高考理科数学全国1卷含答案.docx
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高考理科数学全国1卷含答案
2016年普通高等学校招生全统一考试
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
2x
(1)设集合A430,Bx2x30,则AB
xx
(A)(3,
3
2
)(B)(3,
3
2
)(C)(1,
3
2
)(D)(
3
2
,3)
(2)设(1i)x1yi,其中x,y是实数,则xyi
(A)1(B)2(C)3(D)2
(3)已知等差数列
a前9项的和为27,a108,则a100
n
(A)100(B)99(C)98(D)97
(4)某公司的班车在7:
30,8:
00,8:
30发车,小明在7:
50至8:
30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站
的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是
(A)
1
3
(B)
1
2
(C)
2
3
(D)
3
4
22
xy
(5)已知方程1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则m的取值范围是
22
mn3mn
(A)(1,3)(B)(1,3)(C)(0,3)(D)(0,3)
(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半
径.若该几何体的体积是
28
3
,则它的表面积是
(A)17π(B)18π(C)20π(D)28π
(7)函数
y
x
2
2xe在2,2的图象大致为
yyyy
1111
-2O2-2O2-2O2-22
xxxOx
(A)(B)(C)(D)
理科数学试卷A型第1页(共5页)
(8)若ab1,0c1,则
开始
(A)
cb
c
a(B)
ab
cba
c
输入x,y,n
(C)acbc
logblog(D)logaclogbc
a
(9)执行右图的程序框图,如果输入的x0,y1,n1,则输
nn1
n1
xx,
2
yny
出x,y的值满足
否
2y2
x
36
(A)y2x(B)y3x(C)y4x(D)y5x
是
输出x,y
(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两
点.已知AB42,DE25,则C的焦点到准线的距离为
结束
(A)2(B)4(C)6(D)8
(11)平面过正方体
ABCDA1BCD的顶点A,∥平面CB1D1,∩平面ABCDm,∩平
111
面ABB1An,则m,n所成角的正弦值为
1
(A)
3
2
(B)
2
2
(C)
3
3
(D)
1
3
(12)已知函数f(x)sin(x)(0,),
2
x为f(x)的零点,
4
x为yf(x)图象
4
5
的对称轴,且f(x)在(,)单调,则的最大值为
1836
(A)11(B)9(C)7(D)5
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第(13)~(21)题为必考题,每个试题都必须作答。
第(22)~(24)题为
选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分。
(13)设向量a(m,1),b(1,2),且
222
a,则m.
bab
(14)
5
(2xx)的展开式中,
3
x的系数是.(用数字填写答案)
(15)设等比数列
a满足a1a310,a2a45,则a1a2an的最大值为.
n
(16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件A需要甲材料1.5kg,乙材料
1kg,用5个工时;生产一件B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件A产品的利
理科数学试卷A型第2页(共5页)
润为2100元,生产一件B产品的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超
过600工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosBbcosA)c.
(Ⅰ)求C;
33
(Ⅱ)若c7,△ABC的面积为
.求△ABC的周长.
2
(18)(本小题满分12分)
如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF2FD,AFD90,
且二面角DAFE与二面角CBEF都是60°.
C
D
(Ⅰ)证明:
平面ABEF⊥平面EFDC;
E
A
(Ⅱ)求二面角EBCA的余弦值.
F
B
(19)(本小题满分12分)
某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损零件,在购买机器时,可
以额外购买这种零件为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.
频数现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜
40集并整理了100台这种三年使用期内更换的易损零件,得
下面柱状图:
20
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器
O
891011
更换的易损零件数
更换的易损零件数发生的频率,记X表示2台机器三年内
共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(Ⅰ)求X的分布列;
(Ⅱ)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值;
(Ⅲ)以购买易损零件所需要的期望值为决策依据,在n19与n20之中选其一,应选用哪
个?
理科数学试卷A型第3页(共5页)
(20)(本小题满分12分)
2y2x
设圆x2150的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两
点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(Ⅰ)证明EAEB为定值,并写出点E的轨迹方程;
(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线
C,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q
1
两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
已知函数
f
x有两个零点.
