新人教版八上数学优秀教案分式的运算教案.docx
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新人教版八上数学优秀教案分式的运算教案
15.2 分式的运算
第1课时 分式的乘除
(一)
1.理解并掌握分式的乘除法则,运用法则进行运算.
2.经历探索分式的乘除运算法则的过程,并能结合具体情境说明其合理性.
理解并掌握分式的乘除法则.
运用法则,熟练地进行分式乘除运算.
一师一优课 一课一名师 (设计者:
)
一、创设情景,明确目标
1.计算,并叙述你应用的运算法则.
(1)×;
(2)÷.
2.
(1)见课本P135的问题1:
长方体容器的高为,水面的高度就为:
·.
(2)见课本P135的问题2:
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.
从上面的问题可知,讨论数量关系有时需要进行分式的乘除运算,如何进行相关运算呢,这就是我们这节课学习的主要内容.
二、自主学习,指向目标
1.自学教材第135至137页.
2.学习至此:
请完成《学生用书》相应部分.
分式的乘除法运算法则
活动一:
阅读教材,思考问题:
类比分数乘除法则,你能说出分式乘除法法则吗?
观察下列运算:
×=;×=,÷=×=,÷=×=.
【小组讨论】
1.×=?
÷=?
如何进行运算?
2.其运算方法和分数的乘除法有何联系?
展示点评:
类似于分数,分式有:
(1)分式的乘法法则:
分式乘以分式,用________的积做积的分子,________的积作为积的分母.
(2)分式的除法法则:
分式除以分式,把除式的________.________颠倒位置后,与被除式________.
÷=×________=________.
小组讨论:
分式的乘除运算与分数的乘除运算有什么联系?
反思小结:
分数的乘除法运算实际上就是分式乘除运算的一种特殊形式,分式的乘除法运算就是对分数乘除法运算的深化.
活动二:
计算:
(1)·
(2)÷
解:
(1)原式=
(2)原式=-
例2 计算:
(1)·
(2)÷
解:
(1)原式=
(2)原式=-
展示点评:
分式的乘除时不漏项,结果要化成最简.
小组讨论:
例2和例1有什么不同?
分式的乘除运算时应注意什么问题?
反思小结:
分式乘除运算,结果是分式应化为最简分式;运算过程中分子、分母是多项式时,先分解因式再运算.
针对训练:
见《学生用书》相应部分
分式乘除法的简单运用
活动三:
如图,“丰收1号”小麦的试验田是边长为am的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形,两块试验田的小麦都收获了500kg.
(1)哪种小麦的单位面积产量高?
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?
思考完成下列3个问题:
1.列出表示两块试验田单位面积产量的代数式:
“丰收1号”________;“丰收2号”________.
2.对于分子相同的分式,如何比较其大小?
你能比较题中两分式的大小吗?
3.运用分式的除法法则确定两块试验田单位面积产量的倍数关系.
展示点评:
(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2-1)m2,单位面积产量是kg/m2;“丰收2号”小麦的试验田面积是(a-1)2m2,单位面积产量是kg/m2.
∵0<(a-1)2 “丰收2号”小麦的单位面积产量高. (2)÷=·==. “丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍. 小组讨论: 分式的大小比较与分数的大小比较有什么联系? 反思小结: 式是数的扩展,数的一些方法与技巧,对于式一样适用.两个大于0的分式,当分子相同时,分母越大,分式的值越小. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理,内化目标 1.自主学习时,你的疑问是否得到解决? 2.知识小结—— (1)分式的乘法、除法法则是什么? 在进行运算时应当注意两点: ①符号问题;②运算结果一定是最简分式(或整式). (2)能运用分式的乘除运算解决简单的实际问题. 3.思想方法小结——类比、转化等数学思想. 五、达标检测,反思目标 1.将分式化简得,则x应满足的条件是__x≠0__. 2.·等于(C) A.6xyz B.- C.-6xyz D.6x2yz 3.÷等于(C) A.B.b2xC.-D.- 4.如果从一大捆粗细均匀的电线上截取1m长的电线称得它的质量为akg,再称得剩余电线的质量为bkg,那么这捆电线原来的总长度为(B) A.mB.mC.mD.m 5.计算: (1)· 解: 原式=· = (2)÷ 解: 原式=· =- 1.上交作业 课本第146页第1题,第2题. 2.课后作业 见《学生用书》. 第2课时 分式的乘除 (二) 1.能运用分式的乘除法法则进行分式乘除的混合运算. 2.探索并掌握分式的乘方法则,并能运用它进行运算. 