人教版九年级数学上册第二十三章旋转单元测试题.docx
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人教版九年级数学上册第二十三章旋转单元测试题
第二十三章旋转
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.风车应做成正面投影为中心对称图形,并且不是轴对称图形的样子,才能在风口处平稳旋转.如图1现有一长条矩形硬纸板(其中心有一个小孔)和两张全等的矩形薄纸片,将纸片粘到硬纸板上,做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车.正确的黏合方法是( )
图1
图2
2.下列图形中,既可以看作是轴对称图形,又可以看作是中心对称图形的是( )
图3
3.在平面直角坐标系中,把点P(-3,2)绕原点O顺时针旋转180°,所得到的对应点P′的坐标为( )
A.(3,2)B.(2,-3)C.(-3,-2)D.(3,-2)
4.如图4,△ABC是等边三角形,D是BC的中点,以点D为旋转中心,把△ABC顺时针旋转60°后所成的图形应是图5中的( )
图4
图5
5.在平面直角坐标系中,对于平面内任一点(a,b),若规定以下三种变换:
①Y(a,b)=(-a,b);②O(a,b)=(-a,-b);③X(a,b)=(a,-b).
按照以上变换有Y(O(1,2))=(1,-2),那么O(X(3,4))等于( )
A.(3,4)B.(3,-4)
C.(-3,4)D.(-3,-4)
6.对图6的变化顺序描述正确的是( )
图6
A.翻折、旋转、平移B.翻折、平移、旋转
C.平移、翻折、旋转D.旋转、翻折、平移
7.如图7,在平面直角坐标系中,△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A′B′C′,则其旋转中心的坐标是( )
A.(1.5,1.5)B.(1,0)
C.(1,-1)D.(1.5,-0.5)
图7 图8
8.如图8,已知在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,连接DA′.若∠ADC=60°,∠ADA′=50°,则∠DA′E′的度数为( )
A.130°B.150°C.160°D.170°
9.如图9,在矩形ABCD中,AC是对角线,将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°到四边形GBEF的位置,H是EG的中点.若AB=6,BC=8,则线段CH的长为( )
A.2
B.
C.2
D.
图9 图10
10.如图10,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′(此时,点B′落在对角线AC上,点A′落在CD的延长线上),A′B′交AD于点E,连接AA′,CE.那么下列结论:
①△ADA′≌△CDE;②直线CE是线段AA′的垂直平分线;③△AEA′是等腰三角形;④S△DEA′=S△B′EA.其中正确的是( )
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②③④
请将选择题答案填入下表:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总分
答案
第Ⅱ卷 (非选择题 共70分)
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.如图
,该图形可以看作是由一个“
”每次旋转________得到的.
12.已知点P(a+1,2a-3)关于原点的对称点在第二象限,则a的取值范围是________.
13.如图11,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,BC=12cm,将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△EBD,连接DC交AB于点F,则△ACF与△BDF的周长之和为________.
图11
14.如图12,在平面直角坐标系中,四边形OABC与CDEF都是正方形,OA=2,M,D分别是AB,BC的中点,当把正方形CDEF绕点C旋转某个角度或沿y轴上下平移后,若点F的对应点为F′,且OF′=OM,则点F′的坐标是__________________.
图12图13
15.如图13,菱形ABCD和菱形AEFG开始时互相重合,现将菱形AEFG绕点A顺时针旋转,设旋转角∠BAE=α(0°<α<360°),则当α=______________时,菱形AEFG的顶点F会落在菱形ABCD的对角线AC或BD所在的直线上.
图14
16.如图14是一个坐标方格盘,你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏,机器蛙每次跳步只能按如下两种方式(第一种:
向上、下、左、右可任意跳动1格或3格;第二种:
跳到关于原点的对称点上)中的一种进行.若机器蛙在点A(-5,4),现欲操纵它跳到点B(2,-3),请问机器蛙至少要跳________次.
三、解答题(共52分)
17.(5分)如图15①利用正方形各边中点和弧的中点设计的正方形瓷砖图案,用四块如图①所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形,使拼成的图案既是轴对称图形,又是中心对称图形.请你在图②和图③中各画一种拼法(要求两种拼法不相同).
图15
18.(5分)如图16,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(3,2),B(3,5),C(1,2).
(1)在平面直角坐标系中画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度,得图中的△AB2C2,点C2在AB上.
①旋转角为多少度?
②写出点B2的坐标.
图16
19.(5分)如图17,△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形,点A与点D,点B与点E,点C与点F分别是对应点,观察点与点的坐标之间的关系,解答下列问题:
(1)分别写出点A与点D,点B与点E,点C与点F的坐标,并说说这些对应点的坐标有哪些特征;
(2)若点P(a+3,4-b)与点Q(2a,2b-3)也是通过上述变换得到的对应点,求a,b的值.
