高中总复习之二倍角公式.doc
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高中总复习之二倍角公式.doc
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【学习目标】
1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并了解它们之间的内在联系.
2.能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式.但不要求记忆),能灵活地将公式变形并运用.
3.通过运用公式进行简单的恒等变换,进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性,体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.
【要点梳理】
要点一:
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
要点诠释:
(1)公式成立的条件是:
在公式中,角可以为任意角,但公式中,只有当及时才成立;
(2)倍角公式不仅限于是的二倍形式,其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,才能熟练地应用好二倍角公式,这是灵活运用公式的关键.如:
;
2.和角公式、倍角公式之间的内在联系
在两角和的三角函数公式时,就可得到二倍角的三角函数公式,它们的内在联系如下:
要点二:
二倍角公式的逆用及变形
要点三:
两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型
求值题、化简题、证明题
1.对公式会“正着用”,“逆着用”,也会运用代数变换中的常用方法:
因式分解、配方、凑项、添项、换元等;
2.掌握“角的演变”规律,寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系,如
等等,把握式子的变形方向,准确运用公式,也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等);
3.将公式和其它知识衔接起来使用,尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.
【典型例题】
类型一:
二倍角公式的简单应用
例1.化简下列各式:
(1);
(2);(3).
【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式.
【答案】
(1)
(2)(3)
【解析】
(1).
(2).
(3).
【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值,而是将所给式子作为一个整体变形,逐步向二倍角公式的展开形式靠近,然后逆用倍角公式,要仔细体会本题中的解题思路.
举一反三:
类型二:
利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值
例2.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
【思路点拨】解这类题型有两种方法:
方法一:
适用,不断地使用二倍角的正弦公式
方法二:
将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式,利用进行化简.
【答案】
【解析】方法一:
.
∴
方法二:
原式
.
【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题.方法一和方法二通过观察角度间的关系,发现其特征(二倍角形式),逆用二倍角的正弦公式,使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式.在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余(补)的关系,从而使最终的结果为实数.利用上述思想,我们还可以把问题推广到一般的情形:
一般地,若,则.
举一反三:
【变式1】求值:
sin10°cos40°sin70°.
【解析】原式
.
类型三:
利用二倍角公式化简三角函数式
例3.化简下列各式:
(1)
【思路点拨】
(1)观察式子分析,利用二倍角公式把倍角展开成单角,再进行化简.
(2)观察式子分析,利用二倍角公式把倍角展开成单角,利用平方差公式进行化简.
【答案】
(1)
(2)
【解析】
(1)
(2)
【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式:
.经常起到消除式子中1的作用.②由于,可进行无理式的化简和运算.
例4.化简:
.
【解析】原式
.
【总结升华】三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类入手.通过切化弦、弦化切、异化同、高次降幂等手段,使函数式的结构化为最简形式.
举一反三:
【变式1】
(1)的化简结果是.
(2)已知,且α∈(,π),则的值为.
【答案】
(1)
(2)
【解析】
(1)原式=
=
=
=
(2)因为,且α∈(,π),所以,原式=.
类型四:
二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用
【高清课堂:
倍角、半角公式370633例2】
例5.求值:
(1)已知,求.
(2)已知,求.
【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系,发现它们是二倍的关系,所以用二倍角公式去求解.
【答案】
(1)
(2)
【解析】
(1)
=
=
=
(2)=
=
=
【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型,求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系,考查公式运用和变换的技巧.
举一反三:
【变式1】已知,且,求,,的值.
【答案】
【解析】由,得,
即,∴
由,得,
∴.
即.
整理得.
解得或(舍去).
∴.
∴.
【总结升华】解题过程中注意角的范围的判定.
【变式2】已知,
(1)求tan的值;
(2)求的值.
【解析】
(1),解得.
(2)
.
【总结升华】第
(1)问中利用了方程的思想求tan的值;对于第
(2)问的题型,一般需要将分式转化为含tan的式子求解,或者通过消元转化的方法求解.
类型五:
二倍角公式的综合应用
【高清课堂:
倍角、半角公式370633例3】
例6.已知,求:
(1)f(x)的最大值以及取得最大值的自变量的集合;
(2)f(x)的单调区间.
【思路点拨】用降幂公式把原式降幂,然后用辅助角公式化成的形式.
【答案】
(1)
(2)单增区间单减区间
【解析】
(1)原式=
=
=
则当即时,
(2)f(x)的单调递增区间为:
,则
f(x)的单调递减区间为:
,则
【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及的性质等知识.要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用:
(1)缩角升幂公式,.,.
(2)扩角降幂公式,.
例7.已知向量,,求函数.
(1)求的最大值及相应的x值;
(2)若,求的值.
【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式,将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中的“数量关系”,从而建立函数f(x)关系式.
【答案】
(1)
(2)
【解析】
(1)因为,,
所以.
因此,当,即时,取得最大值.
(2)由及得,两边平方得,即.因此,.
举一反三:
【变式1】已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期及单调递减区间;
(Ⅱ)求函数在上的最小值.
【答案】(Ⅰ),,(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)
所以函数的最小正周期为.
由,,则.
函数单调递减区间是,.
(Ⅱ)由,得.
则当,即时,取得最小值.
【变式2】已知向量m=(sinA,cosA),,m·n=1,且A为锐角.
(1)求角A的大小;
(2)求函数(x∈R)的值域.
【答案】
(1)
(2)
【解析】
(1)由题意,得,
,.
由A为锐角得,.
(2)由
(1)知,
所以.因为x∈R,所以sinx∈[-1,1].
因此,当时,有最大值,当sinx=-1时,有最小值-3,所以所求函数的值域是.
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