量子力学曾谨言习题解答第八章docx.docx
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第八章:
自旋
[1]在①表彖中,求広的木征态
(解)设泡利算符bS 兀1(\)和兀1(匚)⑴ 或者简单地记作Q和0,因为这两个波函数并不是丘v的本征函数,但它们构成一个完整 系,所以任何H旋态都能用这两个本征函数的线性式表示(叠加原理),$丫的本征函数可表 q,C2待定常数,乂设的本征值兄,则•的本征方程式是: 将 (2)代入(3): 6\(C・|Q+C20)=2(C|Q+C20)⑷ 根据木章问题6(P.264),戈对乞表象基矢的运算法则是: dxa=fi=a 此外又假设$Jl勺木征矢 (2)是归一花的,将(5)代入(4): +cxa=+Ac小 比较q,0的系数(这二者线性不相关),再加的归一化条件,有: (6。 ) (6b) (6c) 前二式得才=1,即2=1,或Z=—1 当时2=1,代入(6a)得q=C2,再代入(6c),得: 8是任意的相位因子。 当时2=-1,代入(6a)得 代入(6c),得: 「一1/ °一7T 最后得&的木征函数: 对应木征值1 兀2=$(—0) 对应本征值-1 以上是利用寻常的波函数表示法,但在6\庁2共同表象小,采用、作白变量时,既是处标表 象,同时乂是角动量表象。 町川矩阵表示算符和本征矢。 0= (7) : 的矩阵已证明是 (8) 因此&的矩阵式木征方程式是: 其余步骤与坐标表象的方法相同, &木征矢的矩阵形式是: x\= 1 1 -1 "0f 01 [2]在6表象中,求厅昉的本征态,n(sin0coscp,sin0sincp.cos0)是(&,©)© 方向的单位欠。 (解)方法类似前题,设厅“算符的本征矢是: x=c、a+C20 (1) 它的木征值是2。 又将题给的算符展开: &•亓=sin&cos06\+sin0sin(p&y+cos0a: 写出本征方程式: (sin/cosy広+sin/9sin(p&x+cos3&_\c}a+c2/3)=^{cxac2/3}(3) 根据问题(6)的结论, 对庁Q2的共同本征矢—0,运算法则是 &xa=ip dv0=ia a,a=a (4) 将这些代入(3),集项后,对此两边 0的系数: cos3c}+(sin0cos(p^isinOsincp)=Act(sin0cos©+isin&sin(p)一cos3c2=2c2 (5) (cos0一2)C]+sin0e~, sin0e,(p•c〕一(cos0+A)c2=0 (6) (6)具有非平凡解(平凡解c,=0,c2=0)条件是久期方程式为零,即 cos0-Asin為" sin&,'°-cos0-A 0它的解才=1 (7) 2=1时, (1) 代入(6)得: &i(p C? =壊亍5 的归-•化条件是: (8) 2+14 将(8) 代入(9),得: c=严®cos— 12 5=eiSsin- 2 归一化木征函数是: -: Z> Z1 严cos-6z+sin-/? 22 A=—1时,cpc2的关系是: C2…岭-J 归一化本征函数是: 5是任意的相位因子。 木题用矩阵方程式求解: 运用矩阵算符: __cos<9sin鬼"a-n= sin3e, 本征方程式是: cos。 sin6k* C2 =A ~c2~ sin6ei(p 一cos〃 C2_ 5*2_ 厅昉的木征矢是: ■■ei((s—(p) COS—0' ■■sin冬g 2 2= 2 •&i3 018 sin—€ 一cos—£ L2J L2J (13) (14) (15) 「or A _0-i 八 ~l0~ tcrv= 6= 10 _i0 z _0-1 补口: 木征矢包含一个不定的相位因式山于5可以取任意值,因此%,龙2的形式是多式多样的,但(15)这种表示法是有普遍意义的。 