2
(x)(x2)ea(x1)
(Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)设
x1,x是f(x)的两个零点,证明:
x1x2.
22
请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
(22)(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
1
如图,△OAB是等腰三角形,AOB120.以O为圆心,OA
2
为半径作圆.
(Ⅰ)证明:
直线AB与⊙O相切;
D
C
O
(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:
AB∥CD.
A
B
(23)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线
C的参数方程为
1
x
y
a
1
cost,
asin
t,
(t为参数,a0).在以坐标原点
为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
C:
4cos.
2
理科数学试卷A型第4页(共5页)
(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)直线
C的极坐标方程为0,其中0满足tan02,若曲线C1与C2的公共点都在
3
C上,求a.
3
(24)(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数f(x)x12x3.
(Ⅰ)在答题卡第(24)题图中画出yf(x)的图像;
(Ⅱ)求不等式f(x)1的解集.
y
1o
x
1
理科数学试卷A型第5页(共5页)
2016年全国卷Ⅰ高考数学(理科)答案与解析
一、选择题
【答案】
(1)D
(2)B(3)C(4)B(5)A(6)A(7)D(8)C(9)C(10)B
(11)A(12)B
【解析】
2xxx
(1)Axx43013,
3
Bx2x30xx,∴
2
3
ABxx3.
2
(2)∵(1i)x1yi即xxi1yi∴
x1
xy
,解得:
x
y
1
1
,∴xyix2y22.
9(aa)92aa10a
1955
(3)∵S927∴a53,∵a108∴1
9ad,∴
5
22105
a100a90d98.
10
(4)如图所示,画出时间轴:
7:
307:
407:
508:
008:
108:
208:
30
ACDB
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中,而当他的到达时间落在线段AC或DB时,才
能保证他等车的时间不超过10分钟,
根据几何概型,所求概率
10101
p.
402
22
xy
2nmn
2
(5)1表示双曲线,则()(3)0
m,∴
22
mn3mn
2n3m2
m,
∵
2c4
c
2
(2)(3)42
2
mnmnm
2
解得m1,∴1n3.
(6)原立体图如图所示:
是一个球被切掉左上角的1/8后的三视图,表面积是
7/8的球面面积和三个扇形面积之和,
理科数学试卷A型第6页(共5页)
7212
∴S423217
84
2222
(7)f
(2)8e82.80,排除A;f
(2)8e82.71,排除B;
x0时,f
2x
(x)2xe,
11
x0
f(x)4xe,当x(0,)时,f(x)4e0∴
44
1
f(x)在(0,)单调递减,排除C;
4
故选D
cc
(8)对A:
由于0c1,∴函数yxc在R上单调递增,因此ab1ab,A错误;
对B:
由于1c10,∴函数yxc1在1,上单调递减,
∴
c1c1cc
ababbaab,B错误
1
bc,只需比较ln
ac
lnb
对C:
要比较alogc和log
ba
和alna
和
blnc
lna
,只需比较
lnc
blnb
和
lnc
alna
,只需blnb
构造函数
fxxlnxx1
,则
f'xlnx110fx
,
在
1,
上单调递增,因此
fafb0alnablnb0
11
alnablnb
又由0c1得lnc0,∴lnlnloglog
cc
bcac
ab
alnablnb
,C正确
对D:
要比较logac和log
bc,只需比较ln
ln
c
a
和
ln
ln
c
b
而函数ylnx在1,上单调递增,故1lnln011
abab
lnalnb
又由0c1得lnc0,∴lnlnloglog
cc
cc
ab
lnalnb
,D错误
故选C.
【2°用特殊值法,令
1111
1
a3,bc得322,排除A;2
2,2
23223,排除B;
2
1
3log22log32,C正确;
2
11
log3log2,排除D;∴选C】
22
(9)如下表:
循环节运
行次数
n1
xxxyyny
2
判断
2236
xy
是否
输出
nnn1
运行前01//1
第一次01否否2
第二次
1
2
2否否3
第三次
3
2
6是是
理科数学试卷A型第7页(共5页)
3
输出
x,y6,满足y4x,故选C.
