3新GRE数学手册Word格式文档下载.docx
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∷
equals,as(proportion)
squarerootof
cuberootof
∥
parallelto
⊥
perpendicularto,atrightangleswith
∠
angle
∟
rightangle
º
degree
′
minute
″
second
⊙
circle
A⁀B
arcAB
e
thebaseofnaturallogarithms,approx.2.71828
x!
factorialx,x(x-1)(x-2)---1
lognx
logxtothebasen
π
pi
lnx
logxtothebasee(naturallogarithm)
lgx
logxtothebase10(commonlogarithm)
|x|
theabsolutevalueofx
数的概念和特性
*几个GRE最常用的概念:
偶数(evennumber):
能被2整除的整数;
奇数(oddnumber):
不能被2整除的数;
质数(primenumber):
大于1的整数,除了1和它本身外,不能被其他正整数所整除的,称为质数。
也叫素数;
(学过数论的同学请注意,这里的质数概念不同于数论中的概念,GRE里的质数不包括负整数,为自然数)
合数(compositenumbers):
大于1的整数,除了1和它本身外,不能被其数所整除的自然数,称为合数。
倒数(reciprocal):
一个不为零的数为x,则它的倒数为1/x。
*最重要的性质:
奇偶性:
偶加偶为偶,偶减偶为偶,偶乘偶为偶;
奇加奇为偶,奇减奇为偶,奇乘奇为奇;
奇加偶为偶,奇减偶为偶,奇乘偶为偶。
等差数列
GRE数学中绝大部分是等差数列,
,形式主要为应用题。
题目会说三年稳步增长第一年的产量是x,第三年的产量是y,问你的二年的产量。
数理统计
*众数(mode)
一组数中出现频率最高的一个或几个数。
例:
modeof1,1,1,2,3,0,0,0,5is1and0。
*值域(range)
一组数中最大和最小数之差。
rangeof1,1,2,3,5is5-1=4
*平均数(mean)算术平均数(arithmeticmean)
*几何平均数(geometricmean)
n个数之积的n次方根。
*中数(median)
对一组数进行排序后,正中间的一个数(数字个数为奇数),或者中间两个数的平均数(数字个数为偶数)。
medianof1,7,4,9,2,5,8is5medianof1,7,4,9,2,5is(5+7)/2=6
ps:
GRE经常考察众数与数的个数的积和这组数的和的大小。
*标准偏差(standarderror)
一组数中,每个数与平均数的差的绝对值之和,再除以这组数的个数n
standarderrorof0,2,5,7,6is:
(|0-4|+|2-4|+|5-4|+|7-4|+|6-4|)/5=2.4
*standardvariation(方差)
一组数中,每个数与平均数之差的平方和,再除以这组数的个数n
standardvariationof0,2,5,7,6is:
_22222_
|_(0-4)+(2-4)+(5-4)+(7-4)+(6-4)_|/5=6.8
*标准差(standarddeviation)
standarddeviation等于standardvariation的平方根
ps:
GRE经常让你比较众数或中数与数的个数的乘积和这组数的和的大小,可以举几个极限情况的例子验证一下。
还有一种题型是给你两组数的平均值,方差,比较他们的中数大小;
要注意中数的大小和那两个值是没有必然联系的,无法比较。
平面几何
1.普通几何:
GRE经常考察组和图形,例如两个相等的圆经过对方圆心,求外部周长;
一个正三角形中去掉三个以各顶点为圆心,周长一般为半径的圆的以后的部分的面积。
只要熟记下列公式局可以解决:
*平面图形的周长和面积:
Perimeter
Area
Triangle
三边之和
(底×
高)/2
Square
边长×
4
边长的平方
Rectangle
(长+宽)×
2
长×
宽
Parallelogram
底×
高
Trapezoid(梯形)
四边之和
(上底+下底)×
高/2
Rhombus(菱形)
两条对角线之积的1/2
Circle
2πr=πd
πr2
*经常考的还有圆中的弦和半径以及垂直于弦的
线段所组成的三角形各边间的关系,如右图。
2.解析几何:
常考的有:
*两直线垂直的条件:
直线
和
垂直的条件,
。
*平面上两点中点坐标及距离:
平面直角坐标系中,A(x1,y1)和B(x2,y2)是任意两点,C(x,y)是线段AB的中点,则x=(x1+x2)/2,,y=(y1+y2)/2,线段AB两端点间的距离=
