小学运算技巧归纳.doc
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小学运算技巧归纳.doc
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运算技巧
1.凑整数法、利用乘法公式法:
1)125×618×32×25=
解题思路:
125×618×32×25=(125×8)×(4×25)×618=61800000。
2)99×101=
解题思路:
99×101=(100-1)(100+1)=10000-1=9999。
5.2+13.6+3.8+6.4
49×25
3)计算1998²-1997×1999的值为
解:
1998²-1997×1999=1998²-(1998-1)×(1998+1)=1998²-1998²+1=1
4)199+99×99有多少个0?
解:
199+99×99=1+2×99+99×99=(1+99)²=100²有4个0.
4)1999+999×999
解法1:
1999+999×999=1000+999+999×999
=1000+999×(1+999)=1000+999×1000
=1000×(999+1)=1000×1000=1000000.
解法2:
1999+999×999=1999+999×(1000-1)
=1999+999000-999=(1999-999)+999000
=1000+999000=1000000.
练习:
1.1999…99+999…99×999…99的末尾有多少个零?
(2002个9)(2002个9)(2002个9)
解:
1999…99+999…99×999…99
(2002个9)(2002个9)(2002个9)
=1+2×999…99+999…99×999…99
(2002个9)(2002个9)(2002个9)
=(1+999…99)²=(100…00)²=10的4004次方
(2002个9)(2002个0)
所以1999…999+999…999×999…999的末尾有4004个零。
(2002个9)(2002个9)(2002个9)
2.1×2×3×4×5×….×100的积有多少个0?
解:
100÷2=50100÷4=25100÷16=6…4100÷32=3…4100÷64=1…36
100个数中有个50+25+6+3+1=85个2
100÷5=20100÷25=4
100中有24个5
24个0.
3.125×618×32×25的结果有多少个0?
解:
125=5³25=5²32=618=2×319共有6个2,5个5。
结果有5个0。
2.观察尾数法
1)425+683+544+828=
A.2488B.2486C.2484D.2480
答案为D。
如果几个数的数值较大,又似乎没有什么规律可循,可以先考察几个答案项尾数是否都是唯一的,如果是,那么可以先利用个位数进行运算得到尾数,再从中找出唯一的对应项。
如上题,各项的个位数相加=5+3+4+8=20,尾数为0,所以很快可以选出正确答案为D。
2)1111+6789+7897A、15797B、14798C、15698D、15678答案A
3)22²+23²+25²—24²=A、1061B、1062C、1063D、1064答案B。
解法:
此题只需要计算出:
2²+3²+5²—4²
3.基准数法
1997+1998+1999+2000+2001A.9993B.9994C.9995D.9996
答案为C。
当遇到两个以上的数相加,且他们的值相近时,可以找一个中间数作为基准,然后再加上每个加数与基准的差,从而求得他们的和。
在该题中,选2000作为基准数,其他数分别比2000少3,少2,少1,和多1,故五个数的和为9995。
这种解题方法还可以用于求几个相近数的算术平均数。
4、拆分法:
1)132476×111
解:
111=100+10+1
132476×111=132476×(100+10+1)=132476×100+132476×10+132476×1
=13247600+1324760+132476=14704836
2)632763276327=6327×----
632763276327=6327×=632700000000+63270000+6327
=6327×100000000+6327×10000+6327×1
=6327×(100000000+10000+1)
=6327×100010001
直接写:
632763276327=6327×100010001
3)94×9393-92×9494
解:
原式=94×(9300+93)-92×(9400+94)=94×93×101-92×94×101=94×101=9494
4)20082009×20092008-20082008×20092009=
原式=(20092009-1)×(20082008+1)-20092009×20082008=20092009×20082008-20082008+20092009-1-20092009×20082008=10000
解:
设a=20082008,b=20092008,则原式=(a+1)b-a(b+1)=b-a=10000
5)2012 ×201120112011--2011×201220122012
=2012×2011×100010001-2011×2012×100010001=0
5.分组结合法
1)计算98+97-96-95+94+93-92-91+……-4-3+2+1
解:
用分组法,观察算式可以每四个数作为一组:
98+97-96-95=494+93-92-91=46+5-4-3=4
一共有96/4=24组,最后剩下2+1=3因此和为24×4+3=99
2)计算100+99+98-97-96+95+94+93-92-91+…+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1
=(100+99+98-97-96)+(95+94+93-92-91)+……+(10+9+8-7-6)+(5+4+3-2-1
=104+99+……+14+9(100/5=20个数,等差数列)=(104+9)×20/2
=113×10=1130
3)计算(1+3+5+7+…+1999)-(2+4+6+…+1998)
解1:
思路分析:
从1~1999这1999个数中,奇数有1000个,偶数有999个.除1外,将剩下的999个奇数和999个偶数两两分组.
