1、江苏省南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试数学试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1. 函数的最小正周期为 .2. 已知复数，其中是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于第 象限.3. 如图是一个算法流程图，如果输入的值是，则输出的值是 .4. 某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间96，106中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间100，104上的产品件数是 .5. 袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一
2、个球若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是 .6. 如图，在平面四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（），则 .7. 已知平面，直线，给出下列命题：若，则若，则若，则若，则.其中是真命题的是 .（填写所有真命题的序号）。8. 如图，在中，D是BC上的一点。已知，则AB= .9. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：的焦点为F，定点，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM：MN= .10. 记等差数列的前n项和为，已知，且数列也为等差数列，则= .11. 已知知函数，则不等式的解集是 .12. 在平面直
3、角坐标系中，已知：，为与x负半轴的交点，过A作的弦AB，记线段AB的中点为M.则直线AB的斜率为 .13. 已知均为锐角，且，则的最大值是 .14. 已知函数，当时，关于的方程的所有解的和为 .二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）在中，角A、B、C的对边分别为.已知.(1)若,求的面积；(2)设向量，且，求 的值。16（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，.（1）求证：平面；(第16题图)PABCDM（2）若M为线段PA的中点，且过三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值。17（本小题满分14分）EBGANDMCFOH
4、P(第17题图)右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）。过O作，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知（单位：m）,记通风窗EFGH的面积为S（单位：）（1）按下列要求建立函数关系式： （i）设，将S表示成的函数；(ii)设，将S表示成的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？18（本小题满分16分）xyAOBCDMN(第18题图)如图，在平面直角坐标系中，椭圆E：的离心率为，直线l：与椭圆E相交于
5、A，B两点，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N.（1）求的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值。19（本小题满分16分）已知函数，其中为常数.(1)若,求曲线在点处的切线方程.(2)若,求证：有且仅有两个零点；(3)若为整数，且当时，恒成立，求的最大值。20（本小题满分16分）给定一个数列，在这个数列里，任取项，并且不改变它们在数列中的先后次序，得到的数列的一个阶子数列。已知数列的通项公式为，等差数列，是数列的一个3子阶数列。（1） 求的值；（2） 等差数列是的一个阶子数列，且，求证：（3） 等比数列是的一个阶子数列，求证：南京市、盐城市201
6、5届高三年级第二次模拟考试数学附加题21、选做题A选修4-1；几何证明选讲如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F.已知AD为BAC的平分线，求证：EF/BCBADECF（第21A题图）B选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，的逆矩阵（1）求a,b的值； （2）求的特征值。C选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C：，直线l：.设曲线C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度。D选修4-5：不行等式选讲已知x,y,z都是正数且xyz=1,求证：(1+x)(1+y)(1+z)822、甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第
7、五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3：0，3：1，3：2获胜的概率；（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分X的分布列及数学期望。23、（本小题满分10分）已知，定义（1）记 ，求的值；（2）记 ，求所有可能值的集合。南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1p 2一 32 455 5 6 7 8 9 1050 11(1，2) 12 2 13 141000015（本小题满分14分）
8、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c已知cosC（1）若，求ABC的面积；（2）设向量x(2sin，)，y(cosB，cos)，且xy，求sin(BA)的值解：（1）由，得abcosC 又因为cosC，所以ab 2分又C为ABC的内角，所以sinC 4分所以ABC的面积SabsinC3 6分（2）因为x/y，所以2sincoscosB，即sinBcosB 8分因为cosB0，所以tanB因为B为三角形的内角，所以B 10分所以AC，所以AC 所以sin(BA)sin(A)sin(C)sinCcosC 14分16（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中， ADCDAB， ABDC