立体几何
GRE数学中的立体几何只涉及四面体,长方体,正方体,圆柱体,圆锥(不常考)的面积和体积。
*立体图形的表面积和体积
Volume
SurfaceArea
RectangularPrism
宽×
2(长×
宽+长×
高+宽×
高)
Cube
棱长的立方
6×
棱长×
棱长
RightCircularCylinder
πr2h
2πrh(侧)+2πr2(底)
Sphere
4πr3/3
4πr2
RightCircularCone
πr2h/3
lr/2(l为母线)
概率(Probability)
某一事件在相同的条件下可能发生也可能不发生,这类事件成为随机事件(randomoccurrence)。
概率就是用来表示随机事件发生的可能性大小的一个量。
很自然的把必然发生的概率定为1,并把不可能发生的事件的概率定为0,而一般随机事件的概率是介于0和1之间的一个数。
等概基本事件组
满住下列二条性质的n个随机事件A1,A2,─An被称为“等概基本事件组”:
A1,A2,─An
发生的机会相等;
在任一实验中,A1,A2,─An中只有一个发生。
等概基本事件组中的任一随机事件Ai(i=1,2,─,n)称为“基本事件”。
如果事件B是由等概念基本事件组A1,A2,─An的m个基本事件构成,则事件B的概率P(B)=m/n,这种讨论事件概率的模型称为“古典概型”。
排列组合结合概率中的“古典概率”就可以解决几乎所有的GRE数学概率问题,但要灵活应用,而且很多题目看起来像概率题实际上它就是各抽屉原理(6个球放到5个抽屉里则至少有一个抽屉里有两个或更多的球),他就让你比较和1的大小,当然是相等。
?
加上条件“每个抽屉都要放一个球”。
正态分布
*高斯分布(Gaussian)(正态分布)的概率密度函数为一钟型曲线,即
a为均值,
为标准方差,曲线关于x=a的虚线对称,
决定了曲线的“胖瘦”,形状为:
图1
*高斯型随机变量的概率分布函数,是将其密度函数取积分,即
表示随机变量A的取值小于等于x的概率。
比如A的取值小于等于均值a的概率是50%。
曲线为
补充:
关于8月6日新G数学对正态分布的考题,参见
里面更详细地给出正态分布的知识点。
GRE常用数学公式和结论
1.GRE数学常用公式
(a+b)(a-b)=a²
-b²
(a+b)²
=a²
+2ab+b²
(a-b)²
-2ab+b²
(a+b)³
=a³
+3a²
b+3ab²
+b³
(a-b)³
-3a²
-b³
一元二次方程ax²
+bx+c=0的解:
x₁,₂=(-b±
(b²
-4ac)(1/2))/2a;
根关系x1+x2=-b/a;
x1*x2=c/a.
*SimpleInterest单利:
Interest=本金Principal时间Time利率Rate。
*CompoundInterest复利:
A=P(1+R)n;
A为本利和,P为本金,R为利率,n为期数。
*Discount=CostRateofDiscount*Distance=SpeedTime
*PythagoreanTheorem(勾股定理):
直角三角形(righttriangle)两直角边(legs)的平方和等于斜边(hypotenuse)的平方。
*多边形的内角和:
(n-2)×
180°
,总对角线数为n(n-3)/2条,从每一个顶点引出的对角线数为(n-3)条;
式中:
n为多边形的边数
*平面直角坐标系中,A(x1,y1)和B(x2,y2)是任意两点,C(x,y)是线段AB的中点,则x=(x1+x2)/2,,y=(y1+y2)/2,线段AB两端点间的距离=
Trapezoid
Rhombus
2.GRE数学常用结论
2.1代数与几何部分
1.正整数n有奇数个因子,则n为完全平方数
2.因子个数特性:
因子个数求解公式:
将整数n分解为质因子乘积形式,然后将每个质因子的幂分别加一相乘.即n=xa*yb*zc,则因子个数=(a+1)(b+1)(c+1)(含1和自身)。
Eg.200=2*2*2*5*5,因子个数=(3+1)(2+1)=12个
3.整除特性:
能被3整除的数,各位数字之和能被3整除.
最后两位数构成的数,能够被4整除,该数可被4整除.
最末位5或0,则该数能被5整除.
最后三位数构成的数,能够被8整除,该数可被8整除.
能被9整除的数,各位数的和能被9整除.
4.多边形内角和=(n-2)x180
5.菱形面积=1/2x对角线乘积
6.欧拉公式:
边数=面数+顶点数-2
8.三角形余玄定理
C2=A2+B2-2ABCOSβ,β为AB两条线间的夹角
9.正弦定理:
A/SinA=B/SinB=C/SinC=2R(A,B,C是各边及所对应的角,R是三角形外接圆的半径)
10.Y=k1X+B1,Y=k2X+B2,两线垂直的条件为K1K2=-1
11.N的阶乘公式:
N!
