《一元二次不等式及其解法》典型例题透析.doc
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《一元二次不等式及其解法》典型例题透析
类型一:
解一元二次不等式
例1.解下列一元二次不等式
(1);
(2);(3)
思路点拨:
转化为相应的函数,数形结合解决,或利用符号法则解答.
解析:
(1)方法一:
因为
所以方程的两个实数根为:
,
函数的简图为:
因而不等式的解集是.
方法二:
或
解得或,即或.
因而不等式的解集是.
(2)方法一:
因为,
方程的解为.
函数的简图为:
所以,原不等式的解集是
方法二:
(当时,)
所以原不等式的解集是
(3)方法一:
原不等式整理得.
因为,方程无实数解,
函数的简图为:
所以不等式的解集是.
所以原不等式的解集是.
方法二:
∵
∴原不等式的解集是.
总结升华:
1.初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决,培养并提高数形结合的分析能力;
2.当时,用配方法,结合符号法则解答比较简洁(如第2、3小题);当且是一个完全平方数时,利用因式分解和符号法则比较快捷,(如第1小题).
3.当二次项的系数小于0时,一般都转化为大于0后,再解答.
举一反三:
【变式1】解下列不等式
(1);
(2)
(3);(4).
【答案】
(1)方法一:
因为
方程的两个实数根为:
,
函数的简图为:
因而不等式的解集是:
.
方法二:
∵原不等式等价于,
∴原不等式的解集是:
.
(2)整理,原式可化为,
因为,
方程的解,,
函数的简图为:
所以不等式的解集是.
(3)方法一:
因为
方程有两个相等的实根:
,
由函数的图象为:
原不等式的的解集是.
方法二:
∵原不等式等价于:
∴原不等式的的解集是.
(4)方法一:
因为,方程无实数解,
由函数的简图为:
原不等式的解集是.
方法二:
∵,
∴原不等式解集为.
【变式2】解不等式:
【答案】原不等式可化为不等式组
,即,即,
解得
∴原不等式的解集为.
类型二:
已知一元二次不等式的解集求待定系数
例2.不等式的解集为,求关于的不等式的解集。
思路点拨:
由二次不等式的解集为可知:
4、5是方程的二根,故由韦达定理可求出、的值,从而解得.
解析:
由题意可知方程的两根为和
由韦达定理有,
∴,
∴化为,即
,解得,
故不等式的解集为.
总结升华:
二次方程的根是二次函数的零点,也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不等式的解集与其系数之间的关系,这一点是解此类题的关键。
举一反三:
【变式1】不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-3 【答案】由不等式的解集为{x|-3 由根与系数关系得 解得a=-2,b=-2。 【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式. 【答案】由韦达定理有: ,,∴,. ∴代入不等式得, 即,,解得, 故不等式的解集为: . 【变式3】已知关于的不等式的解集为,求关于的不等式的解集. 【答案】由韦达定理有: ,解得,代入不等式得 ,即,解得或. ∴的解集为: . 类型三: 二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 例3.已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围。 思路点拨: 不等式对一切实数恒成立,即不等式的解集为R,要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。 解析: (1)当m2+4m-5=0时,m=1或m=-5 若m=1,则不等式化为3>0,对一切实数x成立,符合题意。 若m=-5,则不等式为24x+3>0,不满足对一切实数x均成立,所以m=-5舍去。 (2)当m2+4m-5≠0即m≠1且m≠-5时, 由此一元二次不等式的解集为R知,抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上,且与x轴无交点, 所以, 即,∴1 综上所述,实数m的取值范围是{m|1≤m<19}。 总结升华: 情况 (1)是容易忽略的,所以当我们遇到二次项系数含有字母时,一般需讨论。 举一反三: 【变式1】若关于的不等式的解集为空集,求的取值范围. 【答案】关于的不等式的解集为空集 即的解集为R 当时,原不等式为: ,即,不符合题意,舍去. 当时,原不等式为一元二次不等式,只需且, 即,解得, 综上,的取值范围为: . 【变式2】若关于的不等式的解为一切实数,求的取值范围. 【答案】当时,原不等式为: ,即,不符合题意,舍去. 当时,原不等式为一元二次不等式,只需且, 即,解得, 综上,的取值范围为: . 【变式3】若关于的不等式的解集为非空集,求的取值范围. 【答案】当时,原不等式为: ,即,符合题意. 当时,原不等式为一元二次不等式,显然也符合题意 当时,只需, 即,解得, 综上,的取值范围为: . 类型四: 含字母系数的一元二次不等式的解法 例4.解下列关于x的不等式 (1)x2-2ax≤-a2+1; (2)x2-ax+1>0; (3)x2-(a+1)x+a<0; 解析: (1) ∴原不等式的解集为。 (2)Δ=a2-4 当Δ>0,即a>2或a<-2时,原不等式的解集为 当Δ=0,即a=2或-2时,原不等式的解集为。 当Δ<0,即-2 (3)(x-1)(x-a)<0 当a>1时,原不等式的解集为{x|1 当a<1时,原不等式的解集为{x|a 当a=1时,原不等式的解集为。 总结升华: 对含字母的二元一次不等式,一般有这样几步: ①定号: 对二次项系数大于零和小于零分类,确定了二次曲线的开口方向; ②求根: 求相应方程的根。 当无法判断判别式与0的关系时,要引入讨论,分类求解; ③定解: 根据根的情况写出不等式的解集;当无法判断两根的大小时,引入讨论。 举一反三: 【变式1】解关于x的不等式: 【答案】原不等式化为 ①a=1或a=-1时,解集为Æ; ②当0 ;
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- 关 键 词:
- 一元二次不等式及其解法 一元 二次 不等式 及其 解法 典型 例题 透析