能运用分式的乘除法法则进行分式乘除的混合运算. 掌握分式的乘方法则,并能运用它进行运算. 一师一优课 一课一名师 (设计者: ) 一、创设情景,明确目标 1.回顾: 分式的乘除法运算法则如何? 积的乘方法则是什么? 2.实数乘除混合运算的运算顺序是如何规定的? 分式乘除混合又该如何运算呢? 分式的乘方如何运算呢? 这就是我们今天所要学习的内容. 二、自主学习,指向目标 1.自学教材第138至139页. 2.学习至此: 请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 分式乘除混合运算 活动一: 计算÷·. 展示点评: 原式=.同分数的混合运算方法是一致的. 上组讨论1: 在这个式子中包含几种运算? 本题的运算顺序是怎样的? 反思小结: 分式乘除混合运算可以统一为乘法运算. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 分式的乘方的法则及应用 活动二: 1.思考: = = = 小组讨论: (1)从乘方的意义去理解,、、的意义是什么? (2)请根据乘方的意义和分式乘法法则计算: =________=________ =________=________ =________=________ 展示点评: 一般地,当n是正整数时, =________=________=________,即=________. 这就是说,分式的乘方要把________、________分别乘方. 反思小结: 分式乘方法则的推导,就是转化成乘方意义和分式乘法的问题. 小组讨论: 归纳分式乘方法则推导的思路. 活动三: 计算: (1) 解: 原式= (2)÷· 解: 原式=- 展示点评: (1)根据乘方的法则,分子、分母分别乘方; (2)先算乘方,再算乘除. 小组讨论: 分式的混合运算与数的混合运算在运算顺序上有什么联系? 反思小结: 在运算时,先确定运算结果的符号,负数的偶次幂为正,而奇次幂为负;式与数有相同的运算顺序,先乘方,再乘除. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理,内化目标 1.自主学习时,你的疑问是否得到解决? 2.知识小结—— (1)本节课学习了分式乘除混合运算,其运算顺序是什么? 注意分解因式和约分在分式乘除法中的应用. (2)分式的乘方法则是什么? 如果乘除混合运算中有乘方,要先算乘方. 3.思想方法小结——从特殊到一般以及转化等数学思想. 五、达标检测,反思目标 1.计算·÷的结果是(B) A. B.- C. D.- 2.的值是(C) A.B.- C.D.- 3.计算=__-__. 4.计算: (1)÷(x+3)· 解: 原式=·· =- (2)·· 解: 原式=·· =xy4z2 1.上交作业 课本第146页第3题. 2.课后作业 见《学生用书》. 第3课时 分式的加减 (一) 1.理解同分母分式与异分母分式加减法的运算法则,体会类比思想. 2.能运用同分母分式和异分母分式加减运算法则进行运算,体会化归思想. 分式的加减法法则. 异分母分式的加减运算. 一师一优课 一课一名师 (设计者: ) 一、创设情景,明确目标 同学们还记得分数是如何进行加减法运算的吗? (找同学叙述) 现在我们看下面两个问题: 问题1: 甲工程队完成一项工程需要n天,乙工程队要比甲队多用3天,才能完成这项工程,两队共同工作一天完成这项工程的几分之几? 问题2: 2011年、2012年、2013年某地的森林面积(单位: 公顷)分别是1S、2S、3S,2013年与2012年相比,森林面积增长率提高了多少? 请按两个问题的要求列出代数式,请观察两个代数式有何特征,如何对这类代数式进行运算,这就是我们今天所要探究的内容. 二、自主学习,指向目标 1.自学教材第139至140页. 2.学习至此: 请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 分式加减法运算法则及应用 活动一: 1.让学生观察课本P140页思考,并让学生叙述分数加减法法则. 2.类似分数加减法运算法则,推广可得分式的加减法法则,你能叙述吗? 展示点评: 同分母的分式相加减,分母________,把分子相________. 异分母的分式相加减,先________,变为________分式,再加减. 这些法则用式子可表示为: ±=________;±=±________=________ 针对训练: 下列运算是否正确,如果不正确,错在什么地方? 1.+=; (√) 2.+=; (×) 3-=. (×) 例1 计算: (1)- 解: 原式= (2)+ 解: 原式= 小组讨论: 1. (2)和 (1)有什么不同? 2.进行异分母分式加减运算时如何确定分式的最简公分母? 变式训练: 计算: (1)+; (2)++. 答: (1)1; (2). 反思小结: 异分母分式相加减,通分后变成同分母分式,再加减.体现了转化的数学思想. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 分式加减混合运算 活动二: 计算: (1)x+2y++ 展示点评: (1).