得到:
1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+…+(1999-1998)=1+999=1000
4)计算(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)
解:
先把两个括号内的数分别相加,再相减.第一个括号内的数相加的结果是:
从1到1989共有995个奇数,凑成497个1990,还剩下995,第二个括号内的数相加
的结果是:
从2到1988共有994个偶数,凑成497个1990.
1990×497+995—1990×497=995.
5)用两种方法计算(2+4+6+…+996+998+1000)-(1+3+5+…+995+997+999)
(2+4+6+…+996+998+1000)-(1+3+5+…+995+997+999),
=2+4+6+…+996+998+1000-1-3-5-…-995-997-999)=2-1+4-3+6-5+…+1000-999
=1×500=500.
6.分解质因数法:
1)甲、乙、丙三个数的乘积为1440,三个数之和是37且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12,求甲、乙、丙各是几?
解:
把1440分解质因数:
1440=12×12×10=2×2×3×2×2×3×2×5=(2×2×2)×(3×3)×(2×2×5)=8×9×20
如果甲、乙二数分别是8、9,丙数是20,则:
8×9=72,
20×3+12=72
符合题中条件。
答:
甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。
2)四个连续自然数的积是1680,这四个连续自然数的和是多少?
1680=2×2×2×2×3×5×7=5×6×7×8
5+6+7+8=26
7.提取公因数法:
1)123×9+82×8+41×7-2010 =41×3×9+41×2×8+41×7-2010
=41×(27+16+7)-2010 =2050-2010 =40
2)简便计算(1+12)+(2+12×2)+(3+12×3)……(100+12×100)
(1+12)+(2+12×2)+(3+12×3)……(100+12×100)=(1+12)+2(1+12)+3(1+12)……100(1+12)=(1+2+3+……+100)×13=5050×13=65650
3)计算9999×2222+3333×3334
解:
9999×2222+3333×3334=3333×3×2222+3333×3334
=3333×6666+3333×3334 =3333×(6666+3334)
=3333×10000 =33330000.
4.求111…11(2000个)222…22(2000个)333…33(2000个)÷333…33(2000个)所得商的各个数位上的数字的和.
分析:
111…222..22333…33先除以111…111等于1000…002000…003,中间的0都是1999个;再用1000…002000…003除以3等于3333…3334000…001,得数前面的3有1999个,所以答案是3×1999+4+1=6002.
解1:
①111…222..22333…33÷111…111=1000…002000…003(两个0都是1999个);
②1000…002000…003÷3=3333…3334000…001;
③3333…3334000…001=3333…3334000…001.(得数前面的3有1999个).
所以答案是3×1999+4+1=6002.
解2:
123÷3=41
112233÷33=3401
111222333÷333=33401
…….
111…11(2000个)222…22(2000个)333…33(2000个)÷333…33(2000个)
=33…3400…1(1999个3,1个4,1999个01个)
所以答案是3×1999+4+1=6002.
练习:
求算式9×33~33(2005个3)×55~55(2005个5)结果的各位数字和是多少?
9×33…33×55…55=3×99…99×55…55=3×(100…00-1)×55…55
=3×55…55×(100…00-1)=3×(55…5500…00-55…55)
=3×55…544…445=166…633…35
各位数数字和=1+6×2004+3×2005+5=18045
求算式9×33~33(2005个3)×55~55(2005个5)的各位数的平方和是多少?
9×333……333×555……555=3×555……555×999……999
=166……665×999……999【前1跟2004个6和1个5,后2005个9】
=166……665×1000……000-166……665
=166……6633……35【1跟2004个6,后2005个3,1个5】
各位数的平方和=1²+×2004+×2005+=1+36×2004+9×2005+25=90215
8.数列规律法:
1)1+2+3+……+99+100=2)1+3+5+……+99=
3)2+4+6+….+100=4)计算(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)
解答:
(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)=(1+1989)÷2×1990÷2-(2+1988)÷2×1988÷2
=995×995-995×994=995×(995-994)=995
直接用等差数列求和公式:
偶数列n(n+1),奇数列n²
(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)=995²-994×995=995
9.比例分配问题
例:
一所学校一、二、三年级学生总人数450人,三个年级的学生比例为2:
3:
4,问
学生人数最多的年级有多少人?
