高考数学理考前刷题大卷练含新题有解析 13Word文档格式.docx
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C.a,b不都能被5整除D.a能被5整除
B
由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立从而进行推证.命题“a,b∈N,如果ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除.”的否定是“a,b∈N,如果ab可被5整除,那么a,b都不能被5整除”,故选B.
5.[2018·
全国卷Ⅱ]从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( )
A.0.6B.0.5
C.0.4D.0.3
设2名男同学为a,b,3名女同学为A,B,C,从中选出两人的情形有(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10种,而都是女同学的情形有(A,B),(A,C),(B,C),共3种,故所求概率为=0.3.故选D.
6.[2019·
湖北武汉高三调研]一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:
“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;
乙说“我没有作案,是丙偷的”;
丙说:
“甲、乙两人中有一人是小偷”;
丁说:
“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是( )
A.甲 B.乙
C.丙D.丁
由题可知,乙、丁两人的观点一致,即同真同假,假设乙、丁说的是真话,那么甲、丙两人说的是假话,由乙说的是真话,推出丙是罪犯,由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯,显然两个结论相互矛盾,所以乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话,由甲、丙供述可得,乙是罪犯.
7.已知甲、乙两台自动车床生产同种标准件,X表示甲车床生产1000件产品中的次品数,Y表示乙车床生产1000件产品中的次品数,经考察一段时间,X,Y的分布列分别是
X
1
2
3
P
0.7
0.1
Y
0.5
0.3
0.2
据此判断( )
A.甲比乙生产的产品质量好
B.乙比甲生产的产品质量好
C.甲与乙生产的产品质量相同
D.无法判断
A
E(X)=0×
0.7+1×
0.1+2×
0.1+3×
0.1=0.6,E(Y)=0×
0.5+1×
0.3+2×
0.2=0.7.由于E(Y)>
E(X),故甲比乙生产的产品质量好.
8.[2019·
西安质检]已知随机变量ξ的分布列如下:
ξ
a
b
c
其中a,b,c成等差数列,则函数f(x)=x2+2x+ξ有且只有一个零点的概率为( )
A.B.
C.D.
由题意知a,b,c∈[0,1],且解得b=,又函数f(x)=x2+2x+ξ有且只有一个零点,故对于方程x2+2x+ξ=0,Δ=4-4ξ=0,解得ξ=1,所以P(ξ=1)=.
9.[2019·
昆明调研]如图所示的程序框图来源于中国古代数学著作《孙子算经》,其中定义[x]表示不超过x的最大整数,例如[0.6]=0,[2]=2,[3.6]=3.执行该程序框图,则输出的a=( )
A.9B.16
C.23D.30
执行程序框图,k=1,a=9,9-3·
=0≠2;
k=2,a=16,16-3·
=1≠2;
k=3,a=23,23-3·
=2,23-5·
=3,满足条件,退出循环.则输出的a=23.故选C.
10.[2019·
河南濮阳模拟]执行如图所示的程序框图(其中b=cmod10表示b等于c除以10的余数),则输出的b为( )
A.2B.4
C.6D.8
a=2,b=8,n=1;
c=16,a=8,b=6,n=2;
c=48,a=6,b=8,n=3;
c=48,a=8,b=8,n=4;
c=64,a=8,b=4,n=5;
c=32,a=4,b=2,n=6;
c=8,a=2,b=8,n=7,…,易知该程序框图中a,b的值以6为周期.又因为2017=6×
336+1,所以当n=2017时,b=8.故选D.
11.[2019·
贵阳监测]在某中学举行的环保知识竞赛中,将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组,绘制如图所示的频率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组,已知第二小组的频数是40,则成绩在80~100分的学生人数是( )
A.15B.18
C.20D.25
根据频率分布直方图,得第二小组的频率是0.04×
10=0.4,∵频数是40,∴样本容量是=100,又成绩在80~100分的频率是(0.01+0.005)×
10=0.15,∴成绩在80~100分的学生人数是100×
0.15=15.故选A.
12.在面积为S(S>
0)的平行四边形ABCD内任取一点M,则△MCD的面积小于的概率为( )
A.B.
C.D.
设△MCD边CD上的高为ME,ME的反向延长线交AB于点F,当△MCD的面积等于时,CD×
ME=CD×
EF,即ME=EF,此时过点M作GH∥AB,且分别交AD,BC于点G,H,则满足△MCD的面积小于的点M在▱CDGH中,由几何概型的知识得到△MCD的面积小于的概率P==,故选C.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.[2019·
西安八校联考]若(a,b,∈R)与(2-i)2互为共轭复数,则a-b=________.
-7
==b-ai,(2-i)2=3-4i,因为这两个复数互为共轭复数,所以b=3,a=-4,所以a-b=-4-3=-7.
14.观察下列等式
1-=,
1-+-=+,
1-+-+-=++,
…
据此规律,第n个等式可为____________________________.
1-+-+…+-=++…+
规律为等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1,2,…,2n,分子为1,奇数项为正,偶数项为负,即为1-+-+…+-;
等式右边共有n项且分母分别为n+1,n+2,…,2n,分子为1,即为++…+.所以第n个等式可为1-+-+…+-=++…+.