图17
20.(7分)如图18,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°,得到△DBE,连接AD,DC,已知∠DCB=30°.求证:
DC2+BC2=AC2.
图18
21.(6分)如图19,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转,得到△DEC,若点D刚好落在AB边上,取DE边的中点F,连接FC,判断四边形ACFD的形状,并说明理由.
图19
22.(7分)将抛物线C1:
y=
(x+1)2-2绕点P(t,2)旋转180°得到抛物线C2,若抛物线C1的顶点在抛物线C2上,同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上,求抛物线C2的解析式.
23.(7分)在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,将△ABC绕点C顺时针旋转,得到△A1B1C,且点B1在线段BA的延长线上(如图20).
(1)求证:
BB1∥CA1;
(2)求△AB1C的面积.
图20
24.(10分)已知:
△ABC中,AB=4,AC=3,以CB为边作等边三角形CBP,连接AP,求AP的值.
这道题目难到了小明,因为没有具体图形,发现△ABC不是一个固定的图形,也没有指定等边三角形CBP在BC所在直线的哪一侧,这两个不确定的因素会使得AP的值不一定是固定的长度,为此小明从特殊情况出发研究这个问题,按如下步骤解决:
步骤1:
取∠CAB=30°,以CB为边作等边三角形CBP,使点A与点P在BC所在直线的两侧;
步骤2:
要想建立AB,AC,AP的联系,需要将这三条线段进行转移处理,由于图中有等边三角形,可以通过旋转来完成线段与角的转移,因此将△ACP以P点为旋转中心,逆时针旋转60°,得到△P′BP,通过推理与计算得到了此位置时AP的值.
(1)请结合小明的步骤补全图形;
(2)结合
(1)中补全后的图形求出此时AP的值;
(3)根据上述经验,改变∠CAB的度数,发现∠CAB在变化到某一角度时,AP有最大值,画出∠CAB为这个特殊角度时的示意图,写出AP的最大值,并说明大致思路.
图21
1.A [解析]可凭生活中的经验,也可以由风车的正面投影是中心对称图形,但不是轴对称图形进行判断.
2.A [解析]选项B是轴对称图形,选项C是轴对称图形,选项D是中心对称图形,只有选项A既是中心对称图形,又是轴对称图形.
3.D [解析]由题意可得,点P和点P′关于原点对称,它们的横、纵坐标均互为相反数.
4.D
5.C [解析]根据题意可得O(X(3,4))=O(3,-4)=(-3,4).故选C.
6.B
7.C [解析]连接AA′,BB′,作BB′的垂直平分线,再作AA′的垂直平分线,两条直线相交于一点,此点即为旋转中心,坐标为(1,-1).
8.C [解析]由四边形ABCD是平行四边形,得AD∥BC.
又∵∠ADA′=50°,∴∠DA′E=130°.
又∵∠E′A′B=∠EAB=30°,
∴∠DA′E′=160°.
9.D [解析]过点H作HM⊥BC于点M,
则M为BG的中点,GM=BM=
BG=
AB=3,
∴HM=
BE=
BC=4.
∵BG=AB=6,BC=8,
∴CM=BC-BM=8-3=5,
∴在Rt△CMH中,CH=
=
.
10.D [解析]∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′(此时,点B′落在对角线AC上,点A′落在CD的延长线上),
∴∠B′A′C=45°,∠ADC=90°,CB=CB′,CA=CA′,
∴△A′DE为等腰直角三角形,∴DA′=DE.
在△ADA′和△CDE中,∵
∴△ADA′≌△CDE(SAS),∴①正确.
在Rt△CBE和Rt△CDE中,
∵CB′=CB=CD,而CE=CE,
∴Rt△CB′E≌Rt△CDE,
∴∠B′CE=∠DCE,B′E=DE,
即CE平分∠B′CD.
又∵CA=CA′,∴CE垂直平分AA′,∴②正确.
∵CE垂直平分AA′,∴EA′=EA,
∴△AEA′是等腰三角形,∴③正确.
∵△DEA′和△B′EA都是等腰直角三角形.
又∵EA=EA′,∴△DEA′≌△B′EA,
∴S△DEA′=S△B′EA,∴④正确.
11.90°
12.-1<a<
[解析]∵点P关于原点的对称点在第二象限,
∴点P在第四象限,
∴
解得
∴-1<a<
.
13.42cm [解析]∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△EBD,
∴∠CBD=60°,BD=BC=12cm,
∴△BCD为等边三角形,
∴CD=BC=BD=12cm.
在Rt△ACB中,AB=
=13(cm),
∴△ACF与△BDF的周长之和为AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42(cm).