=1*2*3*....(N-2)*(N-1)*N且规定0!
=11!
=1
Eg:
8!
=1*2*3*4*5*6*7*8
12.熟悉一下根号2、3、5的值
sqrt
(2)=1.414sqrt(3)=1.732sqrt(5)=2.236
13....2/3asmanyAasB:
A=2/3*B
...twiceasmany...AasB:
A=2*B
14.华氏温度与摄氏温度的换算
换算公式:
(F-32)*5/9=C
PS.常用计量单位的换算要知道。
-----------------------------------------------------------
例子:
1.满足x^2+y^2<
=100的整数对(x,y)有多少?
key:
按照X的可能情况顺序写出:
X=Y=
11-9
21-9
31-9
41-9
51-8
61-8
71-7
81-6
91-4=>
Myanswer:
加起来=69
2.0.123456789101112….,这个小数无限不循环地把所有整数都列出来.请问小数点后第100位的数字是多少?
Key:
位数
112345678910
101112………………………1920
2021……………………………2920
30………………………………3920
40………………………………4920
50515253545556――――――第101位=5?
7:
2904x=y2(y的平方),x、y都是正整数,求x的最小值。
因为:
X^2×
Y^2×
Z^2=(X×
Y×
Z)^2
所以把2904除呀除=2×
2×
3×
11×
11=2^2×
11^2×
6再乘一个6就OK了
2^2×
6=(2×
6)^2=132^2(Key:
最小的x=6)
2.2概率论部分
1.排列(permutation):
从N个东东(有区别)中不重复(即取完后不再取)取出M个并作排列,共有几种方法:
P(M,N)=N!
/(N-M)!
例如:
从1-5中取出3个数不重复,问能组成几个三位数?
解答:
P(3,5)=5!
/(5-3)!
=5!
/2!
=5*4*3*2*1/(2*1)=5*4*3=60
也可以这样想从五个数中取出三个放三个固定位置
那么第一个位置可以放五个数中任一一个,所以有5种可能选法,那么第二个位置余下四个数中任一个,....4.....,那么第三个位置……3……
所以总共的排列为5*4*3=60。
如果可以重复选(即取完后可再取),总共的排列是5*5*5=125
2.组合(combination):
从N个东东(可以无区别)中不重复(即取完后不再取)取出M个(不作排列,即不管取得次序先后),共有几种方法
C(M,N)=P(M,N)/P(M,M)=N!
/(M-N)!
/M!
C(3,5)=P(3,5)/P(3,3)=5!
/3!
=5*4*3/(1*2*3)=10
可以这样理解:
组合与排列的区别就在于取出的M个作不作排列-即M的全排列P(M,M)=M!
,
那末他们之间关系就有先做组合再作M的全排列就得到了排列
所以C(M,N)*P(M,M)=P(M,N),由此可得组合公式
性质:
C(M,N)=C((N-M),N)
即C(3,5)=C((5-2),5)=C(2,5)=5!
=10
3.概率
概率的定义:
P=满足某个条件的所有可能情况数量/所有可能情况数量
概率的性质:
0<
=P<
1)不相容事件的概率:
a,b为两两不相容的事件(即发生了a,就不会发生b)
P(a或b)=P(a)+P(b)
P(a且b)=P(a)+P(b)=0(A,B不能同时发生)
2)对立事件的概率:
对立事件就是a+b就是全部情况,所以不是发生a,就是b发生,但是,有一点a,b不能同时发生.例如:
a:
一件事不发生
b:
一件事发生,则A,B是对立事件
显然:
P(一件事发生的概率或一件事不发生的概率)=1(必然事件的概率为1)
则一件事发生的概率=1-一件事不发生的概率...........公式1
理解抽象的概率最好用集合的概念来讲,否则结合具体体好理解写
a,b不是不相容事件(也就是说a,b有公共部分)分别用集合A和集合B来表示
即集合A与集合B有交集,表示为A*B(a发生且b发生)
集合A与集合B的并集,表示为AUB(a发生或b发生)
则:
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A*B).................公式2
3)条件概率:
考虑的是事件A已发生的条件下事件B发生的概率
定义:
设A,B是两个事件,且P(A)>
0,称
P(B|A)=P(A*B)/P(A)....................公式3
为事件A已发生的条件下事件B发生的概率
理解:
就是P(A与B的交集)/P(A集合)
理解:
“事件A已发生的条件下事件B发生的概率”,很明显,说这句话的时候,A,B都发生了,求的是A,B同时发生的情况占A发生时的比例,就是A与B同时发生与A发生的概率比。
全概率公式
某一个事件A的发生总是在一定的其它条件下如B,C,D发生的,也就是说A的概率其实就是在,B,C,D发生的条件下A发生的概率之和.A在B发生时有一个条件概率,在C发生时有一个条件概率,在D发生时有一个条件概率,如果B,C,D包括了A发生的所有的条件.那么,A的概率不就是这几个条件概率之和么.