A.100B.150C.200D.250
解答这种题,可以把总数看作包括了234=9份,其中人数最多的肯定是占4/9的三年级,
所以答案是200人。
10.逻辑推理法:
1)互为反序的两个自然数之积是92565,求这两个互为反序的自然数。
(1204与4021是互为反序的自然数,120与21不是)
解:
这两个自然数必须是三位数。
首先,这两个自然数不能是小于100的数,因为小于100的两个最大的反序数是99和99,而99×99﹤92565.其次,这两个自然数也不能大于998,因为大于998的两个最小的反序数是999和999,而999×999>92565.
设abc与cba为所求的两个自然数,即abc×cba=92565
a×c的个位数字是5,可以推得:
a×c=1×5或3×5或5×5或7×5或9×5;
而当a×c≥3×5时有:
abc×cba≥305×503
即abc×cba>92565,这是不合题意的。
我们可以断定:
a×c=1×5,不妨设a=1c=5.
由1b5×5b1=…有b=1,b=6。
经检验,只有b=6符合题意,这时有165×561=82565.
答:
所求的两个互为反序的自然数手165和561.
11.裂项法;
例1.计算:
1×2+2×3+3×4+…+100×101
解:
利用裂项法把各项作如下恒等变形。
有
1×2=(1×2×3)÷3
2×3=(2×3×4-1×2×3)÷3
3×4=(3×4×5-2×3×4)÷3
…
100×101=(100×101×102-99×100×109)÷3
将上面的等式代入对消。
得:
1×2+2×3+3×4+…+100×101=(100×101×102-99×100×109+99×100×109+
…+3×4×5-2×3×4+2×3×4-1×2×3+1×2×3)÷3
=100×101×102÷3=343400
可以推广到一般的公式:
1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)=n×(n+1)×(n+2)÷3
例2.11×12×13+12×13×14+13×14×15+….+100×101×102
解:
利用裂项法:
各项作恒等变形:
11×12×13=(11×12×13×14-10×11×12×13)÷4
12×13×14=(12×13×14×15-11×12×13×14)÷4
13×14×15=(13×14×15×16-12×13×14×15)÷4
….
100×101×102=(100×101×102×103-99×100×101×102)÷4
把这90个等式代入相加得:
11×12×13+12×13×14+13×14×15+….+100×101×102
=(100×101×102×103-10×11×12×13)÷4
=25×101×102×103-10×11×13×13=26527650-4290=26523360
一般的公式:
11×12×13+12×13×14+13×14×15+….+n×(n+1)×(n+2)
=[n×(n+1)×(n+2)×(n+3)-10×11×12×13]÷4
1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n×(n+1)×(n+2)=n×(n+1)×(n+2)×(n+3)÷4
例3.求S=+++++…+=+++…+
=(-)+(-)+(-)+.........+(-)=1-=
S=1 - =
例4:
计算+++…+的值为.
考点:
分数的巧算.
分析:
可将原式中的分子变形:
=,=…
原式=+++…+
=-+-+−+…+
-=1-+-+−+…+-,由此中间抵销,只剩两端计算即可.
解答:
+++…+
=+++…+
=-+-+−+…+-
=1-+-+-…-=1-=1-=
点评:
完成此类题目要认真分析式中数,找出其内在联系,然后进行巧算.
练习:
5.4×6+6×8+8×10+…+18×20
=(4×6×8-2×4×6+6×8×10-4×6×8+…+18×20×22-16×18×20)×
=(18×20×22-2×4×6)×=1312
6.7×12+12×17+…+22×27+27×32
=(7×12×17-2×7×12+12×17×22-7×12×17+…+27×32×37-22×27×32)×
=(27×32×37-2×7×12)×=2120
7.1×1!
+2×2!
+3×3!
+4×4!
+…9×9!
+10×10!
各项变形:
1×1!
=1!
×2-1!
=2!
-1!
2×2!
=2!
×3-2!
=3!
-2!
3×3!
=3!
×4-3!
=4!
-3!
原式=2!
-1!
+3!
-2!
+4!
-3!
+…+10!
-9!
+11!
-10!
=11!
-1!
=37716799
8.1×3+2×4+3×5+4×6+…+9×11+10×12
先找通项公式:
n×(n+2)=+2n
+2×1++2×2++2×3+…++2×10
=+++…++2×(1+2+3+…+10)=+10×11=495
9.(1-)×(1-)×(1-)×(1-)×…×(1-)×(1-)
解:
各项恒等变形:
1-=(1+)(1-)=×1-=(1+)(1-)=×
…1-=(1+)(1-)=×
原式=××××…××=×=
10.++…+
对各项进行计算变化:
==2×=2×(-)==2×(-)….
