控制工程基础第八章部分.docx
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控制工程基础第八章部分
8.5 二阶系统频域与时域性能指标比较
闭环系统的性能(稳定性、快速性和准确性),可用时域性能指标、开环或闭
环频域性能指标来描述。
对于一般高阶系统,比较时域和频域性能指标十分困难,
但对于二阶系统这不难做到。
二阶系统框图如图 8-5-1 所示。
R(s)
+
-
wn
s(s + 2ζ wn )
Y (s)
图8-5-1 二阶闭环系统框图
其开环传递函数可表达为
G(s) =
2
wn
s(s + 2ζ wn )
或其表达为
G(s) = =
K
s(τ s +1)
式中
K = KV = wn / (2ζ ) - 开环增益(即速度消差系数)
τ =1/ ( 2ζ wn ) - 时间常数。
结构参数换算关系为
wn =K / τ
ζ =
1
2 Kτ
闭环传递函数可表达为
T (s) =
wn
s2 + 2ζ wns + wn
二阶系统有两结构参数:
固有频率 wn 和阻尼比 ζ (或开环增益 K 和时间常
数τ ),其性能完全取决于这两结构参数,因此无论时域或频域性能指标均且仅
与这两参数有关。
以下将对描述二阶系统稳定性、快速性、准确性的闭环频域性
能指标,开环频域性能指标,时域性能指标与结构参数 wn 和 ζ 之间的关系进行
总结和比较。
1.二阶系统的闭环频域性能指标
二阶系统的闭环频率特性曲线如图 8-5-2 所示。
20 log M r
0
-3
0
wr
wn w
图8-5-2 二阶系统的闭环频率特性曲线
(1)谐振峰值 M r ——相对稳定性指标(阻尼比为 0 ≤ ζ ≤ 2 / 2 的二阶欠阻尼
系统)。
M r 最小闭环系统,相对稳定性好。
当二阶欠阻尼系统的阻尼比 0 ≤ ζ ≤ 2 / 2
时,系统的谐振峰值为
M r = A(wr ) =
1
2ζ 1- ζ 2
(8.5.1)
谐振峰值 M r 与反应系统相对稳定性的阻尼比 ζ 唯一相关、一一对应,因此两
者均反映闭环系统的相对稳定性。
谐振峰值 M r 与阻尼比 ζ 的关系如图 8-5-3 所
示。
(2)谐振频率 wr ——快速性指标(阻尼比为 0 ≤ ζ ≤ 2 / 2 的二阶欠阻尼系
统)。
当阻尼比在 0 ≤ ζ ≤ 2 / 2 时,系统的谐振频率为
wr = wn 1- 2ζ 2
(8.5.2)
当阻尼比 ζ 一定时, wr ∝ wn 。
wn 反映二阶系统的快速性,因此 wr 也反映其快
速性。
(3)幅频宽即带宽 wB ( w-3dB )——闭环频域快速性指标(适用于任何二阶系
统)。
由式(7.6.1)得
wB = wn
(2ζ 2 -1)2 +1 - (2ζ 2 -1)
(8.5.3)
式(8.5.3)对任何阻尼比 ζ > 0 均适用。
由式可知,当 0 ≤ ζ ≤ 2 / 2 时,
wB > wn ;当 ζ = 2 / 2 时, wB = wn ;当 ζ > 2 / 2 时, wB < wn 。
式(8.5.3)表明,对于一定的阻尼比 ζ , wB ∝ wn 。
wn 反映二阶系统的快速性,
wB
ζ
wn
≈ -
1.19
+1.
