人教A版高中数学必修第二册第七章711数系的扩充和复数的概念 教学设计文档格式.docx
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(3)若复数(a+1)+(a2-1)i(a∈R)是实数,则a=____.
题型一 复数的有关概念
例1 给出下列四个命题:
①两个复数不能比较大小;
②若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;
③若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应;
④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集.
其中真命题的个数是____.
[跟踪训练1] 下列命题中:
①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;
②若a,b∈R且a>
b,则a+i>
b+i;
③若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±
1;
④i的平方等于-1.
其中正确命题的序号是( )
A.①B.②
C.③D.④
题型二 复数的分类
例2 当实数m为何值时,复数z=
+(m2-2m)i为:
(1)实数?
(2)虚数?
(3)纯虚数?
[条件探究] 是否存在实数m,使z=(m2-2m)+
i是纯虚数?
[跟踪训练2] 已知m∈R,复数z=
+(m2+2m-3)i,当m为何值时,
(1)z为实数?
(2)z为虚数?
(3)z为纯虚数?
题型三 复数相等的应用
例3 已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.
[跟踪训练3] 已知A={1,2,a2-3a-1+(a2-5a-6)i},B={-1,3},A∩B={3},求实数a的值.
1.“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.以3i-
的虚部为实部,以3i2+
i的实部为虚部的复数是( )
A.3-3iB.3+i
C.-
+
iD.
i
3.(多选)下列几个命题中正确的是( )
A.若x是实数,则x是复数
B.若z是虚数,则z不是实数
C.复数a+i与b+3i(a,b∈R)不可能相等
D.-1没有平方根
4.设复数z=
+(m2+2m-15)i为实数,则实数m的值是____.
5.如果log
(m+n)-(m2-3m)i≥-1,求自然数m,n的值.
一、选择题
1.给出下列三个命题:
①若z∈C,则z2≥0;
②2i-1的虚部是2i;
③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
2.如果C,R,I分别表示复数集,实数集和纯虚数集,其中C为全集,则( )
A.C=R∪IB.R∪I={0}
C.R=C∩ID.R∩I=∅
3.给出下列命题:
①若z=a+bi(a,b∈R),则当且仅当a=0且b≠0时,z为纯虚数;
②若复数z满足z2∈R,则z∈R;
③若z
+z
=0,则z1=z2=0.
其中正确命题的个数为( )
4.(多选)若z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i(m,n∈R),且z1=z2,则m+n的值可以是( )
A.4B.2
C.0D.-2
5.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则实数a的取值范围是( )
A.-1或3B.{a|a>
3或a<
-1}
C.{a|a>
-3或a<
1}D.{a|a>
3或a=-1}
二、填空题
6.设i为虚数单位,若复数z=(m2+2m-3)+(m-1)i是纯虚数,则实数m=____.
7.已知(m2+7m+10)+(m2-5m-14)i=0,则实数m=____.
8.给出下列命题:
①若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;
②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则x=±
③两个虚数不能比较大小.
其中正确命题的序号是____.
三、解答题
9.已知复数z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i,则当实数m为何值时,复数z:
(1)是实数;
(2)是虚数;
(3)是纯虚数.
1.已知关于x的方程(x2+kx+2)+(2x+k)i=0有实根x0,求x0以及实数k的值.
2.定义运算
=ad-bc,若(x+y)+(x+3)i=
,求实数x,y的值.
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.( )
答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√
答案
(1)0 0
(2)0,1+
(3)±
1
[解析] ①中当这两个复数都是实数时,可以比较大小;
②由于x,y都是复数,故x+yi不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件;
③若a=0,则ai不是纯虚数;
④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知,所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集.
[答案] 0
数集从实数集扩充到复数集后,某些结论不再成立.如:
两数大小的比较,某数的平方是非负数等.但i与实数的运算及运算律仍成立.
