空间中点、直线、平面之间的位置关系知识点与同步练习.doc
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空间中点、直线、平面之间的位置关系
知识点
1.内容归纳总结
(1)四个公理
公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
符号语言:
。
公理2:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
三个推论:
①经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面
②经过两条相交直线,有且只有一个平面
③经过两条平行直线,有且只有一个平面
它给出了确定一个平面的依据。
公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(两个平面的交线)。
符号语言:
。
公理4:
(平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言:
。
(2)空间中直线与直线之间的位置关系
1.概念异面直线及夹角:
把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线,经过空间任意一点O作直线,我们把与所成的角(或直角)叫异面直线所成的夹角。
(易知:
夹角范围)
定理:
空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。
(注意:
会画两个角互补的图形)
2.位置关系:
(3)空间中直线与平面之间的位置关系
直线与平面的位置关系有三种:
(4)空间中平面与平面之间的位置关系
平面与平面之间的位置关系有两种:
直线、平面平行的判定及其性质
1.内容归纳总结
(1)四个定理
定理
定理内容
符号表示
分析解决问题的常用方法
直线与平面
平行的判定
平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行
在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。
即将“空间问题”转化为“平面问题”
平面与平面
平行的判定
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行
判定的关键:
在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。
即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”
直线与平面
平行的性质
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
平面与平面
平行的性质
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
直线、平面平垂直的判定及其性质
1.内容归纳总结
(一)基本概念
1.直线与平面垂直:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线与平面垂直,记作。
直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面。
直线与平面的公共点叫做垂足。
2.直线与平面所成的角:
角的取值范围:
。
3.二面角:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的记法:
二面角的取值范围:
;两个平面垂直:
直二面角。
(二)四个定理
定理
定理内容
符号表示
分析解决问题的常用方法
直线与平面
垂直的判定
一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。
在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。
即将“线面垂直”转化为“线线垂直”
平面与平面
垂直的判定
一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面垂直。
(满足条件与垂直的平面有无数个)
判定的关键:
在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。
即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”
直线与平面
垂直的性质
同垂直与一个平面的两条直线平行。
平面与平面
垂直的性质
两个平面垂直,则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。
解决问题时,常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线
基础练习
一、选择题
1下列四个结论:
⑴两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行
⑵两条直线没有公共点,则这两条直线平行
⑶两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行
其中正确的个数为()
ABCD
2下面列举的图形一定是平面图形的是()
A有一个角是直角的四边形B有两个角是直角的四边形
C有三个角是直角的四边形D有四个角是直角的四边形
3垂直于同一条直线的两条直线一定()
A平行B相交C异面D以上都有可能
4如右图所示,正三棱锥(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中,分别是的中点,为上任意一点,则直线与所成的角的大小是( )
ABCD随点的变化而变化
5互不重合的三个平面最多可以把空间分成()个部分
ABCD
6把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线和平面所成的角的大小为()
ABCD
7.下列命题正确的是( )
A.经过三点确定一个平面
B.经过一条直线和一个点确定一个平面
C.四边形确定一个平面
D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
8.下列命题中正确的个数是( )
若直线上有无数个点不在平面内,则.
若直线与平面平行,则与平面内的任意一条直线都平行.
如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.
若直线与平面平行,则与平面内的任意一条直线都没有公共点.
A. B.1 C.2 D.3
9.若直线不平行于平面,且,则下列结论成立的是( )
A.内的所有直线与异面
B.内不存在与平行的直线
C.内存在唯一的直线与平行
D.内的直线与都相交
10.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:
与平行. 与是异面直线.
与成角. 与垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是( )
A.,, B.,
C., D.,,
11、下列命题中,正确的个数为()
①两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行;
②平行移动两条异面直线中的任何一条,它们所成的角不变;
③过空间四边形的顶点引的平行线段,则是异面直线与所成的角;
④四边相等,且四个角也相等的四边形是正方形
A.0 B.1 C.2 D.3
12、已知下列四个命题:
①很平的桌面是一个平面;
②一个平面的面积可以是m;
③平面是矩形或平行四边形;
④两个平面叠在一起比一个平面厚.
