等差数列及其前n项和练习题.doc
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等差数列及其前n项和练习题.doc
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第1讲 等差数列及其前n项和
一、填空题
1.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=________.[来源
解析a2+a4+a6+a8=2(a3+a7)=74.
答案74
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若-=1,则公差为________.
解析依题意得S4=4a1+d=4a1+6d,S3=3a1+d=3a1+3d,于是有-=1,由此解得d=6,即公差为6.[来源:
学,科,网]
答案6
3.在等差数列{an}中,a1>0,S4=S9,则Sn取最大值时,n=________.
解析 因为a1>0,S4=S9,所以a5+a6+a7+a8+a9=0,所以a7=0,所以从而当n=6或7时Sn取最大值.
答案 6或7
4.在等差数列{an}中,若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则S9=________.
解析 ∵a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,∴3a4=39,3a6=27,∴a4=13,a6=9.∴a6-a4=2d=9-13=-4,∴d=-2,
∴a5=a4+d=13-2=11,∴S9==9a5=99.
答案 99
5.设等差数列{an}的公差为正数,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=________.
解析 由15=a1+a2+a3=3a2,得a2=5.所以又公差d>0,所以所以d=3.所以a11+a12+a13=3a12=3(a1+11d)=3(2+33)=3×35=105.
答案 105
6.已知数列{an}的前n项和为Sn=2n2+pn,a7=11.若ak+ak+1>12,则正整数k的最小值为________.
解析 因为a7=S7-S6=2×72+7p-2×62-6p=26+p=11,所以p=-15,Sn=2n2-15n,an=Sn-Sn-1=4n-17(n≥2),当n=1时也满足.于是由ak+ak+1=8k-30>12,得k>>5.又k∈N*,所以k≥6,即kmin=6.
答案 6
7.已知数列{an}满足递推关系式an+1=2an+2n-1(n∈N*),且为等差数列,则λ的值是________.
解析 由an+1=2an+2n-1,可得=+-,则-=--=--=-,当λ的值是-1时,数列是公差为的等差数列.
答案 -1
8.已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,a7-a5=4,a11=21,Sk=9,则k=________.
解析a7-a5=2d=4,d=2,a1=a11-10d=21-20=1,
Sk=k+×2=k2=9.
又k∈N*,故k=3.
答案3
10.已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x,y∈R,都有f(x·y)=xf(y)+yf(x)成立.数列{an}满足an=f(2n)(n∈N*),且a1=2.则数列的通项公式an=________.
解析 由an+1=f(2n+1)=2f(2n)+2nf
(2)=2an+2n+1,得=+1,所以是首项为1,公差为1的等差数列,所以=n,an=n·2n.
答案 n·2n
二、解答题
11.已知等差数列{an}的前三项为a-1,4,2a,记前n项和为Sn.
(1)设Sk=2550,求a和k的值;
(2)设bn=,求b3+b7+b11+…+b4n-1的值.
解
(1)由已知得a1=a-1,a2=4,a3=2a,
又a1+a3=2a2,∴(a-1)+2a=8,即a=3.
∴a1=2,公差d=a2-a1=2.
由Sk=ka1+d,得
2k+×2=2550,
即k2+k-2550=0,
解得k=50或k=-51(舍去).
∴a=3,k=50.
(2)由Sn=na1+d得
Sn=2n+×2=n2+n.
∴bn==n+1,∴{bn}是等差数列,
则b3+b7+b11+…+b4n-1
=(3+1)+(7+1)+(11+1)+…+(4n-1+1)
=.
∴b3+b7+b11+…+b4n-1=2n2+2n.
12.已知数列{an}的通项公式为an=2n,若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
解a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32.
设{bn}的公差为d,则有
解得
从而bn=-16+12(n-1)=12n-28.
所以数列{bn}的前n项和
Sn==6n2-22n.
13.在等差数列{an}中,公差d>0,前n项和为Sn,a2·a3=45,a1+a5=18.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(n∈N*),是否存在一个非零常数c,使数列{bn}也为等差数列?
若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由.
解
(1)由题设,知{an}是等差数列,且公差d>0,
则由得
解得∴an=4n-3(n∈N*).
(2)由bn===,
∵c≠0,∴可令c=-,得到bn=2n.
∵bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N*),
∴数列{bn}是公差为2的等差数列.
即存在一个非零常数c=-,使数列{bn}也为等差数列.
第2讲 等比数列及其前n项和
一、填空题
1.设数列{a}前n项和为Sn,a1=t,a2=t2,Sn+2-(t+1)Sn+1+tSn=0,则{an}是________数列,通项an=________.
