全国高考理科数学试题及答案福建卷.docx
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全国高考理科数学试题及答案福建卷
2021年全国高考理科数学试题及答案-福建卷
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2021年一般高等学校招生全国统一考试(福建卷)
数学(理工农医类)
一.选择题:
本小题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
1.函数f(x)sinxcosx最小值是A.-1B.1.【答案】:
B[解析]∵f(x)
11
C.D.1
22
11
sin2x∴f(x)min.故选B22
2
2.已知全集U=R,集合A{x|x2x0},则UA等于A.{x∣0x2}B{x∣0x2}C.{x∣x0或x2}D{x∣x0或x2}2.【答案】:
A
[解析]∵计算可得Axx0或x2∴CuAx0x2.故选A
3.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公差d等于A.1B3.【答案】:
C[解析]∵S36
5
C.-2D33
3
(a1a3)且a3a12da1=4d=2.故选C2
4.
(1cosx)dx等于
22
A.B.2C.4.【答案】:
D
-2D.+2
[解析]∵原式xsinx
(sin)[sin()]2.故选D
x22222
x2
5.下列函数f(x)中,满意“对任意x1,x2(0,),当x1x2时,都有f(x1)f(x2)
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的是A.f(x)=
1x
B.f(x)=(x1)2C.f(x)=eDx
f(x)ln(x1)
5.【答案】:
A
[解析]依题意可得函数应在x(0,)上单调递减,故由选项可得A正确。
6.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是A.2B.4C.8D.16
6.【答案】:
C
[解析]由算法程序图可知,在n=4前均执行”否”命令,故n=24=8.故选C
7.设m,n是平面内的两条不同直线,l1,l2是平面内的两条相交直线,则//的一个充分而不必要条件是A.m//且l//
B.m//l且n//l2
C.m//且n//D.m//且n//l27.【答案】:
B
[解析]若m//l1,n//l2,m.n,1.2,则可得//.若//则存在
12,m/l/2n,/l/
8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。
现采纳随机模拟的方法估量该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:
先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果。
经随机模拟产生了20组随机数:
907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估量,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A.0.35B0.25C0.20D0.158.【答案】:
B
[解析]由随机数可估算出每次投篮命中的概率p
242
则三次投篮命中两次为605
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2
C3P2(1P)0.25故选B
9.设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满意a与b不共线,ac∣a∣=∣c∣,则∣bc∣的值肯定等于
A.以a,b为两边的三角形面积B以b,c为两边的三角形面积C.以a,b为邻边的平行四边形的面积D以b,c为邻边的平行四边形的面积9.【答案】:
C
[解析]依题意可得bcbccos(b,c)basin(a,c)S故选C.
10.函数f(x)axbxc(a0)的图象关于直线x
2
b
对称。
据此可推想,对任意的2a
非零实数a,b,c,m,n,p,关于x的方程mf(x)nf(x)p0的解集都不行能是A.1,2B1,4C1,2,3,4D1,4,16,6410.【答案】:
D
[解析]本题用特例法解决简洁快速,对方程m[f(x)]2nf(x)P0中m,n,p分别赋
值求出f(x)代入f(x)0求出检验即得.