85
故 wB 也反映其快速性。
式(8.5.3)描述的幅频宽 wB / wn 与阻尼比 ζ 关系如图 8-5-4 所示。
该图表明,在
0.3 ≤ ξ ≤ 0.8 范围内, wB 与 ζ 呈近似线性关系,可近似表达为
wB
wn
≈ 1.85 -1.19ζ
(8.5.4)
5
4
3
2
1
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
ζ
图8 - 5 - 3谐振峰值Mr与阻尼比
ζ的关系曲线
图8 - 5 - 4 二阶系统幅频宽wB / wn
与阻尼比ζ 关系曲线
闭环控制系统希望的频域性能指标是:
(1)较小的谐振峰值,例如
M r < 1.4(20 lg1.4 = +2.9dB, 相应的二阶系统阻尼比ζ >0. 39, 图8- 5- 4) ,以满足系统
相对稳定性的要求。
(2)足够的幅频宽 wB ,在阻尼比 ζ 满足相对稳定性的情况下,使系统有足够
小的时间常数τ =1/(ζ wn),从而保证其快速性要求。
2.二阶系统的开环频域性能指标
(1)相位裕度ϕPm ——开环频域相对稳定性指标(任何二阶系统)。
按式(8.4.3),相位裕度ϕPm 与阻尼比 ζ 的关系式为
ϕPm = arctan
2ζ
4 2
(8.5.5)
上式对 ζ > 0 均适用。
图 8-4-8 描述了两者的关系曲线。
式(8.4.4)描述了两
者在 0 < ζ < 0.7 的线性近似关系
ϕPm ≈ 100ζ
或 ζ ≈ 0.01ϕPm
(8.5.6)
同理,相位裕度ϕPm 与反映系统相对稳定性的阻尼比 ζ 唯一相关。
一一对应,
因此两者均反映二阶系统闭环的相对稳定性。
(2)幅值穿越频率 wc ——开环频域快速性指标(适用于任何二阶系统)。
按式(8.4.2),二阶系统的幅值穿越频率 wc 与阻尼比 ζ 的关系式为
wc = wn
4ζ 4 +1 - 2ζ 2
(8.5.7)
上式对 ζ > 0 均适用。
同理,当阻尼比 ζ 一定时, wc ∝ wn ,故 wc 也反映
二阶闭环系统的快速性。
(3)开环增益(速度消差系数) K (KV ) ——准确性指标(任何二阶系统)。
开环频率特性函数中的增益
K = Kv = wn / (2ξ )
(8.5.8)
是系统闭环准确性指标,见以下结论。
3.二阶系统的时域性能指标
二阶过阻尼或临界阻尼系统有由两个一阶环节组成,其时域响应均无超调,
不存在相对稳定性问题。
在 3.9 节中已给出二阶欠阻尼系统的时域性能指标,现归纳如下:
( 1 ) 百 分 比 超 调 量 M P % ——时 域 相 对 稳 定 性 指 标 ( 二 阶 欠 阻 尼 系 统
0 < ζ < 1 )。
M P % = 100g
-
πξ
1-ζ 2
%
(8.5.9)
r
(2) 上升时间T、峰值时间TP、调节时间Ts ——时域快速性指标(二阶欠阻
尼系统 0 < ζ < 1 )。
在 3.9 节中已推得二阶欠阻尼系统的上升时间、峰值时间、调整时间分别为
Tr =
π - arccosζ
wn 1- ζ 2
(8.5.10)
Ts =
3.4
ζ wn
(δ = 0.05 ~ 0.02)
(8.5.11)
TP =
π
wn 1- ζ 2
(8.5.12)
当阻尼比 ζ 一定时,二阶欠阻尼系统的 Tr ,Tp ,Ts 均与固有频率的 wn 成反比,
描述系统的快速性。
(3)开环增益(速度消差系数) K (Kv ) ——准确性指标(任何二阶系统)。
二阶系统开环传递函数中的增益为
K = Kv = wn / (2ξ )
(8.5.13)
这是系统闭环的准确性指标。
系统闭环在不同输入信号时的稳态作用误差