解析 由Sn+2-(t+1)Sn+1+tSn=0,得Sn+2-Sn+1=t(Sn+1-Sn),所以an+2=tan+1,所以=t,又=t,
所以{an}成等比数列,且an=t·tn-1=tn.
答案 等比 tn
2.等比数列{an}的前n项和为Sn,8a2+a5=0,则=________.
解∵8a2+a5=8a1q+a1q4=a1q(8+q3)=0
∴q=-2
∴==1+q3=-7.
答案-7
3.数列{an}为正项等比数列,若a2=2,且an+an+1=6an-1(n∈N,n≥2),则此数列的前4项和S4=________.
解析 由a1q=2,a1qn-1+a1qn=6a1qn-2,得qn-1+qn=6qn-2,所以q2+q=6.又q>0,所以q=2,a1=1.
所以S4===15.
答案 15
4.已知等比数列{an}的前n项和Sn=t·5n-2-,则实数t的值为________.
解析 ∵a1=S1=t-,a2=S2-S1=t,a3=S3-S2=4t,∴由{an}是等比数列知2=×4t,显然t≠0,所以t=5.
答案 5
5.已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2·a4=4,a1+a2+a3=14,则满足an·an+1·an+2≥的最大正整数n的值为________.
解析 由等比数列的性质,得4=a2·a4=a(a3>0),所以a3=2,所以a1+a2=14-a3=12,于是由
解得所以an=8·n-1=n-4.
于是由an·an+1·an+2=a=3(n-3)=n-3≥,得n-3≤1,即n≤4.
答案 4
6.在等比数列{an}中,an>0,若a1·a2·…·a7·a8=16,则a4+a5的最小值为________.
解析由已知a1a2·…·a7a8=(a4a5)4=16,所以a4a5=2,又a4+a5≥2=2(当且仅当a4=a5=时取等号).所以a4+a5的最小值为2.
答案2
7.已知递增的等比数列{an}中,a2+a8=3,a3·a7=2,则=________.
解析∵{an}是递增的等比数列,∴a3a7=a2a8=2,
又∵a2+a8=3,
∴a2,a8是方程x2-3x+2=0的两根,则a2=1,a8=2,
∴q6==2,∴q3=,∴=q3=.
答案
8.设1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值为________.
解析 由题意知a3=q,a5=q2,a7=q3且q≥1,a4=a2+1,a6=a2+2且a2≥1,那么有q2≥2且q3≥3.故q≥,即q的最小值为.
答案
二、解答题
11.在等差数列{an}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.
(1)求数列{an}的通项公式;[来源:
Zxxk.Com]
(2)设数列{an+bn}是首项为1,公比为c的等比数列,求{bn}的前n项和Sn.
解
(1)设等差数列{an}的公差是d.
依题意a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,从而d=-3.
由a2+a7=2a1+7d=-23,解得a1=-1.
所以数列{an}的通项公式为an=-3n+2.
(2)由数列{an+bn}是首项为1,公比为c的等比数列,[来源
得an+bn=cn-1,即-3n+2+bn=cn-1,
所以bn=3n-2+cn-1.
所以Sn=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+c+c2+…+cn-1)
=+(1+c+c2+…+cn-1).
从而当c=1时,Sn=+n=.
当c≠1时,Sn=+.[来源:
Z*xx*k.Com]
12.设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=1,S8=17.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在最小的正整数m,使得n≥m时,an>恒成立?
若存在,求出m;若不存在,请说明理由.
解
(1)设{an}的公比为q,由S4=1,S8=17知q≠1,所以得=1,
=17.
相除得=17,解得q4=16.所以q=2或q=-2(舍去).
由q=2可得a1=,所以an=.
(2)由an=>,得2n-1>2011,而210<2011<211,所以n-1≥11,即n≥12.
因此,存在最小的正整数m=12,使得n≥m时,an>恒成立.
13.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2·a4=65,a1+a5=18.
(1)求数列{an}的通项公式an.
(2)若1<i<21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,求i的值;
(3)是否存在常数k,使得数列{}为等差数列?
若存在,求出常数k;若不存在,请说明理由.
解
(1)因为a1+a5=a2+a4=18,又a2·a4=65,
所以a2,a4是方程x2-18x+65=0的两个根.
又公差d>0,所以a2<a4.所以a2=5,a4=13.
所以解得a1=1,d=4.所以an=4n-3.
(2)由1<i<21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,所以a1·a21=a,即1·81=(4i-3)2,解得i=3.
(3)由
(1)知,Sn=n·1+·4=2n2-n.
