导数常见题型归纳.doc
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导数常见题型归纳.doc
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导数常见题型归纳
一、常规应用与含参数的单调区间的讨论:
1.设函数
(1)求函数的单调区间;21世纪教育网
(2)若,求不等式的解集.
解:
(1),由,得.
因为当时,;当时,;当时,;
所以的单调增区间是:
;单调减区间是:
.
小结:
此问是最基本的单调区间求解问题。
(2)由,
得:
.
故:
当时,解集是:
;
当时,解集是:
;
当时,解集是:
.21世纪教育网
2.设函数.
(Ⅰ)若曲线在点处与直线相切,求的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间与极值点.
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.
(Ⅰ),
∵曲线在点处与直线相切,
∴
(Ⅱ)∵,
当时,,函数在上单调递增,
此时函数没有极值点.
当时,由,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
∴此时是的极大值点,是的极小值点
小结:
此题是针对根的大小讨论单调区间。
3.已知函数.
(I)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直,且线段AB与x轴有公共点,求实数a的取值范围.
解 (Ⅰ)由题设知.令.
当(i)a>0时,
若,则,所以在区间上是增函数;
若,则,所以在区间上是减函数;
若,则,所以在区间上是增函数;
(ii)当a<0时,
若,则,所以在区间上是减函数;
若,则,所以在区间上是增函数;
若,则,所以在区间上是减函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)的讨论及题设知,曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值,且函数在处分别是取得极值,.
因为线段AB与x轴有公共点,所以.即
.所以.故.
解得 -1≤a<0或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是[-1,0)∪[3,4].
[答案应为a≤-1或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是∪[3,4].]
小结:
1、此题
(1)问是针对根的大小讨论单调区间的,并且要注意参数正负对不等式解的影响。
2、此题
(2)问是利用极值点进行问题的转化的。
4.已知函数的图像过点(-1,-6),且函数的图像关于y轴对称。
(1)求m,n的值及函数的单调区间;
(2)若a>0,求函数在区间内的极值。
解:
(1)由函数图像过(-1,-6),得m-n=-3,
由,得:
而图像关于y轴对称,所以:
,即m=-3,所以n=0
由得:
所以,单调递增区间为,,递减区间为
(2)由,得:
x=0,x=2;
所以函数在区间内有:
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