第二卷(非选择题共100分)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题4分,共20分。
把答案填在答题卡的相应位置。
11.若
2
abi(i为虚数单位,a,bR)则ab_________1i
11.【答案】:
2解析:
由
22(1i)
a
bi1i,所以a1,b1,故ab2。
1i(1i)(1i)
12.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影竞赛,9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示。
记分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算的平均分为91,复核员在复核时,发觉有一个数字(茎叶图中的x)无法看清。
若记分员计算失误,则数字x应当是___________
12.【答案】:
1
解析:
观看茎叶图,
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可知有91
888989929390x929194
x1。
9
13.过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则p________________13.【答案】:
2
解析:
由题意可知过焦点的直线方程为y
x
p
,联立有2
y22px
p22
8p2。
0,又ABpx3px
4yx
2
14.若曲线f(x)ax3lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a取值范围是_____________.14.【答案】:
(,0)
解析:
由题意可知f(x)2ax所以2ax
2
'
2
1
,又因为存在垂直于y轴的切线,x
11
0a3(x0)a(,0)。
x2x
15.五位同学围成一圈依序循环报数,规定:
①第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;
②若报出的数为3的倍数,则报该数的同学需拍手一次
已知甲同学第一个报数,当五位同学依序循环报到第100个数时,甲同学拍手的总次数为________.15.【答案】:
5
解析:
由题意可设第n次报数,第n1次报数,第n2次报数分别为an,an1,an2,所以有anan1an2,又a11,a21,由此可得在报到第100个数时,甲同学拍手5次。
三解答题16.(13分)
从集合1,2,3,4,5的全部非空子集中,等可能地取出一个。
....
(1)记性质r:
集合中的全部元素之和为10,求所取出的非空子集满意性质r的概率;
(2)记所取出的非空子集的元素个数为,求的分布列和数学期望E
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16、解:
(1)记”所取出的非空子集满意性质r”为大事A
12345
基本领件总数n=C5=31C5C5C5C5
大事A包含的基本领件是{1,4,5}、{2,3,5}、{1,2,3,4}大事A包含的基本领件数m=3所以p(A)
m3n31
(错误!
未找到引用源。
)依题意,的全部可能取值为1,2,3,4,5
13
C5C5210C5510,p
(2),p(3)又p
(1)
3131313131315C545C51
p(4),p(5)
31313131
故的分布列为:
从而E1+2+3+4+5
313131313131
17(13分)
如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD平面ABCD,
NB平面ABCD,且MD=NB=1,E为BC的中点
(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值
(2)在线段AN上是否存在点S,使得ES平面AMN?
若存在,求线段
AS的长;若不存在,请说明理由
17.解析:
(1)在如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标Dxyz
依题意,得D(0,0,0)A(1,0,0)M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E(,1,0)。
1
NE(,0,1),AM(1,0,1)
2
NEAM,cosNE,AM|NE||AM|
1
2
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所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为
10
(2)假设在线段AN上存在点S,使得ES平面AMN.
AN(0,1,1),
可设ASAN(0,,),
又EA(,1,0),ESEAAS(,1,).
1
2
1
2
1ESAM0,
0,
由ES平面AMN,得即2
ESAN0,
(1)0.
111
故,此时AS(0,,),|AS|.
222经检验,当AS
时,ES平面AMN..2
故线段AN上存在点S,使得
ES平面AMN,此时AS18、(本小题满分13分)
如图,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asinx(A0,
0)x[0,4]的图象,且图象的最高点为
S(3,;赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的平安,限定MNP=120(I)求A,
o
的值和M,P两点间的距离;
(II)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?
18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础学问,考查运算求解力量以及应用数学学问分析和解决实际问题的力量,考查化归与转化思想、数形结合思想,解法一
(Ⅰ)依题意,有A
当x4是,yT2
,。
yx3,又T
466
233
共享
M(4,3)又p(8,3)
MP
5
(Ⅱ)在△MNP中∠MNP=120,MP=5,设∠PMN=
,则060由正弦定理得
NP
MPNPMN
sin1200sinsin(600
)
MN0)
10)sin)2故NPMN
600)060,当=30时,折线段赛道MNP最长
亦即,将∠PMN设计为30时,折线段道MNP最长解法二:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)在△MNP中,∠MNP=120,MP=5,
由余弦定理得MN2NP22MNNPcos∠MNP=MP2即MN2NP
2MNNP25故(MNNP)225MN
NP(
MNNP2
)2
3
从而(
MNNP)225,即MN
NP
4
当且仅当MN
NP时,折线段道MNP最长
注:
本题第(Ⅱ)问答案及其呈现方式均不唯一,除了解法一、解法二给出的两种设计方式,
还可以设计为:
①N平分线上等
;②N;③点N在线段MP的垂直19、(本小题满分13分)
x2
已知A,B分别为曲线C:
2+y2=1(y0,a0)与x轴
a
的左、右两个交点,直线l
过点B,且与x轴垂直,S为l上异于点B的一点,连结AS交曲线C于点T.