求山: 和As; (解)心: 是补的均方偏差 山;是,煮的均方偏差 A$mc)2 粘也)弓力3) 22 ——护 224 (2) 02 6)比0(〃,0)+力」 (二)百(00) 2 力 孔1(^) 2222 方 =-ztO\)z1(^)=0 25~2 力2 因此山;=—在力1(鼻)态下,Sx,Sy对称,因而 47 若I=m,有以卜•的二态: ⑶必二右(&,0)+屁」(匚)百(&,0) ⑷04=力g)Y].](0,0) 2 (解)依§&2总角动量理论,若电子的轨道运动的态用量子数(/,加)表示,在考虑到口 旋的情形下,若用(/J2J.)共同表象,则电子的态可冇四种;若l>m,冇以下二态: © (5) (6) (7) 将题给的态和一般公式对照,发现 (1) (2)(3)式与(7)(5)(6)(8)式相当,总角动量 平方算符J2,总角动虽分量算符7可能测值如下: 状态数值算符 (1) (2) (3) (4) 的量子数 3/2 3/2 3/2 3/2 的量子数 3/2 1/2 -1/2 -3/2 A/—Z*T•/八 ,(方-1)‘A;+A"l 证明: /\ 人;0沏= (证明)本题的A;,A;是两个带有相加的常数分子的算符 —♦/\/\/\ 厅•/=&1厶+$〉厶+丘丿乙 根据总如动最理论内,前两算符可变形如下: 2+2+11一711z^2,2人2、 A,=1(T•/=1(y—I—s)/i\ z2/+12/+12/+12/+1⑴ A;=—<7-F=—(尸_八_护) (2) 2/+12/+12/+12/+1 假设/>加,试将 (1)式运算于合成角动量的本征态0伽/(Z2,;2共同本征态),首先, 对"弓有: /+11z02,2宀、 2/+l+2/+l'°TF 叫,” 1 2/+1 彳(/+1)+旳+1)-W+l)- f3 ba+D+w+DJa+i)-'y如 1 2/+1 133 a(/+1)+W+)(/+—1) 224 巾+i)+/a+;)(/+;)—(+1)—: * Ys ,加+1 _1 -2/+1 =0网 (21+l)dYs ⑵+1)叽+】 I-in /+Z77+1 ;b= 2/+1 2/+1 2/+1 0丫/,加+1_ 113 -M/+i+(/--)(/+-)-/(/+i)--}rOn 113 曲+1+(/巧)(/+壬一心+1)_才乙加 =0 式中a= 其次,可对于j=/-|的本征态计算: 又因为A;+A;=1,所以 心05厂(1-&)05J ⑹一个具有两个电子的原子,处于自旋单态(s=0)。 证明自旋轨道耦合作用oZ对 能量无贡献。 [解]、整个原子的角动量看作每一个电子角动量矢量和,此外每一电子角动量又包括轨道运动和自旋。 A八八八八八-A.八 ••—♦八A j\+j? 丄=l\+,2'S=f]+£2'J\=h 整个体系的哈氏算符是: 将口旋轨道相互作用算符用角动量算符表示,由于: +2L-5 八/\/\7\八 J2=(L+5)-(L+5)=L2+52//=//o+-^(/)(J2-L2-52) ⑵ 原子的状态可以用(芒,丿2,乙)的共同本征函数屮“J表示,将算符 (2),运算于这个 本征函数,可以求的能量贡献(修正量) 叽…={乩+2鈿){户—F—心}}壮口 =/屮厶…+*(刃{"八1)沪-UL+1)力2一S(S+1)力2}屮“& ⑶ 但当原子处在自旋的单重态时, 5,=—S2,5=0 总白旋量子数s=0,有从 (1)式的关系看出 J=J1+J2=+Sj+12+s2=Tj+12=L 因此J二L,(3)式成为: □屮LZz=^^LJJ7 所以,轨道自旋的耦合作用对能虽木征值没冇影响,因方。 不含 ⑺设两个H旋为丄的粒子的相互作用为: 2 V(r)=V0(r)+V7(r)S12 第一项为中心力,第二项为张量力的证明: (1)宇称"、总自旋歹、总角动量J2及总的z向分角动量/均为守恒量,但芒和f不是守恒量。 (2)在口旋单态下,张量力为零。 (解)题中张量力(本章中问题13.P283)如下: S厂3©•普2远)_©远)=十-2护⑴ 厂厂 但”=斤—乙。 (前一公式的來源不在木题中讨论) (1)(a)宇称兀: 体系的哈密顿算符包括两粒了的能虽和势能 -2S2 斜益+尬)+讪 按*§5.3(Po176)一体系若具有空间反射不交性,则具宁称是守恒的,即 [久片]=0 在本题的情形,这条件是成立的,注意,粒子的动能町能梯度表示。 (2)式用坐标显示为: +%(|斤一可)+吟(忙一引){恥“厂卩一2护} 人一厂2 为参考系发生空间反射时, 兀1T一兀],兀2T—兀2,『]T一T—『2,知—>一Z],Z2T—? 2,人一尸2T一厶。 但 斤-石不变,此外总的白旋角动量£依赖与H旋坐标入和与空间朋标忌石无关,因 而忌)『也不随空间反射而变更,乂因为 a2_a2 dxf3(—兀]尸 等,所以动能部分也不随反射而变化,所以(4)式整个不随反射变化,若(斤忆宀]宀2)是 任意函数,我们冇: [分,彳]=0,分是守恒量 (b)总自旋平方算符§2: 自旋和一切轨道运动的量都能対易,只需检验即与(£.门2的对易性: (S-r)2=託3-兀2)+*5—力)+可G-5)+2斤£(坷一吃)®-儿)+2祸(y】-儿)(可-勺) +2SzSx(Z]-5)(兀1-兀2) 因[S2,SJ=0等,乂[52,5^]=0等,因此有: [52,HJ=0(6) (c)总角动量分Jz: 总角动量分量丿Z与轨道运动部分的诸力学算符和对易,这在第六章中心力场和笫四章§4.1都有过讨论,只需证明丿z与〃的势能部分的对易性就足够。 又A=: +5=Az+‘2? +^lz+^2z 只与角度有关,与相对矢径r=rx-7i无关,所以厶与一切与”有关的算符对易 [Jz,Hl=[Jz,V(r)l =[Jz,Vo(r)+Vr(r)S12] =[JZ9VT(r)Si2] -[^z^r(r){6(^;r)2-252}] 厂 -2Vy.(r){Jz,52} |Jz-(5-r)2]=Jz.(S-F)2-(S-r)2Jz =4(5-r)2-(S-7)JZ(C门+(Cr)Jz⑺(S.r)-(S-f)2Jz =[Jz,(5-r)](S.r)-(S.f)[Jz,(S-r)] 最后一式说明,[乙,(Cr)2]归结为较简单的[Jz,(Cr)]的运算 [Jz,(C01=[Lz+S2,Sx(坷—兀2)+Sy®-y2) +S,Z]—g)] =[£.,Xj-X2]SX+[Lz9yx-y2]Sy +[L,-+[£,§」(兀1一兀2) +攻$](歼一兀2) 再注意到: 八八A [Lz,x{~x2]=[Zk+Z2,,xI-x2] /\八 =Uiz,x[]-[l2z,x2] 运用两个业已证明过的对易式(第四章) 忆,无0】=£妙/迅 [Sa,S^]=hi£aPySy [JzXS-r)]=[llz,xl]Sx-[l2z,x2]Sx +[: 儿瓦-[RjSlSy +[S.,SY](X|-x2)+[5_,SJ](y1-y2)⑻ =hi(yl-y2)Sx-hi{xx-x2)Sy+hi{xx-x2)5v -hi(y{-y2)Sx=0 将此结果代入(7)式,得到 [A,(5-r)2]=0 所以最终得到: [J.,H]=0(7是守悝量)(9) JJ (d)总角动量平方j2: 前一步骤出发,再计算”与G・门的对易关系 =J}(S-r)-J: (S-r)J: +J: (Cr)J-(5-(10) =2[几(6初+[几&/)]工 JJ、J 现在将(8)代入(10),立即又有 [/;,(5-r)]=0 我们在(c)一小题中计算[/: (〈•”)]时全部用了直角座标,因此座标 (X]%Zl9x2y2G)有轮换的对称,(10)式也是如此 因而应该也有下式: [J;,(S.r)l=0,氏,(C门]=0 将(10)和(11)的两式相加,得 [丿;+丿;+丿;,(S/)]二[尸,(SJ)]=0 从而也得到交换式 |/\H]=0 (11) (12) (八是守恒量) (e)厂左这两算符不能是守恒量,I大I为它们不和(CF)对易。 (2)最后证明,在双电了体系的单态中,张量力等于零。 设第一电子的态用0 (1),0 (1)表示,第二电子用Q⑵,0 (2)表示,在单态的情形,体系总 自旋的木征值s=o,自旋波函数是反对称的,写作 Z=3 (1)0 (2)-/? (1)6Z (2)}/V2(13) 在此态中求张量力势能算符的平均值歹,这计算式只有一项 —6(S・F)「 V=Z*{Vr(r)|^^-2S2]}Z厂 将此式分别计算 (⑷ 一1 龙*(Sw)力=空& (1)0⑵-0 (1)0⑵}{(%]-兀2)(入+%)+®-力)(知-6丿 tl +(z)_^2)(criz 在以上运算式中,九九等只能运算与,4 (1),0 (1);&2x而运算于 g (2),0 (2),再注意到 dxa=0,戈0=a\dya=//? &、0=-ia\&_a=a,&: /3=一0 前式成为: £仪1)0 (2)-0⑴。 (2)}{(“—兀2)[0 (1)0 (2) -以1)° (2)+0 (1)。 (2)—0 (1)0⑵] +(X-力皿⑴"⑵i+"⑴0(2"-以1)a (2)i-jff(l)0 (2)/] +(◎—s)也 (1)0 (2)-" (1)0 (2)+々 (1)0 (2)-0(1加 (2)]}=0 又Z*5^=^*5(S+1)/=z*-0(0+1)/=0 (S是总口旋量子数) 将以上两部分计算结果代入(14),知道V=0o 这种波两数还是反对称的,波函数总数口和 (2)相同,计有°s+l)2s种。 自旋角量了数 2 s指定时,可能的合成自旋波函数的总数目冇: n=2s+1+(2s+l)s+(2s+1)=(2s+1尸 [9]证明,[厅,厅・刃=2,办厅,万是与厅对易的矢量算符。 (证明)待证一式是欠量的对易式,应当分别对它的x,y,z分量进行计算: [ a-a]=2iax5■的兀分量式: 【6,〜+冬q]=2迤)0-azay) 用矩阵式来证明: 2iciy 2a_ 2i< _0 r 冬J—i叮 az 叮 「0 \ 1 0 宀+%-az_ 比+iay -a. 4. _1 0_ 9,.,务y+冬HZ a 0 +ei7 x~iay -a: ax+iay 铁+心 0-1 -i0 >=2i{av(yz-azav}=2i(axa)x 关于ay: 也照此方式计算,因无轮换对称,应分别计算其结果。 另一种证明方式是用矢量式矩阵: 一一一1 ki_ij Ji)-k kT-iJ 冬ax-iay~\ 「azax-iay' ki~ij ]+ij-k 宀+©—冬J 耳+/-az_ I+i)~k ["•厅] 0.・\/八•八\✓•••、/八•八\ -/./)(£+iay)-(i+ij\ax-iay) 2(i+ij)ax-2k{dx+iay) 2k(ax-iay)-2(i-ij)ax —♦—♦—♦—♦ /•••、/八・八\z••・\/八•八、 a+Zj\ax-mv)-(z-IJ)a+za)J —•——* =2/ aJ~axj (azj-ayk)+i(axk-azi) (aj-ayk)+i(axk-azi)-ayi+axj =[0化-azay)T^(azax-axaz)j+(axay-ayax)k]2i=2i(&xa) (j=x,y,z) [10]证明: (1)課01=c()sa+i&jSina (2)严=Cosdicy-OSind 其屮 0=e y矢量与。 对易,()表示()方向的单位矢量。 (证) (j二x,y,z) (1) <^2-2.4 J=J=bj= (1) 硼=工(Q〃)仃i/“n! cosa+ia-sina 2! 