14.(0,
)或(0,-
)或(-1,2)或(1,2)
[解析]①若把正方形CDEF沿y轴上下平移,
∵OM=
=
,
∴在y轴上点F的两个对应点的坐标分别为(0,
),(0,-
);
②若把正方形CDEF绕点C旋转某个角度,
连接OD,易证△OCD≌△OAM,∴OD=OM,则点D为点F的对应点,其坐标为(1,2).
在BC的延长线上点D关于y轴的对称点位置也存在一点F′,使OF′=OM,该点坐标为(-1,2).
15.60°或180°或300° [解析]如图①,当点F在线段DB的延长线上时,∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=
AC,∴∠AOF=90°.
∵AF=AC,∴OA=
AF,
∴∠CAF=60°,即旋转角为60°;
如图②,当点F在线段CA的延长线上时,C,O,F三点共线,
则∠COF=180°,∴旋转角为180°;
如图③,当点F在线段BD的延长线上时,
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=
AC,∴∠AOF=90°.
∵AF=AC,∴OA=
AF,
∴∠CAF=60°.
即旋转角为360°-60°=300°.
∴α=60°或180°或300°.
16.3 [解析]若机器蛙在点A(-5,4),根据跳步游戏规则,可以先向右跳3格,再向下跳1格,然后跳到关于原点的对称点,即可跳到点B(2,-3).即机器蛙至少要跳3次.
17.解:
答案不唯一:
18.解:
(1)与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示.
(2)①由图可知,旋转角为90°.
②点B2的坐标为(6,2).
19.解:
(1)由图象可知,点A(2,3),点D(-2,-3),点B(1,2),点E(-1,-2),点C(3,1),
点F(-3,-1).
这些对应点的坐标特征:
横、纵坐标都互为相反数.
(2)由
(1)可知a+3+2a=0,4-b+2b-3=0,解得a=-1,b=-1.
20.证明:
连接EC.
∵将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°,得到△DBE,∴△ABC≌△DBE,∴AC=DE,BC=BE.
又∵∠CBE=60°,∴△BCE是等边三角形,
∴EC=BC,∠BCE=60°.
∵∠DCB=30°,∴∠DCE=90°,
∴DC2+EC2=DE2,∴DC2+BC2=AC2.
21.解:
四边形ACFD是菱形.
理由:
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠A=90°-∠B=60°,AC=
AB.
∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转,得到△DEC,
∴CA=CD,AB=DE,∠ACB=∠DCE=90°,
∴△ACD是等边三角形,∴AC=AD.
∵F是DE的中点,∴DF=CF=
DE,
∴AC=CF=DF=AD,
∴四边形ACFD是菱形.
22.解:
∵y=
(x+1)2-2的顶点坐标为(-1,-2),∴绕点P(t,2)旋转180°得到抛物线C2的顶点坐标为(2t+1,6),
∴抛物线C2的解析式为y=-
(x-2t-1)2+6.
∵抛物线C1的顶点在抛物线C2上,
∴-
(-1-2t-1)2+6=-2,
解得t1=3,t2=-5,
∴抛物线C2的解析式为y=-
(x-7)2+6或y=-
(x+9)2+6.
23.解:
(1)证明:
∵AB=AC,B1C=BC,
∴∠AB1C=∠B,∠B=∠ACB,
∴∠AB1C=∠ACB.
∵∠ACB=∠A1CB1,
∴∠A1CB1=∠AB1C,
∴BB1∥CA1.
(2)过点A作AD⊥BC于点D,如图所示.
∵AB=AC=5,AD⊥BC,
∴BD=CD=3.
在Rt△ABD中,AD=
=4,
∴△ABC的面积=
BC·AD=
×6×4=12.
过C作CE⊥AB于点E,
∴CE=
=
,
∴BE=
=
.
∵B1C=BC,
∴B1E=BE=
,∴B1B=
,∴AB1=
,
∴△AB1C的面积=
AB1·CE=
.
24.解:
(1)补全图形如图所示.
(2)连接AP′,∵△ACP以P点为旋转中心,逆时针旋转60°,得到△P′BP,∴△ACP≌△P′BP,
∴∠ACP=∠P′BP,AP=P′P,∠CPA=∠P′PB,
AC=P′B=3.∵△CBP为等边三角形,
∴∠APP′=60°,∠CBP=60°,∴△P′AP为等边三角形,
∴AP=AP′.
∵∠CAB=30°,
∴∠ACB+∠ABC=150°,
∴∠ABP′=360°-150°-120°=90°.
在Rt△ABP′中,AP=AP′=
=5.
(3)如图所示.AP的最大值是7.
思路:
①由∠CAB=120°,可得∠ACB+∠ABC=60°.
②由旋转可得∠ACP=∠P′BP,AP=P′P,AC=P′B.
③由∠CBP=60°,进而推出∠ABC+∠CBP+∠P′BP=180°,即A,B,P′三点共线.
④由AC=3,AB=4,可得AP=AP′=AB+BP′=7.
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