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2.1×
2×
3×
4×
5×
….×
100的积有多少个0?
100÷
2=50100÷
4=25100÷
16=6…4100÷
32=3…4100÷
64=1…36
100个数中有个50+25+6+3+1=85个2
5=20100÷
25=4
100中有24个5
24个0.
3.125×
25的结果有多少个0?
125=5³
25=5²
32=618=2×
319共有6个2,5个5。
结果有5个0。
2.观察尾数法
1)425+683+544+828=
A.2488B.2486C.2484D.2480
答案为D。
如果几个数的数值较大,又似乎没有什么规律可循,可以先考察几个答案项尾数是否都是唯一的,如果是,那么可以先利用个位数进行运算得到尾数,再从中找出唯一的对应项。
如上题,各项的个位数相加=5+3+4+8=20,尾数为0,所以很快可以选出正确答案为D。
2)1111+6789+7897A、15797B、14798C、15698D、15678答案A
3)22²
+23²
+25²
—24²
=A、1061B、1062C、1063D、1064答案B。
解法:
此题只需要计算出:
2²
+3²
+5²
—4²
3.基准数法
1997+1998+1999+2000+2001A.9993B.9994C.9995D.9996
答案为C。
当遇到两个以上的数相加,且他们的值相近时,可以找一个中间数作为基准,然后再加上每个加数与基准的差,从而求得他们的和。
在该题中,选2000作为基准数,其他数分别比2000少3,少2,少1,和多1,故五个数的和为9995。
这种解题方法还可以用于求几个相近数的算术平均数。
4、拆分法:
1)132476×
111
111=100+10+1
132476×
111=132476×
(100+10+1)=132476×
100+132476×
10+132476×
1
=13247600+1324760+132476=14704836
2)632763276327=6327×
----
632763276327=6327×
=632700000000+63270000+6327
=6327×
100000000+6327×
10000+6327×
(100000000+10000+1)
100010001
直接写:
3)94×
9393-92×
9494
原式=94×
(9300+93)-92×
(9400+94)=94×
93×
101-92×
94×
101=94×
101=9494
4)20082009×
20092008-20082008×
20092009=
原式=(20092009-1)×
(20082008+1)-20092009×
20082008=20092009×
20082008-20082008+20092009-1-20092009×
20082008=10000
设a=20082008,b=20092008,则原式=(a+1)b-a(b+1)=b-a=10000
5)2012
×
201120112011--2011×
201220122012
=2012×
2011×
100010001-2011×
2012×
100010001=0
5.分组结合法
1)计算98+97-96-95+94+93-92-91+……-4-3+2+1
用分组法,观察算式可以每四个数作为一组:
98+97-96-95=494+93-92-91=46+5-4-3=4
一共有96/4=24组,最后剩下2+1=3因此和为24×
4+3=99
2)计算100+99+98-97-96+95+94+93-92-91+…+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1
=(100+99+98-97-96)+(95+94+93-92-91)+……+(10+9+8-7-6)+(5+4+3-2-1
=104+99+……+14+9(100/5=20个数,等差数列)=(104+9)×
20/2
=113×
10=1130
3)计算(1+3+5+7+…+1999)-(2+4+6+…+1998)
解1:
思路分析:
从1~1999这1999个数中,奇数有1000个,偶数有999个.除1外,将剩下的999个奇数和999个偶数两两分组.
得到:
1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+…+(1999-1998)=1+999=1000
4)计算(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)
解:
先把两个括号内的数分别相加,再相减.第一个括号内的数相加的结果是:
从1到1989共有995个奇数,凑成497个1990,还剩下995,第二个括号内的数相加
的结果是:
从2到1988共有994个偶数,凑成497个1990.
1990×
497+995—1990×
497=995.
5)用两种方法计算(2+4+6+…+996+998+1000)-(1+3+5+…+995+997+999)
(2+4+6+…+996+998+1000)-(1+3+5+…+995+997+999),
=2+4+6+…+996+998+1000-1-3-5-…-995-997-999)=2-1+4-3+6-5+…+1000-999
=1×
500=500.
6.分解质因数法:
1)甲、乙、丙三个数的乘积为1440,三个数之和是37且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12,求甲、乙、丙各是几?
把1440分解质因数:
1440=12×
12×
10=2×
5=(2×
2)×
(3×
3)×
(2×
5)=8×
9×
20
如果甲、乙二数分别是8、9,丙数是20,则:
8×
9=72,
20×
3+12=72
符合题中条件。
答:
甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。
2)四个连续自然数的积是1680,这四个连续自然数的和是多少?
1680=2×
7=5×
6×
7×
8
5+6+7+8=26
7.提取公因数法:
1)123×
9+82×
8+41×
7-2010 =41×
9+41×
7-2010
=41×
(27+16+7)-2010 =2050-2010 =40
2)简便计算(1+12)+(2+12×
2)+(3+12×
3)……(100+12×
100)
(1+12)+(2+12×
100)=(1+12)+2(1+12)+3(1+12)……100(1+12)=(1+2+3+……+100)×
13=5050×
13=65650
3)计算9999×
2222+3333×
3334
9999×
3334=3333×
=3333×
6666+3333×
3334 =3333×
(6666+3334)
10000 =33330000.