9、，ADCD，PC平面ABCD（1）求证：BC平面PAC；(第16题图)PABCDM（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值证明：（1）连结AC不妨设AD1因为ADCDAB，所以CD1，AB2因为ADC90，所以AC，CAB45在ABC中，由余弦定理得BC，所以AC2BC2AB2所以BCAC 3分因为PC平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCPC 5分因为PC平面PAC，AC平面PAC，PCACC，所以BC平面PAC 7分(第16题图)PABCDMN（2）如图，因为ABDC，CD平面CDMN，AB平面CDMN，所以AB平面CDMN 9分因为AB平面P
10、AB，平面PAB平面CDMNMN，所以ABMN 12分在PAB中，因为M为线段PA的中点，所以N为线段PB的中点，即PN：PB的值为 14分17（本小题满分14分）EBGANDMCFOHP(第17题图)右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E，F在圆弧AB上， G，H在弦AB上)过O作OPAB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P已知OP10，MP6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2） （1）按下列要求建立函数关系式：(i)设POF (rad)
11、，将S表示成的函数；(ii)设MNx (m)，将S表示成x的函数； （2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？解：（1）由题意知，OFOP10，MP6.5，故OM3.5(i)在RtONF中，NFOFsin10sin，ONOFcos10cos在矩形EFGH中，EF2MF20sin，FGONOM10cos3.5，故SEFFG20sin(10cos3.5)10sin(20cos7)即所求函数关系是S10sin(20cos7)，00，其中cos0 4分(ii)因为MNx，OM3.5，所以ONx3.5在RtONF中，NF在矩形EFGH中，EF2NF，FGMNx，故SEFFGx即所求
12、函数关系是Sx，0x6.5 8分（2）方法一：选择(i)中的函数模型：令f()sin(20cos7)，则f ()cos(20cos7)sin(20sin)40cos27cos20 10分由f ()40cos27cos200，解得cos，或cos 因为00，所以coscos0，所以cos 设cos，且为锐角，则当(0，)时，f ()0 ，f()是增函数；当(，0)时，f ()0 ，f()是减函数， 所以当，即cos时，f()取到最大值，此时S有最大值即MN10cos3.54.5m时，通风窗的面积最大 14分方法二：选择(ii)中的函数模型：因为S ，令f(x)x2(35128x4x2)，则f (
13、x)2x(2x9)(4x39) 10分 因为当0x时 ，f (x)0，f(x)单调递增，当x时，f (x)0，f(x)单调递减， 所以当x时，f(x)取到最大值，此时S有最大值 即MNx4.5m时，通风窗的面积最大 14分18（本小题满分16分）xyAOBCDMN(第18题图)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0) 的离心率为，直线l：yx与椭圆E相交于A，B两点，AB2C，D是椭圆E上异于A，B的任意两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N （1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值解：（1）因为e，所以c2a2，即a2b2a2，所以a22b2 2分
14、故椭圆方程为1由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限由解得A(b，b)又AB2，所以OA，即b2b25，解得b23故a，b 5分（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为 1，从而A(2，1)，B(2，1)当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，显然k1k2从而k1 kCB 所以kCB 8分同理kDB 于是直线AD的方程为y1k2(x2)，直线BC的方程为y1(x2)由解得 从而点N的坐标为(，) 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，) 11分所以kMN 1即直线MN的斜率为定值1 14分当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率
15、不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，1)仍然设DA的斜率为k2，由知kDB此时CA：x2，DB：y1(x2)，它们交点M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点N(2，1)，从而kMN1也成立由可知，直线MN的斜率为定值1 16分方法二：由（1）知，椭圆E的方程为 1，从而A(2，1)，B(2，1)当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2显然k1k2直线AC的方程y1k1(x2)，即yk1x(12k1)由得(12k12)x24k1(12k1)x2(4k124k12)0设点C的坐标为(x1，