2
(10)以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理
设抛物线为
22
ypxp0,设圆的方程为
222
xyr,题目条件翻译如图:
F
设
Ax0,22
p
,D,5,
2
Ax0,22
点在抛物线
22
ypx上,∴82px0⋯⋯①
p
2
5
在圆
222
xyr上,∴
5
p
2
2
2
D
r
点⋯⋯②
Ax0,22
点在圆
222
xyr上,∴
22
x08r⋯⋯③
联立①②③解得:
p4,焦点到准线的距离为p4.
2°【如图,设抛物线方程为
22
ypx,圆的半径为r,
AB,DE交x轴于C,F点,则AC22,即A点纵坐
标为22,则A点横坐标为
4
p
,即
OC
4
p
,由勾股定
理知
2222
DFOFDOr,
2222
ACOCAOr,
即
2p2242
(5)()(22)()
2p
,解得p4,即C的
焦点到准线的距离为4】
(11)如图所示:
∵∥平面CB1D1,∴若设平面
CBD平面
11
ABCDm,则m∥m
11
又∵平面ABCD∥平面
ABCD,结合平面B1D1C平面A1B1C1D1B1D1
1111
∴B1D1∥m1,故
BD∥m
11
DC
α
B
A
同理可得:
CD1∥n
故m、n的所成角的大小与
BD、CD所成角的大小
111
相等,即
CDB的大小.
11
A1
D1
B1
C1
理科数学试卷A型第8页(共5页)
而B1CB1D1CD1(均为面对交线),因此
3
CDB,即sinCD1B1.
113
2
(12)由题意知:
π
4
+kπ
1
ππ
+kπ+
2
42
则2k1,其中kZ
fx在π,5π
()
1836
单调,
5πT
3618122
12
接下来用排除法
若
π
11,
π
4
,此时()sin11
fxxf(x),在
4
π3π
1844
递增,在
3π5π
4436
递减,不满
足f(x)在
π5π
1836
单调;
若
9,
π
4,此时
π
f(x)sin9x,满足f(x)在
4
π5π
1836
单调递减
理科数学试卷A型第9页(共5页)
二、填空题
【答案】
(13)-2(14)10(15)64(16)216000
【解析】
(13)由已知得ab(m1,3),∴
22
2
222222
abab(m1)3m112,解
得m2.
2°
22
2
abab得ab,∴m1120,解得m2.
(14)
5
(2xx)的展开式的通项为
r
r
5
rx5rxr5rrx2(r0,1,2,⋯,5),令53
C
(2)()2C
55
2
得r4,所以x3的系数是4
2C10.
5
(15)设等比数列a的公比为q(q0),∴
n
a
1
a
2
a
3
a
4
10
5
a
1
aq
1
2
aq
1
3
aq
1
10
5
,解得
a
1
q
8
1
2
,
n4
1
a,∴
n
2
aa
12
a
n
1
2
(3)
(2)
(
n
4
)
1
2
1
2
n(n7)
1
1
2
n
7
2
2
49
4
故∴当
2
6
n3或4时,a1a2an取得最大值264
.
(16)设生产A产品x件,B产品y件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,构造
线性规则约束为
1.5x0.5y150
≤
x0.3y90
≤
5x3y600
≤
x0
≥
y0
≥
*
xN
*
yN
目标函数z2100x900y
作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)
理科数学试卷A型第10页(共5页)
在(60,100)处取得最大值,z210060900100216000
三、解答题
(17)解:
(I)由已知及正弦定理的,
2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC,
即2cosCsin(AB)sinC,
故2sinCcosCsinC,
可得
1
cosC,∴
2
C.
3
(II)由已知,
1
2
33
absinC,
2
又
C,∴ab6,
3
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