=2×(-)
原式=2×(-+-+…+-)=2×(-)=1-=
11.×××…×
解:
先进行分子,分母观察:
1+21+2+31+2+3+4….
2,2+3,2+3+4,…
做变化:
1+2=可以推出
2=可以推出
通项公式:
a=
原式=×××…××=×=
附11.计算1+++……+
通项恒等变化:
1+2+3+...+n=,==2×(-)
于是1+++……+
=2×(-)+2×(-)+2×(-)+……+2×(-)
=2×(1-)+2×(-)+2×(-)+……+2×(-)
=2×(1-+-+-+……+-)=2×(1-)
=2×=(1007分之2013)
12.计算:
++++++….+++…+.+
分成若干项,+(+)+(++)+….+(++…+.+)
写出通项公式==
++++++….+++…+.+=×(2+3+4+…+101)=2575
13.计算1+
原式=
=2()
=2()=
12.数阵计算法
计算1×100+2×99+3×98+…+99×2+100×1=
将各个加数列成数阵,然后分别补进数字(斜体)成一个正方数阵。
100100100…….100
999999………….99
989898………….98
…………………….
3333…………333
2222…………..22
1111…………….1
观察后,方阵数字和为100 ×(1+2+3+…+100)=100×100×101÷2
补进的三角数阵的和为+++...+-(1+2+3+…+100)=-
(+++...+=)
1×100+2×99+3×98+…+99×2+100×1=100×100×101÷2-+
=+-=-
=-=(3×101-201)=×102=171700
解2:
用三角数阵的旋转法
10011
99991221
989898123321
…………….………….………….
3333…………3123…….9898…………1
2222…………….2123…………9999……………1
1111………………11123,,,,,,,,,,,,,,,991001009998………1
每一个位置的数相加都是100+2,共有(1+100)÷2×100个位置
1×100+2×99+3×98+…+99×2+100×1=[(100+1+1)×[(1+100)÷2×100]×
=102×101×100×=171700
1.1+2+3+4+…+99+100+99+98+…+4+3+2+1=(1+99)×99+100=100²
1234….9899
1234…9899
1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1=n²
平方和可以看做一个自然数列与一个等差数列相乘,不用画出三角形,取等差数列的首项一次,末项两次相加,自然数列求和。
两者相乘再除以3.
这种方法可以计算一个自然数列与一个等差数列相乘的结果。
1×3+2×5+3×7+…+49×99=(3+99+99)(1+49)49÷2×=82075
13.错位相减法
例1计算:
1+2+2²+2³+2+…+2+2
分析这是首项系数是2的等比数列求和问题
解:
设s=1+2+2²+2³+2+…+2+2
(1)
用2乘以上式两边得:
2s=2+2²+2³+2+…+2+2+2
(2)
(2)-
(1)得:
s=(2+2²+2³+2+…+2+2+2)-(1+2²+2³+2+…+2+2)
=2-1=2048-1=2047
例2.计算1×0.5+3×(0.5)²+5×(0.5)³+7×(0.5)+…17×(0.5)+19×(0.5)
分析这个式子每个项都是两个数的乘积,前一个因数构成公差是2的等差数列,后一个因数构成一个公比是0.5的等比数列,可称为混合数列,用错位相减法求解。
解:
设s=1×0.5+3×(0.5)²+5×(0.5)³+7×(0.5)+…17×(0.5)+19×(0.5)
(1)
两边乘2,得:
2s=1+3×0.5+5×(0.5)²+7×(0.5)³+9×(0.5)+…19×(0.5)
(2)
两式两边相减,得:
s=1+2×0.5+2×(0.5)²+2×(0.5)³+2×(0.5)+…2×(0.5)-19×(0.5)=1+1+0.5+(0.5)²+(0.5)³+…+(0.5)+(0.5)-19×(0.5)
再设A=1+0.5+(0.5)²+(0.5)³+…+(0.5)+(0.5)(3)
2×(3),得:
2A=2+1+0.5+(0.5)²+(0.5)³+…+(0.5)(4)
(4)-(3)得:
A=2-(0.5)=2-0.00390625=1.99609375
于是,有:
s=1+1.99609375-19×(0.5)
=2.99609375-19×0.00097656
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