假设存在常数k,使数列{}为等差数列,
由等差数列通项公式,可设=an+b,
得2n2+(k-1)n=an2+2abn+b恒成立,可得a=2,b=0,k=1.所以存在k=1使得{}为等差数列.
第3讲 等差数列、等比数列与数列求和
一、填空题
1.设{an}是公差不为0的等差数列,a1=2且a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前n项和Sn=________.
解析由题意设等差数列公差为d,则a1=2,a3=2+2d,a6=2+5d.又∵a1,a3,a6成等比数列,∴a=a1a6,即(2+2d)2=2(2+5d),整理得2d2-d=0.∵d≠0,∴d=,∴Sn=na1+d=+n.
答案+n
2.数列{an}的通项公式an=,若前n项的和为10,则项数为________.
解析∵an==-,∴Sn=-1=10,∴n=120.
答案120
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为________.
解析 ∵a5=5,S5=15,∴=15,即a1=1.
∴d==1,∴an=n.∴==-.设数列的前n项和为Tn.
∴T100=++…+=1-=.
答案
4.已知数列{an},{bn}都是等差数列,a1=5,b1=7,且a20+b20=60.则{an+bn}的前20项的和为________.
解析 由题意知{an+bn}也为等差数列,所以{an+bn}的前20项和为:
S20===720.
答案 720
5.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则a+a+…+a=________.
解析 当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,
又∵a1=1适合上式.∴an=2n-1,∴a=4n-1.
∴数列{a}是以a=1为首项,以4为公比的等比数列.
∴a+a+…+a==(4n-1).
答案 (4n-1)
6.定义运算:
=ad-bc,若数列{an}满足=1且=12(n∈N*),则a3=________,数列{an}的通项公式为an=________.
解析由题意得a1-1=1,3an+1-3an=12即a1=2,an+1-an=4.
∴{an}是以2为首项,4为公差的等差数列,
∴an=2+4(n-1)=4n-2,a3=4×3-2=10.
答案10 4n-2
7.在等比数列{an}中,a1=,a4=-4,则公比q=________;|a1|+|a2|+…+|an|=________.
解析 ∵=q3=-8,∴q=-2.∴an=·(-2)n-1,
∴|an|=2n-2,∴|a1|+|a2|+…+|an|==2n-1-.
答案 -2 2n-1-
8.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S11=35+S6,则S17的值为________.
解析 因S11=35+S6,得11a1+d=35+6a1+d,即a1+8d=7,所以S17=17a1+d=17(a1+8d)=17×7=119.
答案 119
9.等差数列{an}的公差不为零,a4=7,a1,a2,a5成等比数列,数列{Tn}满足条件Tn=a2+a4+a8+…+a2n,则Tn=________.
解析 设{an}的公差为d≠0,由a1,a2,a5成等比数列,得
a=a1a5,即(7-2d)2=(7-3d)(7+d)
所以d=2或d=0(舍去).
所以an=7+(n-4)×2=2n-1.又a2n=2·2n-1=2n+1-1,
故Tn=(22-1)+(23-1)+(24-1)+…+(2n+1-1)
=(22+23+…+2n+1)-n=2n+2-n-4.
答案 2n+2-n-4
10.数列{an}的通项公式an=,如果bn=,那么{bn}的前n项和为________.
解析bn===-,
所以b1+b2+…+bn=-+-+…+-=-1.
答案-1
二、解答题
11.已知{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和公式.
解
(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a3=-6,a6=0,
所以解得a1=-10,d=2.
所以an=-10+(n-1)·2=2n-12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,即q=3.
所以{bn}的前n项和公式为Sn==4(1-3n).
13.记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2+,S3=12+3.
(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn.
(2)已知等比数列{bnk},bn+=an,n1=1,n2=3,求nk.
(3)问数列{an}中是否存在互不相同的三项构成等比数列,说明理由.
解
(1)因为a1=2+,S3=3a1+3d=12+3,
所以d=2.
所以an=a1+(n-1)d=2n+,
Sn==n2+(+1)n.
(2)因为bn=an-=2n,
所以bnk=2nk.
又因为数列{bnk}的首项bn1=b1=2,公比q==3,
所以bnk=2·3k-1.
所以2nk=2·3k-1,则nk=3k-1.
(3)假设存在三项ar,as,at成等比数列,则a=ar·at,[来源:
学。
科。
网]
即有(2s+)2=(2r+)(2t+),
整理得(rt-s2)=2s-r-t.
若rt-s2≠0,则=,
因为r,s,t∈N*,
所以是有理数,这与为无理数矛盾;
若rt-s2=0,则2s-r-t=0,
从而可得r=s=t,这与r
综上可知,不存在满足题意的三项ar,as,at.
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