(1)若曲线C为半圆,点T为圆弧AB的三等分点,试求出点S的坐标;
(II)如图,点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点,试问:
是否存在a,使得O,M,S三点共线?
若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由。
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19.【解析】解法一:
AB的三等分点得∠BOT=60或120.(Ⅰ)当曲线C为半圆时,a1,如图,由点T为圆弧
(1)当∠BOT=60时,∠SAE=30.又AB=2,故在△SAE中,
有SBABtan30
s(t或
(2)当∠BOT=120时,同理可求得点S的坐标为,综上,S(Ⅱ)假设存在a(a0),使得O,M,S三点共线.
由于点M在以SB为直线的圆上,故BTOS.
明显,直线AS的斜率k存在且k0,可设直线AS的方程为yk(xa).x22
2y1
得(1a2k2)x22a2k2xa4k2a20由a
yk(xa)
a2k2a2
设点T(xT,yT),xT(a),22
1ak
2akaa2k2
故xT,从而yTk(xTa).22
1a2k21ak
aa2k22ak
亦即T(,).
1a2k21a2k2
2a2k22ak
B(a,0),BT((,))2222
1ak1ak
xa
由得s(a,2ak),OS(a,2ak).
yk(xa)
2a2k2
4a2k2
由BTOS,可得
BTOS0即2a2k24a2k20
2
1ak2
k0,a0,a
经检验,当a,O,M,S三点共线.故存在a使得O,M,S三点共线.解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.
由于点M在以SO为直径的圆上,故SMBT.
明显,直线AS的斜率k存在且K0,可设直线AS的方程为yk(xa)x22
2y1
得(1a2b2)x22a2k2xa2k2a20由a
yk(xa)
共享
a4k2a2设点T(xT,yT),则有xT(a).
1a2k2
aa2k22akaa2k22ak
故xT,从而yk(xa)亦即T().TT22222222
aak1ak1ak1ak
yT1
B(a,0),kBT2,故kSMa2k
xTaak
xa
由得S(a,2ak),所直线SM的方程为y2aka
2k(xa)yk(xa
)
O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即2aka2k(a).a0,K0,a故存在a使得O,M,S三点共线.20、(本小题满分14分)已知函数f(x)
13
xax2bx,且f'
(1)03
(1)试用含a的代数式表示b,并求f(x)的单调区间;
(2)令a1,设函数f(x)在x1,x2(x1x2)处取得极值,记点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),P(m,f(m)),x1mx2,请认真观看曲线f(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势,并解释以下问题:
(I)若对任意的m(x1,x2),线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点,试确定t的最小值,并证明你的结论;
(II)若存在点Q(n,f(n)),xnm,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点,请直接写出m的取值范围(不必给出求解过程)20.解法一:
(Ⅰ)依题意,得f'(x)x22axb由f'
(1)12ab0得b2a1.
1
从而f(x)x3ax2(2a1)x,故f'(x)(x1)(x2a1).