(输入端) eass 和稳态期望误差(输出端) ess 为:
阶跃输入, eass = ess = 0; 斜坡输
入, eass = ess = A / KV ; 抛物线输入, eass = ess = ∞ 。
二阶系统频域性能指标与时域性能指标的比较归纳在表 8-5-1 中。
应用时必须注意,上述二阶系统的开环频域、闭环频域和时域性能指标,并
不是对所有的二阶(欠阻尼、临界阻尼和过阻尼)系统均适用的。
某些性能指标
仅适用于阻尼比为为 0 ≤ ζ ≤ 2 / 2 的二阶欠阻尼系统,如闭环频域相对稳定性能
指标——谐振峰值 M r 、闭环频域快速性指标——谐振频率 wr ;某些指标适用于
二阶欠阻尼系统 (0 < ζ < 1) ,如时域性对稳定性指标——百分比超调量 M P % 、时
域快速性指标——上升时间 Tr 、峰值时间 TP ;某些性能指标则对任何二阶系统
均适用,如时域快速性指标——调节时间 Ts 、闭环快速性指标——幅频宽(带宽)
wB 、开环频域相对稳定性指标——相位裕度 ϕPm 、开环频域快速性指标——幅
值穿越频率 wc 、准确性指标——开环增益(速度消差系数) K (Kv ) 。
当然,二
阶系统的性能,根本上取决于其结构参数——固有频率 wn 和阻尼比 ζ (或开环
增益 K 和时间常数τ )。
表 8-5-1 二阶系统频域性能指标与时域性能指标的比较
特 相 关 结 构 时域性能指标闭环频域性能指标开环频域性能指
性 参数
标
相
对
稳
定
性
ζ
πζ
1-ζ 2
M P = 100ge %
(0 < ζ < 1)
1
M r = A(wr ) = 2 (0
2ζ 1- ζ
2
≤ϕζpm ≤=0.707)arctan 4
4ζ
(0 < ζ )
快
速
性
wn (ζ 一定)
当0 < ζ < 1时:
π - arccosζ
Tr = 2
wn 1- ζ
3.4
Ts = (δ = 0.05
ζ wn
π
TP = 2
wn 1- ζ
2
wr = wn 1- 2ζ (0 ≤ ζ ≤
2 2
wB = wn (2ζ -1) +1 -
(0 < ζ )
~ 0.02)
4
0.707)wc = wn 4ζ +1 -
2
(2ζ -1)
准
确
性
K = KV = wn
/ (2阶ζ跃) 输入:
eass =
斜坡输入:
eass =
抛物线输入:
eass
ess = 0
ess = A
KV
= ess = ∞
8.6时滞系统的稳定性分析
迄今为止,在应用奈奎斯特稳定判据对控制系统进行稳定性分析时,所涉及
的频率特性函数均为 jw 的有理分式,但在工程中会遇到具有时滞(或称延时、
时延、延迟等)环节的控制系统。
本节介绍应用奈奎斯特稳定判据对时滞系统进
行稳定性分析,并研究时滞环节对系统闭环稳定性带来的不利影响。
8.6.1 时滞系统
系统中信号传递有时间延迟的环节称为时滞环节,包含时滞环节的系统称为
时滞系统。
时滞环节的特点是她它的输出变量相对于输入变量存在时间上的滞后。
流体在长管道中的流动、物料输送、电信号在长导线中的传递等,都有时间延迟。
含有这类元件的系统都是时滞系统。
对于一个具有控制系统,时滞可能由检测系
统造成,也可能由控制元件、执行元件在造成,或者由他们共同造成。
严格地说,
控制系统中时滞是普遍存在的,只有大小的不同。
时滞系统是时滞不能忽略的系
统。
时滞系统属于非最小相位系统。
图 8-6-1 所示为轧钢板机钢板厚度控制系统。
电动机轴的旋转使轧车昆带动
钢板以速度 v 运动,控制系统控制电动机的上下位移,从而控制两轧辊的间距,
改变轧制的钢板的厚度。
系统通过厚度检测进行反馈,形成闭环控制,从而减少
钢板厚度误差。
