4,4.5).
故所求的整数k的最大值为4.……………16分
方法二:
由题意知,1+lnx->0对x∈(2,+∞)恒成立.
f(x)=1+lnx-,f¢(x)=.
①当2k≤2,即k≤1时,f¢(x)>0对x∈(2,+∞)恒成立,
所以f(x)在(2,+∞)上单调递增.
而f
(2)=1+ln2>0成立,所以满足要求.
②当2k>2,即k>1时,
当x∈(2,2k)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(2k,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以当x=2k时,f(x)有最小值f(2k)=2+ln2k-k.
从而f(x)>0在x∈(2,+∞)恒成立,等价于2+ln2k-k>0.
令g(k)=2+ln2k-k,则g¢(k)=<0,从而g(k)在(1,+∞)为减函数.
因为g(4)=ln8-2>0,g(5)=ln10-3<0,
所以使2+ln2k-k<0成立的最大正整数k=4.
综合①②,知所求的整数k的最大值为4.………16分
20.(本小题满分16分)
给定一个数列{an},在这个数列里,任取m(m≥3,m∈N*)项,并且不改变它们在数列{an}中的先后次序,得到的数列称为数列{an}的一个m阶子数列.
已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*,a为常数),等差数列a2,a3,a6是数列{an}的一个3阶子数列.
(1)求a的值;
(2)等差数列b1,b2,…,bm是{an}的一个m(m≥3,m∈N*)阶子数列,且b1=(k为常数,
k∈N*,k≥2),求证:
m≤k+1;
(3)等比数列c1,c2,…,cm是{an}的一个m(m≥3,m∈N*)阶子数列,
求证:
c1+c2+…+cm≤2-.
解:
(1)因为a2,a3,a6成等差数列,所以a2-a3=a3-a6.
又因为a2=,a3=,a6=,
代入得-=-,解得a=0.……………3分
(2)设等差数列b1,b2,…,bm的公差为d.
因为b1=,所以b2≤,
从而d=b2-b1≤-=-.………………6分
所以bm=b1+(m-1)d≤-.
又因为bm>0,所以->0.
即m-1<k+1.
所以m<k+2.
又因为m,k∈N*,所以m≤k+1.……………9分
(3)设c1=(t∈N*),等比数列c1,c2,…,cm的公比为q.
因为c2≤,所以q=≤.
从而cn=c1qn-1≤(1≤n≤m,n∈N*).
所以c1+c2+…+cm≤+++…+
=[1-]
=-.…………13分
设函数f(x)=x-,(m≥3,m∈N*).
当x∈(0,+∞)时,函数f(x)=x-为单调增函数.
因为当t∈N*,所以1<≤2.所以f()≤2-.
即c1+c2+…+cm≤2-.………16分
南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试
数学附加题参考答案
A.选修4—1:
几何证明选讲
B
A
D
E
C
F
(第21A题图)
如图,过点A的圆与BC切于点D,且与AB、AC分别交于点E、F.已知AD为∠BAC的平分线,求证:
EF∥BC.
证明:
如图,连接ED.
B
A
D
E
C
F
(第21A题图)
因为圆与BC切于D,所以∠BDE=∠BAD.……………………4分
因为AD平分∠BAC,
所以∠BAD=∠DAC.
又∠DAC=∠DEF,所以∠BDE=∠DEF.
所以EF∥BC.……………………10分
B.选修4-2:
矩阵与变换
已知矩阵A=,A的逆矩阵A-1=.
(1)求a,b的值;
(2)求A的特征值.
解:
(1)因为AA-1===.
所以
解得a=1,b=-.……………………5分
(2)由
(1)得A=,
则A的特征多项式f(λ)==(λ-3)(λ-1).
令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=1,λ2=3.…………………10分
C.选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:
(s为参数),直线l:
(t为参数).设C与l交于A,B两点,求线段AB的长度.
解:
由消去s得曲线C的普通方程为y=x2;
由消去t得直线l的普通方程为y=3x-2.……………5分
联立直线方程与曲线C的方程,即
解得交点的坐标分别为(1,1),(2,4).
所以线段AB的长度为=.……………10分
D.选修4-5:
不等式选讲
已知x,y,z都是正数,且xyz=1,求证:
(1+x)(1+y)(1+z)≥8.
证明:
因为x为正数,所以1+x≥2.
同理1+y≥2,
1+z≥2.
所以(1+x)(1+y)(1+z)≥2·2·2=8.
因为xyz=1,所以(1+x)(1+y)(1+z)≥8.……10分
22.(本小题满分10分)
甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率;
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分X的分布列及数学期望.
解:
(1)记甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜分别为事件A,B,C.
由题意得P(A)==,
P(B)=C··=,
P(C)=C··=.……………5分
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