15.[2019·
湖北荆州中学、襄阳四中、五中等八校联考]袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球,不放回地摸出两球,设“第一次摸得红球”为事件A,“摸得的两球同色”为事件B,则概率P(B|A)=________.
由P(A)=,P(AB)=×
=,由条件概率得P(B|A)==.
16.[2019·
济南模拟]已知离散型随机变量X的分布列如表所示,若E(X)=0,D(X)=1,则P(X<
1)=________.
-1
∵E(X)=0,D(X)=1,
∴又a,b,c∈[0,1],∴a=,b=,c=,P(X<
1)=P(X=-1)+P(X=0)=+=.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
有4个不同的小球,四个不同的盒子,把小球全部放入盒内.
(1)恰有一个盒内有2个小球,有多少种放法?
(2)恰有两个盒内不放小球,有多少种放法?
(1)可分三个步骤完成这件事情:
第一步,从4个小球中取两个小球,有C种方法;
第二步,将取出的两个小球放入一个盒内,有C种方法;
第三步,在剩下的三个盒子中选两个放剩下的两个小球,有A种方法;
由分步计数原理,共有C·
C·
A=144种方法.
(2)完成这件事情有两类办法:
第一类,一个盒子放3个小球,一个盒子放1个小球,两个盒子不放小球有C·
C=48种方法;
第二类,有两个盒子各放2个小球,另两个盒子不放小球有C·
C=36种方法;
由分类计数原理,共有48+36=84种放法.
18.(本小题满分12分)
已知m>
0,a,b∈R,求证:
2≤.
证明:
∵m>
0,∴1+m>
0.
所以要证原不等式成立,只需证(a+mb)2≤(1+m)·
(a2+mb2),即证m(a2-2ab+b2)≥0,即证(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0显然成立,故原不等式得证.
19.(本小题满分12分)数列{an}中,a1=1,a2=,且an+1=(n≥2),求a3,a4,猜想an的表达式,并用数学归纳法证明你的猜想.
因为a1=1,a2=,且an+1=(n≥2),所以a3===,同理可求得a4=,
归纳猜想,an=.
下面用数学归纳法证明猜想正确.
(1)当n=1时易知猜想正确.
(2)假设当n=k(k∈N*)时猜想正确,即ak=,那么当n=k+1时,
ak+1=======.
即当n=k+1时,猜想也正确.
由
(1)
(2)可知,猜想对任意正整数都正确.
20.(本小题满分12分)
某人在甲、乙两社区各经营一个小士多店,他记录了连续25天的营业额(单位:
拾元),结果用茎叶图表示如下:
(1)根据以上茎叶图,对甲、乙两店的营业额作比较,写出两个统计结论;
(2)若从两店营业额超过3300元的天中随机抽取4天作进一步分析,设抽到甲店的天数为X,求X的均值.
(1)由茎叶图可以得到如下结论:
①乙店营业额的平均数大于甲店营业额的平均数.
②甲店营业额较乙店营业额更分散.(或:
乙店营业额较甲店营业额更集中(稳定).甲店营业额分散程度比乙店营业额的分散程度更大).
③甲店营业额的中位数为3070元,乙店营业额的中位数为3180元.
④乙店营业额基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近).甲店营业额除一个特殊值(3520)外,也大致对称,其分布较均匀.
(2)由茎叶图可知,两店营业额超过3300元的共有10天,其中,甲店有4天,乙店有6天.由题意得X可能的取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.
于是,X的概率分布列如下:
4
故X的均值E(X)=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
=.
21.(本小题满分12分)
[2019·
广西联考]某公司为了准确地把握市场,做好产品生产计划,对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销售量y(单位:
万件)之间的关系如表:
x
y
12
28
42
56
(1)在图中画出表中数据的散点图;
(2)根据
(1)中的散点图拟合y与x的回归模型,并用相关系数加以说明;
(3)建立y关于x的回归方程,预测第5年的销售量约为多少?
参考数据:
=32.7,=2.24,iyi=418.
参考公式:
相关系数r=,回归方程=+x的斜率和截距的最小二乘估计分别为
==,=-.
(1)作出的散点图如图:
(2)由
(1)散点图可知,各点大致分布在一条直线附近,由题中所给表格及参考数据得,
=,=,iyi=418,≈32.7,=30,
(xi-)(yi-)=iyi-4=418-4×
×
=73,
===≈2.24,
∴r==≈0.9966.
∵y与x的相关系数近似为0.9966,说明y与x的线性相关程度相当强,
∴可以用线性回归模型拟合y与x的关系.
(3)由
(2)知=,=,iyi=418,=30,
∴==,=-=-×
=-2.
故y关于x的回归直线方程为=x-2,
当x=5时,=×
5-2=71,
∴预测第5年的销售量约为71万件.
22.(本小题满分12分)
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:
m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.7)
频数
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
13
10
16
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?
(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(1)如图所示.
(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×
0.1+1×
0.1+2.6×
0.05=0.48,
因此该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
1=×
(0.05×
1+0.15×
3+0.25×
2+0.35×
4+0.45×
9+0.55×
26+0.65×
5)=0.48.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
2=×
5+0.25×
13+0.35×
10+0.45×
16+0.55×
5)=0.35.
估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×
365=47.45(m3).
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