因轧辊间钢板厚度无法直接测量,因而造成测试信号与被控信号
——即轧辊间距或钢板厚度有 T=d/v 的时滞。
d
∙
∙
电动机
控制器
Gc(s)
速度v
厚度检测
期望厚度
图8-6-1 轧钢机轧辊控制系统
时滞环节的传递函数为
Gd (s) = e-sT
式中 T——时滞时间,T=d/v。
系统开环传递函数为
GH (s) = Gc (s)G(s)Gd (s) = Gc (s)G(s)e-sT
式中 GH (s) ——轧辊控制系统开环传递函数,即钢板厚度检测信号与钢板厚
度输入信号间的传递函数;
Gc (s) ——控制器传递函数;
G(s) ——轧辊间距(钢板厚度)与控制器输出信号间的传递函数;
Gd (s) ——时滞环节,即钢板厚度检测信号与轧辊间距(钢板厚度)间传递
函数。
系统开环频率特性函数为
GH (s) = Gc ( jw)G( jw)e- jwT
(8.6.1)
具有时滞环节的系统频率特性函数式(8.6.1),与假设无时滞环节的频率特
性函数 Gc ( jw)G( jw) 的幅频特性相同,但相频特性增加了相角滞后
ϕd = -wT
亦即,两者开环频率特性伯德图的幅频特性曲线相同,但有时滞环节时系统的相
频特性曲线,较无时滞环节系统的下移 wTrad/s,这将较少系统闭环的相位裕度
和幅值裕度,给稳定性带来不利影响。
8.6.2应用奈奎斯特稳定判据分析时滞系统的稳定性
以下通过实例,介绍奈奎斯特稳定判据分析时滞系统稳定性的方法,以及时滞
系统对系统稳定性的影响。
例8-6-1已知具有时滞环节的液面控制系统框图如图 8-6-2 所示。
设时滞时
间 T = d / v = 1s 。
分析系统稳定性。
R(s)
+-
作动器
GA(s)=
10
s +1
时滞
e -sT
储液容器
3.15
30s +1
Y (s)
液位
浮子
G f (s)=
1
(s2 / 9) + (s / 3) +1
(b)
图8-6-2 具有时滞环节的液面控制系统
解系统开环传递函数为
GH (s) = GA (s)G(s)G f (s)e-sT
=
31.5e-sT
(s +1)(30s +1)(s2 / 9 + s / 3 +1)
系统开环伯德图如图 8-6-3 所示。
图(a)为 MATLAB 得到,无时滞环节;
图(b)中同时给出有和无时滞环节的相频特性曲线,两者幅频特性曲线相同。
如图 8-6-3(a)所示,无时滞时,系统的幅值交界(穿越)频率,即幅值特
性 曲 线 与 0dB 线 相 交 时 的 频 率 为 wc = 0.836rad / s , 系 统 的 相 位 裕 度 为
ϕ pm = +35.6︒ ,系统闭环稳定。
如 图 8-3-6 ( b ) 所 示 , 有 时 滞 时 , 在 wc = 0.836rad / s 处 , 相 位 角 滞 后
ϕd = -wcT = -0.836rad / s ⨯1s ⨯180︒ / π = -47.9︒ 。
因此有时滞系统的相位裕度
ϕ pm = +35.6︒ - 47.9︒ = 12.3︒, 系统因时滞而变得不稳定。
为使系统稳定,保证必要的相位裕度。
必须较少开环增益。
但这将增加稳态
误差,降低系统的控制精度。
因此时滞环节 e- jwT 会使系统开环伯德图的相频特性曲线,较无时滞时随频
率下移 wT。
这将减少系统闭环的相位裕量和幅值裕量,从而降低系统的相对
稳定性,甚至可能使系统变得不稳定。
为满足稳定性的要求,不得不减少系统
开环增益,付出了增加稳态误差,降低控制精度的代价。
近似曲线
实
际
曲线
有
时滞
φ(w
)
无时滞
w / (rad / s)
(b)有和无时滞环节的相频特性曲线比较(幅频特性曲线相同)
图8-6-3 液面控制系统开环伯德图