[跟踪训练1] 下列命题中:
答案 D
解析 对于复数a+bi(a,b∈R),当a=0且b≠0时为纯虚数.在①中,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,故①错误;
在②中,两个虚数不能比较大小,故②错误;
在③中,若x=-1,x2+3x+2≠0不成立,故③错误;
④正确.
[解]
(1)当
即m=2时,复数z是实数.
(2)当
即m≠0且m≠2时,复数z是虚数.
(3)当
即m=-3时,复数z是纯虚数.
[条件探究] 是否存在实数m,使z=(m2-2m)+
解 由z=(m2-2m)+
i是纯虚数,
得
解得m∈∅.
即不存在实数m,使z=(m2-2m)+
i是纯虚数.
利用复数的分类求参数的值或范围的步骤
(1)判定复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,实部与虚部分别为哪些;
(2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题;
(3)解相应的方程(组)或不等式(组);
(4)求出参数的值或范围.
[跟踪训练2] 已知m∈R,复数z=
解
(1)要使z为实数,需满足m2+2m-3=0,且
有意义,即m-1≠0,解得m=-3.
(2)要使z为虚数,需满足m2+2m-3≠0,且
有意义,即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.
(3)要使z为纯虚数,需满足
=0,且m2+2m-3≠0,解得m=0或m=-2.
[解] ∵M∪P=P,∴M⊆P,
即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,
解得m=1.
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,
解得m=2.
∴实数m的值为1或2.
复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等.复数问题实数化多用来求参数,其步骤是:
分别确定两个复数的实部和虚部,利用实部与实部、虚部与虚部分别相等,列方程组并求解.
[跟踪训练3] 已知A={1,2,a2-3a-1+(a2-5a-6)i},B={-1,3},A∩B={3},求实数a的值.
解 由题意知,a2-3a-1+(a2-5a-6)i=3(a∈R),
∴
解得
∴a=-1.
故实数a的值为-1.
答案 A
解析 因为复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数⇔a=0且b≠0,所以“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件.
解析 3i-
的虚部为3,3i2+
i的实部为-3,所以所求复数为3-3i.
答案 ABC
解析 因为实数集是复数集的真子集,所以A正确;
若z是虚数,则z一定不是实数,B正确;
若两个复数的虚部不相等,则这两个复数不可能相等,C正确;
因为-1的平方根为±
i,所以D错误.
答案 3
解析 依题意有
解得m=3.
解 ∵log
(m+n)-(m2-3m)i≥-1,
∵m,n∈N,∴m=0,n=1或n=2.
答案 B
解析 i∈C,i2=-1<0,故①错误;
2i-1的虚部为2,故②错误;
2i的实部是0,③正确.
解析 由Venn图可知D正确.
解析 由纯虚数的概念可知①正确;
②中,若z2=-1,满足z2∈R,而z=±
i,不满足z∈R,故②不正确;
③中,若z1=1,z2=i,满足z
=0,但z1≠z2≠0,故③不正确.故选B.
答案 AC
解析 由z1=z2,得n2-3m-1=-3,且n2-m-6=-4,解得m=2,n=±
2,所以m+n=4或0,故选AC.
解析 ∵复数z的实部大于虚部,∴a2>
2a+3,解得a>
-1.故选B.
答案 -3
解得m=-3.
答案 -2
解析 ∵m∈R,∴
解得m=-2.
答案 ③
解析 当z1=1,z2=0,z3=i时满足条件,而结论不成立,故①错误;
若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则
即x=1,故②错误;
两个虚数不能比较大小,故③正确.
解 z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i.
(1)令m2-m-6=0,解得m=3或m=-2,
所以当m=3或m=-2时,z是实数.
(2)令m2-m-6≠0,解得m≠-2且m≠3,
所以当m≠-2且m≠3时,z是虚数.
(3)由
解得m=-1,所以当m=-1时,z是纯虚数.
解 因为x=x0是方程的实根,代入方程,得
(x
+kx0+2)+(2x0+k)i=0.
由复数相等,得
或
所以方程的实根为x0=
或x0=-
,
相应的k值为-2
或2
.
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