16、y1)，则2x1，从而x1 所以C(，)又B(2，1)，所以kBC 8分所以直线BC的方程为y1(x2)又直线AD的方程为y1k2(x2)由解得 从而点N的坐标为(，) 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，) 11分所以kMN 1即直线MN的斜率为定值1 14分当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，1)仍然设DA的斜率为k2，则由知kDB此时CA：x2，DB：y1(x2)，它们交点M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点N(2，1)，从而kMN1也成立由可知，直线MN的斜率为定值
17、1 16分19（本小题满分16分）已知函数f(x)1lnx，其中k为常数（1）若k0，求曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线方程；（2）若k5，求证：f(x)有且仅有两个零点；（3）若k为整数，且当x2时，f(x)0恒成立，求k的最大值（参考数据ln82.08，ln92.20，ln102.30）解：（1）当k0时，f(x)1lnx因为f (x)，从而f (1)1又f (1)1，所以曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线方程y1x1，即xy0 3分（2）当k5时，f(x)lnx4因为f (x)，从而当x(0，10)，f (x)0，f(x)单调递减；当x(10，)时，f (x)0，f(x
18、)单调递增所以当x10时，f(x)有极小值 5分因f(10)ln1030，f(1)60，所以f(x)在(1，10)之间有一个零点因为f(e4)440，所以f(x)在(10，e4)之间有一个零点从而f(x)有两个不同的零点 8分（3）方法一：由题意知，1+lnx0对x(2，)恒成立，即k对x(2，)恒成立令h(x)，则h(x)设v(x)x2lnx4，则v(x)当x(2，)时，v(x)0，所以v(x)在(2，)为增函数因为v(8)82ln8442ln80，v(9)52ln90，所以存在x0(8，9)，v(x0)0，即x02lnx040 当x(2，x0)时，h(x)0，h(x)单调递减，当x(x0，
19、)时，h(x)0，h(x)单调递增所以当xx0时，h(x)的最小值h(x0)因为lnx0，所以h(x0)(4，4.5) 故所求的整数k的最大值为4 16分方法二：由题意知，1+lnx0对x(2，)恒成立f(x)1+lnx，f (x) 当2k2，即k1时，f(x)0对x(2，)恒成立，所以f(x)在(2，)上单调递增而f(2)1ln20成立，所以满足要求当2k2，即k1时，当x(2，2k)时，f (x)0， f(x)单调递减，当x(2k，)，f (x)0，f(x)单调递增所以当x2k时，f(x)有最小值f(2k)2ln2kk从而f(x)0在x(2，)恒成立，等价于2ln2kk0令g(k)2ln2
20、kk，则g(k)0，从而g(k) 在(1，)为减函数因为g(4)ln820，g(5)ln1030 ，所以使2ln2kk0成立的最大正整数k4综合，知所求的整数k的最大值为4 16分20（本小题满分16分）给定一个数列an，在这个数列里，任取m(m3，mN*)项，并且不改变它们在数列an中的先后次序，得到的数列称为数列an的一个m阶子数列已知数列an的通项公式为an (nN*，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列an的一个3阶子数列 （1）求a的值；（2）等差数列b1，b2，bm是an的一个m (m3，mN*) 阶子数列，且b1 (k为常数，kN*，k2)，求证：mk1； （3）等比数列c
21、1，c2，cm是an的一个m (m3，mN*) 阶子数列，求证：c1c2cm2 解：（1）因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2a3a3a6又因为a2，a3， a6，代入得，解得a0 3分（2）设等差数列b1，b2，bm的公差为d因为b1，所以b2，从而db2b1 6分所以bmb1(m1)d又因为bm0，所以0即m1k1所以mk2又因为m，kN*，所以mk1 9分（3）设c1 (tN*)，等比数列c1，c2，cm的公比为q因为c2，所以q 从而cnc1qn1（1nm，nN*） 所以c1c2cm1 13分设函数f(x)x，（m3，mN*）当x(0，)时，函数f(x)x为单调增函数因为当tN*，
22、所以12 所以f()2即 c1c2cm2 16分南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案A选修41：几何证明选讲BADECF（第21A题图）如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F已知AD为BAC的平分线，求证：EFBC证明：如图，连接EDBADECF（第21A题图）因为圆与BC切于D，所以BDEBAD 4分因为AD平分BAC，所以BADDAC又DACDEF，所以BDEDEF所以EFBC 10分B选修42：矩阵与变换已知矩阵A， A的逆矩阵A1 （1）求a，b的值；（2）求A的特征值解：（1）因为A A1 所以 解得a1，b 5分（2）由（1）得A
23、，则A的特征多项式f()(3)( 1)令f()0，解得A的特征值11，23 10分C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：(s为参数），直线l：（t为参数）设C与l交于A，B两点，求线段AB的长度解：由消去s得曲线C的普通方程为yx2；由消去t得直线l的普通方程为y3x2 5分联立直线方程与曲线C的方程，即解得交点的坐标分别为(1，1)，(2，4)所以线段AB的长度为 10分D选修45：不等式选讲已知x，y，z都是正数，且xyz1，求证：(1x)( 1y)( 1z)8证明：因为x为正数，所以1x2同理 1y2，1z2 所以(1x)( 1y)( 1z)2228 因为xyz1， 所以(1x)( 1y)( 1z)8 10分22（本小题满分10分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是假设各局比赛结果相互独立（1）分别求甲队以30，31，32获胜的概率；（2）若比赛结果为30或31，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分、对方得1分求甲队得分X的分布列及数学期望 解：（1）记甲队以30，31，32获胜分别为事件A，B，C由题意得P(A)，P(B)C，P(C) C 5分