P(A)=P(A|B)+P(A|C)+P(A|D)
4)独立事件与概率
两个事件独立也就是说,A,B的发生与否互不影响,A是A,B是B,用公式表示就是P(A|B)=P(A)所以说两个事件同时发生的概率就是:
P(AUB)=P(A)×
P(B)................公式4
----------------------------------------------------------------
例子:
1:
一道概率题:
就是100以内取两个数是6的整倍数的概率.
解答:
100以内的倍数有6,12,18,...96共计16个。
所以从中取出两个共有16*15种方法,从1-100中取出两个数的方法有99*100种,所以P=(16*15)/(99*100)=12/505=0.024
2:
1-350inclusive中,在100-299inclusive之间以3,4,5,6,7,8,9结尾的数的概率.
因为100-299中以3,4,5,6,7,8,9结尾的数各有20个,所以Key:
(2*10*7)/350=0.4
3.在1-350中(inclusive),337-350之间整数占的百分比
(359-337+1)/350=4%
4.在E发生的情况下,F发生的概率为0.45,问E不发生的情况下,F发生的概率与0.55比大小
(因为P(F)=P(F|E)+P(F|!
E),
如果P(F)=1,那么P(F|!
E)=0.55;
如果0.45=<
P(F)<
1,那么0=<
P(F|!
E)<
0.55)
看了原来的答案,我差点要不考G了.无论柳大侠的推理还是那个哥哥的图,都太过分了吧?
其实用全概率公式是很好解决这个问题的,还是先用白话文说一遍吧:
某一个事件A的发生总是在一定的其它条件下如B,C,D发生的,也就是说A的概率其实就是在,B,C,D发生的条件下A发生的概率之和.A在B发生时有一个条件概率,在C发生时有一个条件概率,在D发生时有一个条件概率,如果B,C,D包括了A发生的所有的条件.那么,A的概率不就是这几个条件概率之和么.
好了,看看这个题目就明白了.F发生时,E要么发生,要么不发生,OK?
所以,P(F)=P(F|E)+P(F|!
E)感觉上也没错吧?
给了P(F|E)=0.45,所以
P(F|!
E)=P(F)-P(F|E)=P(F)-0.45
E)=0.55
0.55
2.3统计学部分
1.mode(众数)
一堆数中出现频率最高的一个或几个数
e.g.modeof1,1,1,2,3,0,0,0,5is1and0
2.range(值域)
一堆数中最大和最小数之差,所以统计学上又称之为极差.(两极的差)
e.g.rangeof1,1,2,3,5is5-1=4
3.mean(平均数)
arithmaticmean(算术平均数):
n个数之和再除以n
geometricmean(几何平均数):
n个数之积的n次方根
4.median(中数)
将一堆数排序之后,正中间的一个数(奇数个数字),
或者中间两个数的平均数(偶数个数字)
e.g.medianof1,7,4,9,2,2,2,2,2,5,8is2
medianof1,7,4,9,2,5is(5+7)/2=6
5.standarderror(标准偏差)
一堆数中,每个数与平均数的差的绝对值之和,除以这堆数的个数(n)
e.g.standarderrorof0,2,5,7,6is:
(|0-4|+|2-4|+|5-4|+|7-4|+|6-4|)/5=2.4
6.standardvariation
一堆数中,每个数与平均数之差的平方之和,再除以n
标准方差的公式:
d2=[(a1-a)2+(a2-a)2+....+(an-a)2]/n
e.g.standardvariationof0,2,5,7,6is:
average=4
((0-4)2+(2-4)2+(5-4)2+(7-4)2+(6-4)2)/5=6.8
7.standarddeviation标准偏差
就是standardvariation的平方根d
------------------------------
8.thecalculationofquartile(四分位数的计算)(此处有点乱,具体参见ETS的知识点说明文档)
(参见连接
Quartile(四分位数):
第0个Quartile实际为通常所说的最小值(MINimum);
第1个Quartile(En:
1stQuartile);
第2个Quartile实际为通常所说的中分位数(中数、二分位分、中位数:
Median);
第3个Quartile(En:
3rdQuartile);
第4个Quartile实际为通常所说的最大值(MAXimum
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