4.求111…11(2000个)222…22(2000个)333…33(2000个)÷
333…33(2000个)所得商的各个数位上的数字的和.
分析:
111…222..22333…33先除以111…111等于1000…002000…003,中间的0都是1999个;
再用1000…002000…003除以3等于3333…3334000…001,得数前面的3有1999个,所以答案是3×
1999+4+1=6002.
解1:
①111…222..22333…33÷
111…111=1000…002000…003(两个0都是1999个);
②1000…002000…003÷
3=3333…3334000…001;
③3333…3334000…001=3333…3334000…001.(得数前面的3有1999个).
所以答案是3×
解2:
123÷
3=41
112233÷
33=3401
111222333÷
333=33401
…….
111…11(2000个)222…22(2000个)333…33(2000个)÷
333…33(2000个)
=33…3400…1(1999个3,1个4,1999个01个)
求算式9×
33~33(2005个3)×
55~55(2005个5)结果的各位数字和是多少?
33…33×
55…55=3×
99…99×
(100…00-1)×
55…55
=3×
55…55×
(100…00-1)=3×
(55…5500…00-55…55)
55…544…445=166…633…35
各位数数字和=1+6×
2004+3×
2005+5=18045
55~55(2005个5)的各位数的平方和是多少?
333……333×
555……555=3×
555……555×
999……999
=166……665×
999……999【前1跟2004个6和1个5,后2005个9】
1000……000-166……665
=166……6633……35【1跟2004个6,后2005个3,1个5】
各位数的平方和=1²
+×
2004+×
2005+=1+36×
2004+9×
2005+25=90215
8.数列规律法:
1)1+2+3+……+99+100=2)1+3+5+……+99=
3)2+4+6+….+100=4)计算(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)
解答:
(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)=(1+1989)÷
1990÷
2-(2+1988)÷
1988÷
2
=995×
995-995×
994=995×
(995-994)=995
直接用等差数列求和公式:
偶数列n(n+1),奇数列n²
(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)=995²
-994×
995=995
9.比例分配问题
例:
一所学校一、二、三年级学生总人数450人,三个年级的学生比例为2:
3:
4,问
学生人数最多的年级有多少人?
A.100B.150C.200D.250
解答这种题,可以把总数看作包括了234=9份,其中人数最多的肯定是占4/9的三年级,
所以答案是200人。
10.逻辑推理法:
1)互为反序的两个自然数之积是92565,求这两个互为反序的自然数。
(1204与4021是互为反序的自然数,120与21不是)
这两个自然数必须是三位数。
首先,这两个自然数不能是小于100的数,因为小于100的两个最大的反序数是99和99,而99×
99﹤92565.其次,这两个自然数也不能大于998,因为大于998的两个最小的反序数是999和999,而999×
999>92565.
设abc与cba为所求的两个自然数,即abc×
cba=92565
a×
c的个位数字是5,可以推得:
c=1×
5或3×
5或5×
5或7×
5或9×
5;
而当a×
c≥3×
5时有:
abc×
cba≥305×
503
即abc×
cba>92565,这是不合题意的。
我们可以断定:
5,不妨设a=1c=5.
由1b5×
5b1=…有b=1,b=6。
经检验,只有b=6符合题意,这时有165×
561=82565.
所求的两个互为反序的自然数手165和561.
11.裂项法;
例1.计算:
1×
2+2×
3+3×
4+…+100×
101
利用裂项法把各项作如下恒等变形。
有
2=(1×
3)÷
3
3=(2×
4-1×
4=(3×
5-2×
4)÷
…
100×
101=(100×
101×
102-99×
109)÷
将上面的等式代入对消。
得:
109+99×
109+
…+3×
4+2×
3+1×
=100×
102÷
3=343400
可以推广到一般的公式:
4+…+n×
(n+1)=n×
(n+1)×
(n+2)÷
例2.11×
13+12×
13×
14+13×
14×
15+….+100×
102
利用裂项法:
各项作恒等变形:
11×
13=(11×
14-10×
11×
13)÷
4
12×
14=(12×
15-11×
14)÷
15=(13×
15×
16-12×
15)÷
….
102=(100×
102×
103-99×
102)÷
把这90个等式代入相加得:
=(100×
103-10×
=25×
13=26527650-4290=26523360
一般的公式:
15+….+n×
(n+1)×
(n+2)
=[n×
(n+2)×
(n+3)-10×
13]÷
3+2×
4+3×
5+…+n×
(n+2)=n×
(n+3)÷
例3.求S=+++++…+=+++…+
=(-)+(-)+(-)+.........+(-)=1-=
S=1
-
=
例4:
计算+++…+的值为.
考点:
分数的巧算.
可将原式中的分子变形:
=,=…
原式=+++…+
=-+-+−+…+
-=1-+-+−+…+-,由此中间抵销,只剩两端计算即可.
+++…+
=+++…+
=-+-+−+…+-
=1-+-+-…-=1-=1-=
点评:
完成此类题目要认真分析式中数,找出其内在联系,然后进行巧算.