3令f'(x)0,得x1或x12a.①当a1时,12a1
共享
当x变化时,f'(x)与f(x)的变化状况如下表:
由此得,函数f(x)的单调增区间为(,12a)和(1,),单调减区间为(12a,1)。
②当a1时,12a1此时有f'(x)0恒成立,且仅在x1处f'(x)0,故函数
f(x)的单调增区间为R
③当a1时,12a1同理可得,函数f(x)的单调增区间为(,1)和(12a,),单调减区间为(1,12a)综上:
当a1时,函数f(x)的单调增区间为(,12a)和(1,),单调减区间为(12a,1);当a1时,函数f(x)的单调增区间为R;
当a1时,函数f(x)的单调增区间为(,1)和(12a,),单调减区间为(1,12a).(Ⅱ)由a1得f(x)
13
xx23x令f(x)x22x30得x11,x233
由
(1)得f(x)增区间为(,1)和(3,),单调减区间为(1,3),所以函数f(x)在处
5
。
x11,x23取得极值,故M(1,)N(3,9)
3
观看f(x)的图象,有如下现象:
①当m从-1(不含-1)变化到3时,线段MP的斜率与曲线f(x)在点P处切线的斜率f(x)之差Kmp-f'(m)的值由正连续变为负。
②线段MP与曲线是否有异于H,P的公共点与Kmp-f'(m)的m正负有着亲密的关联;③Kmp-f'(m)=0对应的位置可能是临界点,故推想:
满意Kmp-f'(m)的m就是所求的t最小值,下面给出证明并确定的t最小值.曲线f(x)在点P(m,f(m))处的切线斜率
共享
f'(m)m22m3;
m24m5线段MP的斜率Kmp
3
当Kmp-f'(m)=0时,解得m1或m2
m24m5m24m
x)直线MP的方程为y(
33m24m5m24mx)令g(x)f(x)(
33
当m2时,g'(x)x22x在(1,2)上只有一个零点x0,可推断f(x)函数在(1,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,又g
(1)g
(2)0,所以g(x)在(1,2)上没有零点,即线段MP与曲线f(x)没有异于M,P的公共点。
m24m
0.g
(2)(m2)20当m2,3时,g(0)
3
所以存在m0,2使得g()0
即当m2,3时,MP与曲线f(x)有异于M,P的公共点综上,t的最小值为2.
(2)类似
(1)于中的观看,可得m的取值范围为1,3解法二:
(1)同解法一.
(2)由a1得f(x)
13
xx23x,令f'(x)x22x30,得x11,x233
由
(1)得的f(x)单调增区间为(,1)和(3,),单调减区间为(1,3),所以函数在处取得极值。
故M(1,
5
).N(3,9)3
m24m5m24m
(Ⅰ)直线MP的方程为yx.
33
m24m5m24m
yx33由y1x3x23x3
共享
得x33x2(m24m4)xm24m0
线段MP与曲线f(x)有异于M,P的公共点等价于上述方程在(-1,m)上有根,即函数g(x)x33x2(m24m4)xm24m在(-1,m)上有零点.
因为函数g(x)为三次函数,所以g(x)至多有三个零点,两个极值点.
又g
(1)g(m)0.因此,g(x)在(1,m)上有零点等价于g(x)在(1,m)内恰有一个极大值点和一个微小值点,即g'(x)3x26x(m24m4)0在(1,m)内有两不相等的实数根.=3612(m24m4)>0
1m522
3
(1)6(m4m4)0
等价于即m2或m1,解得2m5
22
m13m6m(m4m4)0
m1
又因为1m3,所以m的取值范围为(2,3)从而满意题设条件的r的最小值为2.
21、本题
(1)、
(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,假如多做,则按所做的前两题计分。
作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中,
(1)(本小题满分7分)选修4-4:
矩阵与变换已知矩阵M的坐标
(2)(本小题满分7分)选修4-4:
坐标系与参数方程已知直线l:
3x+4y-12=0与圆C:
23
所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A‘(13,5),试求M的逆矩阵及点A
11
x12cos
(为参数)试推断他们的公共点个数
y22sin
(3)(本小题满分7分)选修4-5:
不等式选讲解不等式∣2x-1∣∣x∣+121.
(1)解:
依题意得
23131
MM1由M得,故,
1112
23x13x1313113352
从而由得
11y5y125113253
共享
x2,故即A(2,3)为所求.
y3,
(2)解:
圆的方程可化为(x1)2(y2)24.其圆心为C(1,2),半径为2.
(3)解:
当x0时,原不等式可化为2x1x1,解得x0又x0,x不存在;当0x
1
时,原不等式可化为2x1x1,解得x02
11
又0x,0x;
2211
当x,x2
22
综上,原不等式的解集为x|0x
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