普通高等学校招生全国统一考试浙江卷理科数学试题及解答WORD版.doc
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2006年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
数学试题(理科)
第I卷(共50分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)设集合,,则
(A)[0,2] (B)[1,2] (C)[0,4] (D)[1,4]
(2)已知,其中,是实数,是虚数单位,则=
(A) (B) (C) (D)
(3)已知,则
(A) (B) (C) (D)
(4)在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是
(A) (B)4 (C) (D)2
(5)若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的,则m=
(A) (B) (C) (D)
(6)函数的值域是
(A) (B)
(C) (D)
(7)“a>b>c”是”ab<”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(8)若多项式,则=
(A)9 (B)10 (C)-9 (D)-10
(9)如图,O是半径为1的球心,点A、B、C在球面上,OA、OB、OC两两垂直,E、F分别是大圆弧与的中点,则点E、F在该球面上的球面距离是
(A) (B)
(C) (D)
(10)函数f:
{1,2,3|{1,2,3|满足f(f(x))=f(x),则这样的函数个数共有
(A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个
第Ⅱ卷(共100分)
二.填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分。
(11)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S5=10,S10=-5,则公差为____________(用数字作答).
(12)对a,b∈R,记max|a,b|=,函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是_________________.
(13)设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是_______.
(14)正四面体ABCD的棱长为l,棱AB∥平面,则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是____________.
三、解答题:
本大题共6小题,每小题14分,共84分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(15)如图,函数(其中)的图像与轴交于点(0,1)。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设是图像上的最高点,M、N是图像与轴的交点,求与的夹角。
(16)设,若,求证:
(Ⅰ)且;
(Ⅱ)方程在(0,1)内有两个实根。
(17)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,底面,且,分别为、的中点。
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求与平面所成的角。
(18)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有2个红球,2个白球;乙袋装有2个红球,n个白球,现从甲、乙两袋中各任取2个球。
(I)若n=3,求取到的4个球全是红球的概率;
(II)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为,求n。
(19)如图,椭圆(a>b>0)与过点A(2,0)、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=.
(I)求椭圆方程;
(II)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF2的中点,求证:
ATM=AF1T.
(20)已知函数=x3+x2,数列{xn}(xn>0)的第一项x1=1,以后各项按如下方式取定:
曲线y=在处的切线与经过(0,0)和(xn,f(xn))两点的直线平行(如图)。
求证:
当n时:
(I);
(II)
数学试题(理科)参考答案
一、选择题:
本题考查基本知识和基本运算。
每小题5分,满分50分。
(1)A
(2)C (3)A (4)B (5)C (6)C
(7)A (8)D (9)B (10)D
二、填空题:
本题考查基本知识和基本运算。
每小题4分,满分16分。
(11)-1 (12) (13)4 (14)
三、解答题
(15)本题主要考查三角函数的图像,已知三角函数求角,向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。
满分14分。
解:
(I)因为函数图像过点,
所以即
因为,所以.
(II)由函数及其图像,得
所以从而
,
故.
(16)本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。
满分14分。
证明:
(I)因为,
所以.
由条件,消去,得
;
由条件,消去,得
,.
故.
(II)抛物线的顶点坐标为,
在的两边乘以,得
.
又因为
而
所以方程在区间与内分别有一实根。
故方程在内有两个实根.
(17)本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力。
满分14分。
解:
方法一:
(I)因为是的中点,,
所以.
因为平面,所以
,
从而平面.
因为平面,
所以.
(II)取的中点,连结、,
则,
所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.
因为平面,
所以是与平面所成的角.
在中,
.
故与平面所成的角是.
方法二:
如图,以为坐标原点建立空间直角坐标系,设,则
.
(I)因为
,
所以
(II)因为
,
所以,
又因为,
所以平面
因此的余角即是与平面所成的角.
因为
,
所以与平面所成的角为.
(18)本题主要考察排列组合、概率等基本知识,同时考察逻辑思维能力和数学应用能力。
满分14分。
解:
(I)记“取到的4个球全是红球”为事件.
(II)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件,“取到的4个球只有1个红球”为事件,“取到的4个球全是白球”为事件.
由题意,得
所以
,
化简,得
解得,或(舍去),
故.
(19)本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质,同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
满分14分。
解:
(I)过点、的直线方程为
因为由题意得有惟一解,
即有惟一解,
所以
(),
故
又因为即
所以
从而得
故所求的椭圆方程为
(II)由(I)得
故
从而
由
解得
所以
因为
又得
因此
(20)本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识,以及不等式的证明,同时考查逻辑推理能力。
满分14分。
证明:
(I)因为
所以曲线在处的切线斜率
因为过和两点的直线斜率是
所以.
(II)因为函数当时单调递增,
而
,
所以,即
因此
又因为
令
则
因为
所以
因此
故
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