8.7小结
本章介绍了基于复变函数俯角原理的奈奎斯特稳定判据,奈奎斯特稳定判据根
据反馈控制系统的开环频率特性曲线,来判定系统闭环的绝对稳定性。
并且根据
反馈系统开环频率特性,引入了反馈控制系统的两种相对稳定性指标——幅值
裕量 Kg 和相位裕量ϕ pm 。
本章还对二阶系统的频域性能指标
rr
c
(闭环频域性能指标:
谐振峰值M、谐振频率w、幅频宽wB;开环频域性能指标:
相位裕度ϕ pm、幅值交界频率w )
及时域性能指标:
超调量 M p 、上升时间 Tr 、峰值时间 Tp 、调节时间 Ts 进行讨论,
对三类性能指标之间及其与系统结构参数之间的关系进行比较。
本章最后总结讨论了具有时滞环节的控制系统的稳定性问题。
作为总结,表 8-7-1 列出了 15 种典型传递函数的伯德图、这时控制系统的分
析和设计来说是没用的。
在进行反馈控制系统校正设计时(第 9 章),掌握受控
对象 G(s)和控制器
表 8-7-1典型传递函数的伯德图
序
号
G(s)
伯德图
序号
G(s)
伯德图
1
K
τ1s +1
φ
0︒
-45︒
-90︒ 0dB / dec
KdB 相位裕量
-180︒ 1
0dB w
τ1
-20dB / dec
4
K
s
φ M -90︒
-180︒ 0dB w
-20dB / dec
2
K
(τ1s +1)(τ 2s +1)
0︒
φ M φ
-20
-180︒ 1 1
0dB w
τ1 τ2 -40dB / dec
5
K
s(τ1s +1)
φ M -20dB / dec -90︒
-180︒ 1
0dB w
τ1
-40dB / dec
3
K
(τ1s +1)(τ 2s +1)(τ 3s +1)
0︒ φ
φ 0
M -20
-40dB / dec
-180︒ 1 1 1
0dB
τ1 τ2 τ3 -60dB / dec w
-270︒
6
K
s(τ1s +1)(τ 2s +1)
-90︒
φ M
-20 1/τ2
-180︒ 1
0dB - w
τ1
-270︒
-60dB / dec
序
号
G(s)
伯德图
序
号
G(s)
伯德图
7
K (τ as +1)
s(τ1s +1)(τ 2s +1)
-20dB / dec
-90︒
φ M φ
-40
-180︒ 1 1 1
0dB
τ1 τa -20 τ2 w
-40dB / dec
10
K (τ as +1)
2 , (τ a > τ1)
s (τ1s +1)
-40dB / dec
φ M φ
180︒ 0dB 1 1
w
τ-a 20dB / dec τ1
-40dB / dec
8
K
s2
φ M -40dB / dec
φ
-180︒
0dB w →
11
K
s3
φ M -60dB / dec
-180︒
0dB w
-270︒ φ
9
K
2
s (τ1s +1)
-40dB / dec
φ M
-180︒
0dB w
1
-270︒ τ1 φ
-60dB / dec
12
K (τ as +1)
s3
-60dB / dec
φ M
-180︒
0dB 1/τa w
-270︒ φ -40dB / dec
序
号
G(s)
伯德图
序
号
G(s)
伯德图
13
K (τ as +1)(τ bs +1)
s2
-60dB / dec
-90︒ φ
φ M -40dB / dec
-180︒ 1 1 w
-20dB / dec
-270︒ τa τb
15
K (τ as +1)
2
s (τ1s +1)(τ 2s +1)
1
φ M -40 τ1 1
-180︒
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