4! }7+i{cc— a"a'药~5l (2) n\ : +$),%+氏2= 0: 2+说 ~2比一叭 ■oz 0x~i0; ◎+0;+0; 0' 2-1说-2 ■"■ •* —2. 0 &+0;+0. (6歼 因此厅•&的性质与相同: (厅.@)2=&2@・©)4=&4……(亍・0严=02“ (: ・0)3=&2(: .初……(: ・歹)2曲=&2"(&.©) 代入 (2)式即得到待证明的结果。 [11]证明a(a-A)~A=A~( (证明)这是矢量关系式,可先证明x分量 &入+乞4+&A)-入-人乞) 该式左方=&入+axayAy+axazAz-Ax 八/\/\A =Ax+iaxAy-iayAz-Ax =该式右方。 又这个证明对x,y,z有轮换性,故口J不需重负对y,z运算。 又 八C八八八 =A-6人-b、Q/y-crzcrxAz =i(azAy-ayAz) =等式最右方。 前式中用了对易式[ [12]设〃之二"证明: (4是沿矢量0方向的单位矢量) (1) (1)U+U=\ (2) (证明)设炉,仔任意函数: e2 (2)U+dU=(a-0)0+(^xer)x^cos0+sin0 •(p)探屮dpo J©*U+i//dr=j( 八-ad U七=Q (1)UW=er'd =1 (2)U*lf 9 1— -(f-0 2 —ad八Q 2=cos&+jbVsin— 2 八八000—0 U+aU=(cos—+污・0sin—): (cos污Osin—) 2222 r0rf)_-99^- =cos~—(5+sin~—(5■-&): (: -^)+zsin—cos—[(<7•0): — 90"一一一一 cos~—<7+sin~—+i(0x: )]+sin0(0x(? )] 再利用矢量三重积公式: 7\7\7\7\/\八A 0x(&X: )=(&•: )&—(&)2亍=(&•: ) 代入(3),整理后得待证公式 (2)。 [13]证明不存在非0的二维矩阵,能和三个泡利矩阵都反对易,即设 /1(7+(54=0则A=0 (证明)先设: A ab _0 r + 0 r a b cd 1 0 1 0 c d 0 =0 a+cl c+b h=—r 得 a=-d 因此A的矩阵是 a -h b -a 再代入[A,&y]+=0 a b_ _0-/•■ + 「0-f _ab_ -b -a i0 _i0 -b-a =0 2bi 0 0 2bi =0 即b=0 再代入[入&1+=0 于是A只能是形式 a 0■ _1 o- ri o- a0 + 0 -a 0 —L Lo -1 0-a △ A 0-a 2a0 即=0即a=0 _02a_ ■■ 于是,满足三个对易关系的二维矩整,只能是10,而定理得证。 00 ■■ 另一方法,用欠量矩阵- ab~\八八 仍设4=代入Ad+Ad ii—>" ki-ij + ki-ij ab =0 亍+门-k J^ij~k_ cd ab cd 作简化: cd (b+c)i+(/? —c)j+2ak(a+d)i-i{a+d)j (a+d)i+i(a+d)j(b+c)i+(b-c)j-2dk从任何两个元素都能得到一组解 a=b=c=d=0 [14]证切找不到一种表象,在其中 (1)三个泡利矩阵均为实矩阵或 (2)二个是纯虚矩阵,另一个为实矩阵。 (证明)根据角动量定义: AAAC•八 w=2®吓: -吓y=2icrx吓厂65=2® 又根据第八章问题 (1)的结论 axcryo'z=1 不论采取任何表象上述两组式了满足,从 (1)看出若有两个算符在角动量表象中纯虚数(每 bi di A 5= 元索为虚)如<7v,dv,而戈为实矩阵,则可设 atblic'icTi ,a,b……都是实数。
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