其中正确的命题有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
13、给出下列命题:
和直线都相交的两条直线在同一个平面内;
三条两两相交的直线在同一平面内;
有三个不同公共点的两个平面重合;
两两平行的三条直线确定三个平面.
其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
14.直线,在上取点,上取点,由这点能确定的平面有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
15.三条直线相交于一点,可能确定的平面有( )
A.个 B.个 C.个 D.个或个
16、分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是( )
A.异面直线 B.相交直线 C.不相交直线 D.不平行直线
二、填空题
1.已知是两条异面直线,,那么与的位置关系____________________
2.直线与平面所成角为,,
则与所成角的取值范围是_________
3棱长为,各面都为等边三角形的四面体内有一点,由点向各面引垂线,垂线段长度分别为,则的值为
4、下列命题中:
(1)平行于同一直线的两个平面平行;
(2)平行于同一平面的两个平面平行;
(3)垂直于同一直线的两直线平行;
(4)垂直于同一平面的两直线平行,其中正确的个数有_____________
三、解答题
1已知为空间四边形的边上的点,
且,求证:
提高题
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.若直线a不平行于平面,则下列结论成立的是()
A.内所有的直线都与a异面;B.内不存在与a平行的直线;
C.内所有的直线都与a相交;D.直线a与平面有公共点.
2.已知两个平面垂直,下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线;
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线;
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面;
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的个数是()
A.3B.2C.1D.0
3.空间四边形ABCD中,若,则与所成角为
()
A、B、C、D、
4.给出下列命题:
(1)直线a与平面不平行,则a与平面内的所有直线都不平行;
(2)直线a与平面不垂直,则a与平面内的所有直线都不垂直;
(3)异面直线a、b不垂直,则过a的任何平面与b都不垂直;
(4)若直线a和b共面,直线b和c共面,则a和c共面
其中错误命题的个数为()
A、0B、1C、2D、3
5.正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线AC1异面的棱有()条
A、3B、4C、6D、8
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
6.点P为ΔABC所在平面外一点,PO⊥平面ABC,垂足为O,若PA=PB=PC,则点O是ΔABC的()
A、内心B、外心C、重心D、垂心
7.如图长方体中,AB=AD=2,CC1=,则二面角
C1—BD—C的大小为()
A、300B、450C、600D900
8.直线a,b,c及平面α,β,γ,下列命题正确的是()
A、若aα,bα,c⊥a,c⊥b则c⊥α
B、若bα,a//b则a//α
C、若a//α,α∩β=b则a//b
D、若a⊥α,b⊥α则a//b
9.平面与平面平行的条件可以是()
A.内有无穷多条直线与平行;B.直线a//,a//
C.直线a,直线b,且a//,b//D.内的任何直线都与平行
10、a,b是异面直线,下面四个命题:
①过a至少有一个平面平行于b;②过a至少有一个平面垂直于b;
③至多有一条直线与a,b都垂直;④至少有一个平面与a,b都平行。
其中正确命题的个数是( )
A、0 B、1 C、2 D、3
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
A
B
C
P
11.已知直线a⊥直线b,a//平面,则b与的位置关系为.
12.如图,ABC是直角三角形,ACB=,
PA平面ABC,此图形中有个直角三角形
三、解答题(本大题共4小题,每小题10分,共40分)
13.在三棱锥S-ABC中,已知AB=AC,是BC的中点,平面SAO⊥平面ABC
A
B
O
C
S
求证:
∠SAB=∠SAC
14.如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E、F分别是AB、BD的中点.
求证:
(1)直线EF∥面ACD.
(2)平面EFC⊥平面BCD.
15.如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分别为AE,AB的中点.
(1)证明:
PQ∥平面ACD;
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.
16、如图,PA⊥平面ABC,AE⊥PB,AB⊥BC,AF⊥PC,PA=AB=BC=2
A
B
C
P
E
F
(1)求证:
平面AEF⊥平面PBC;
(2)求二面角P—BC—A的大小;
(3)求三棱锥P—AEF的体积.
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