5.4×
6+6×
8+8×
10+…+18×
=(4×
8-2×
8×
10-4×
8+…+18×
20×
22-16×
18×
20)×
=(18×
22-2×
6)×
=1312
6.7×
12+12×
17+…+22×
27+27×
32
=(7×
17-2×
17×
22-7×
17+…+27×
37-22×
27×
32)×
=(27×
37-2×
12)×
=2120
7.1×
1!
+2×
2!
+3×
3!
+4×
4!
+…9×
9!
+10×
10!
各项变形:
=1!
2-1!
=2!
-1!
2×
3-2!
=3!
-2!
4-3!
=4!
-3!
原式=2!
+3!
+4!
+…+10!
-9!
+11!
-10!
=11!
=37716799
8.1×
5+4×
6+…+9×
11+10×
12
先找通项公式:
n×
(n+2)=+2n
+2×
1++2×
2++2×
3+…++2×
10
=+++…++2×
(1+2+3+…+10)=+10×
11=495
9.(1-)×
(1-)×
(1-)×
…×
(1-)
各项恒等变形:
1-=(1+)(1-)=×
1-=(1+)(1-)=×
…1-=(1+)(1-)=×
原式=×
×
=×
10.++…+
对各项进行计算变化:
==2×
=2×
(-)==2×
(-)….
(-)
原式=2×
(-+-+…+-)=2×
(-)=1-=
11.×
先进行分子,分母观察:
1+21+2+31+2+3+4….
2,2+3,2+3+4,…
做变化:
1+2=可以推出
2=可以推出
通项公式:
a=
附11.计算1+++……+
通项恒等变化:
1+2+3+...+n=,==2×
(-)
于是1+++……+
(-)+2×
(-)+……+2×
(1-)+2×
(1-+-+-+……+-)=2×
(1-)
=(1007分之2013)
12.计算:
++++++….+++…+.+
分成若干项,+(+)+(++)+….+(++…+.+)
写出通项公式==
++++++….+++…+.+=×
(2+3+4+…+101)=2575
13.计算1+
原式=
=2()
=2()=
12.数阵计算法
计算1×
100+2×
99+3×
98+…+99×
2+100×
1=
将各个加数列成数阵,然后分别补进数字(斜体)成一个正方数阵。
100100100…….100
999999………….99
989898………….98
…………………….
3333…………333
2222…………..22
1111…………….1
观察后,方阵数字和为100
(1+2+3+…+100)=100×
101÷
补进的三角数阵的和为+++...+-(1+2+3+…+100)=-
(+++...+=)
1=100×
2-+
=+-=-
=-=(3×
101-201)=×
102=171700
用三角数阵的旋转法
10011
99991221
989898123321
…………….………….………….
3333…………3123…….9898…………1
2222…………….2123…………9999……………1
1111………………11123,,,,,,,,,,,,,,,991001009998………1
每一个位置的数相加都是100+2,共有(1+100)÷
2×
100个位置
1=[(100+1+1)×
[(1+100)÷
100]×
=102×
=171700
1.1+2+3+4+…+99+100+99+98+…+4+3+2+1=(1+99)×
99+100=100²
1234….9899
1234…9899
1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1=n²
平方和可以看做一个自然数列与一个等差数列相乘,不用画出三角形,取等差数列的首项一次,末项两次相加,自然数列求和。
两者相乘再除以3.
这种方法可以计算一个自然数列与一个等差数列相乘的结果。
5+3×
7+…+49×
99=(3+99+99)(1+49)49÷
=82075
13.错位相减法
例1计算:
1+2+2²
+2³
+2+…+2+2
分析这是首项系数是2的等比数列求和问题
设s=1+2+2²
+2+…+2+2
(1)
用2乘以上式两边得:
2s=2+2²
+2+…+2+2+2
(2)
(2)-
(1)得:
s=(2+2²
+2+…+2+2+2)-(1+2²
+2+…+2+2)
=2-1=2048-1=2047
例2.计算1×
0.5+3×
(0.5)²
+5×
(0.5)³
+7×
(0.5)+…17×
(0.5)+19×
(0.5)
分析这个式子每个项都是两个数的乘积,前一个因数构成公差是2的等差数列,后一个因数构成一个公比是0.5的等比数列,可称为混合数列,用错位相减法求解。
设s=1×
(0.5)
(1)
两边乘2,得:
2s=1+3×
0.5+5×
+9×
(0.5)+…19×
(0.5)
(2)
两式两边相减,得:
s=1+2×
0.5+2×
(0.5)+…2×
(0.5)-19×
(0.5)=1+1+0.5+(0.5)²
+(0.5)³
+…+(0.5)+(0.5)-19×
再设A=1+0.5+(0.5)²
+…+(0.5)+(0.5)(3)
(3),得:
2A=2+1+0.5+(0.5)²
+…+(0.5)(4)
(4)-(3)得:
A=2-(0.5)=2-0.00390625=1.99609375
于是,有:
s=1+1.99609375-19×
=2.99609375-19×
0.00097656
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