在解答中可把x+2y当成一个整体. 小组讨论: 分式的加减混合运算注意什么问题? 反思小结: 同分母分式相加减,当分子是一个多项式时应把多项式分子看作一个整体,加上括号参与运算. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理,内化目标 1.我们是怎么引出分式加减法法则的? 2.知识小结—— (1)理解同分母分式与异分母分工加减法的运算法则,并能熟练地运用同分母分式和异分母分式加减运算法则进行运算; (2)运算结果必须是最简分式. 3.思想方法小结——类比、转化等数学思想. 五、达标检测,反思目标 1.化简-的结果是(A) A.-x-y B.y-x C.x-y D.x+y 2.分式+的计算结果是(C) A.B.C.D. 3.计算-=__. 4.已知a(a-1)-(a2-b)=2,那么-ab的值为__2__. 5.计算: (1)+- 解: 原式= = (2)- 解: 原式=- =- 1.上交作业 课本第146页第4、5题. 2.课后作业 见《学生用书》. 第4课时 分式的加减 (二) 掌握分式混合运算的顺序,能进行分式的混合运算. 分式的混合运算. 灵活进行分式的混合运算. 一师一优课 一课一名师 (设计者: ) 一、创设情景,明确目标 1.说出分数混合运算的顺序. 2.分式的混合运算与分数的混合运算的顺序是否相同,这节课我们就来学习分式的混合运算! 二、自主学习,指向目标 1.自学教材第141页. 2.学习至此: 请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 分式的混合运算 活动一: 计算: ·-÷ 解: 原式= 例2 计算: (1)· (2)÷ 展示点评: (1)原式=-2m-6; (2)原式=.有时恰当运用运算律可简化运算. 小组讨论: 分式的乘、除、加、减以及乘方的法则分别是什么? 这些式子的计算顺序是怎样的? 反思小结: 分式的混合运算顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的;若是同级运算,按从左到右的顺序进行(加减是同级运算,乘除是同级运算). 针对训练: 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理,内化目标 1.自主学习时,你的疑问是否得到解决? 2.知识小结——分式的混合运算与分数的混合运算类似,运算是应注意两点. (1)灵活应用交换律、结合律、分配律; (2)运算结果化成最简分式. 3.思想方法小结——类比、转化等数学思想. 五、达标检测,反思目标 1.分式-约分之后正确的是(C) A. B. C.-D.- 2.分式,,的最简公分母是(D) A.5cx3B.15abcx C.15abcx2D.15abcx3 3.计算: 1-·=____. 4.若a+b=+,则ab=__1__. 5.计算: ÷. 解: 原式=· =- 1.上交作业 课本第146页第6题. 2.课后作业 见《学生用书》. 第5课时 整数指数幂 (一) 1.了解负整数指数幂的含义,理解并掌握整数指数幂的规定及此规定的前提条件. 2.会根据负整数指数幂的规定进行有关幂指数的运算. 会根据负整数指数幂的规定进行有关幂指数的运算. 了解负整数指数幂的含义. 一师一优课 一课一名师 (设计者: ) 一、创设情景,明确目标 an(n是正整数)的意义是什么? 我们已学过正整数指数幂的哪些运算性质,你能完整的叙述出来吗? : am·an=am+n(m,n是正整数);: (am)n=amn(m,n是正整数); : (ab)n=anbn(n是正整数);: am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数,m>n);: =(n是正整数);: a≠0时,a0=1.对于,n能否为负整数呢? 其意义又是什么? 这就是我们这节课所要探究的内容. 二、自主学习,指向目标 1.自学教材第142至144页. 2.学习至此: 请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 负整数指数幂的产生及意义 活动一: 1.用两种方法计算: a3÷a5,你们得到的结果有哪些形式? 方法一(约分的方法): a3÷a5===① 方法二(同底数幂相除): 如果把同底数幂相除的运算法则: am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数,m>n)中的条件m>n去掉,假设这个性质对于a3÷a5的情形也适用,则有: a3÷a5=a3-5=a-2② 2.由①②两式,同学们发现a-2与有何关系? 展示点评: 因此在数学中规定: 一般地,当n是正整数时,a-n=(a≠0),这就是说,a-n是an的倒数. 小组讨论: 上述规定中,为什么强调a≠0. 反思小结: 至此,乘方中的指数已扩展为全体整数,但要注意指数为正整数、负整数或0时,底数的取值范围是不相同的. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 整数指数幂的运算 活动二: 正整数指数幂的各个运算法则: am·an=am+n(m,n是正整数);(am)n=amn(m,n是正整数); (ab)n=anbn(n是正整数);am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数,m>n);=(n是正整数). 小组讨论: 当m分别是正整数、0、负整数时,am各表示什么意思? 当指数m、n扩展到任意整数的情形时,是否仍然适用? 观察: a3·a-5===a-2=a3+(-5),即a3·a-5=a3+(-5) a-3·a-5=·==a-8=a-3+(-5),即a-3·a-5=a-3+(-5) 展示点评: am·an=am+n这条法则对于m、n是任意整数的情形仍然适用. 扩展: 随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数,前面的运算性质也推广到任意整数指数幂. 例 计算: (1)a2÷a5=a-3 (2)= (3)(a-1b2)3=(4)a-2b2·(a2b-2)-3= 分析: 这几个式子分别属于幂的哪种运算? 运算法则和顺序是怎样的? 针对训练: 见《学生用书》相应部分. 小组讨论: 整数指数幂的运算性质有哪些? 在运用这些性质计算时,应注意什么问题? 反思小结: 对于运算的结果是负整数指数幂的形式,要化为正整数指数幂的形式.负指数幂的引入可以使幂的除法转化为幂的乘法运算. 四、总结梳理,内化目标 1.自主学习时,你的疑问是否得到解决? 2.知识小结—— (1)了解负整数指数幂的含义,理解并掌握整数指数幂的规定及此规定的前提条件; (2)会根据负整数指数幂的规定作有关幂指数的运算. 3.思想方法小结——类比、转化等数学思想. 五、达标检测,反思目标 1.下列运算正确的是(B) A.a2·b3=a6 B.5a2-3a2=2a2 C.a0=1 D. (2)-1=-2 2.下列运算正确的是(C) A.4x6÷(2x2)=2x3B.2x-2= C.(-2a2)3=-8a6D.=a-b 3.计算-22+(-2)2-的正确结果是(A) A.2 B.-2 C.6 D.10 4.=__1__ =__16__ 5.计算: (1)(a-2)-3·(bc-1)3 解: 原式=a6·b3c-3 = (2)(3x3y2z-1)-2·(5xy-2z3)2 解: 原式=3-2(x3)-2(y2)-2(z-1)-2·25x2y-4z6 =x-6y-4z2·25x2y-4z6 =x-4y-8z8 = 1.上交作业 课本第147页第7题. 2.课后作业 见《学生用书》. 第6课时 整数指数幂 (二) 会根据负整数指数幂的意义运用科学记数法表示小于1的正数(重难点). 一师一优课 一课一名师 (设计者: ) 一、创设情景,明确目标 纳米是非常小的长度单位,1纳米=10-9米,把1纳米的物体放到乒乓球上,就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体(物体之间的间隙忽略不计)? 二、自主学习,指向目标 1.自学教材第145页. 2.学习至此: 请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 用科学记数法表示小于1的正数 活动一: 思考: 10-1=____=0.1; 10-2=____=__0.01__; 10-3=____=__0.001__; 10-5=__0.00001__; 10-6=__0.000001__; 10-n=____. 反之: 0.00001==10( ) 0.0000256=2.56×=2.56×10-5 展示点评: 填空的依据是负整数指数幂的意义. 小组讨论: 用科学记数法表示小于1的正数: a×10n,如何确定a的值和n的值,你有什么好方法? 反思小结: 同《学生用书》中反思归纳. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 科学记数法的简单运用 活动二: 纳米是非常小的长度单位,1纳米=10-9m,把1纳米的物体放到乒乓球上,就如同把乒乓球放到地球上.1mm3的空间可以放多少个1立方纳米的物体(物体之间的间隙忽略不计)? 展示点评: 先把不同的长度单位转化成相同的长度单位,1mm=10-3m,1纳米=10-9m,再求出体积进行比较. 小组讨论: 用科学记数法表示绝对值较小的数的关键是什么? 反思小结: 用科学记数法表示绝对值较小的数的关键是确定a和n. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理,内化目标 1.自主学习时,你的疑问是否得到解决? 2.知识小结——用科学记数法表示小于1的正数: a×10n,1≤a≤10,n的值是此数第一个非零数字前面0的个数的相反数(含小数点前面的0) 五、达标检测,反思目标 1.用科学计数法把0.000009405表示成9.405×10n,那么n=__-6__. 2.地球上陆地的面积为149000000平方公里,用科学记数法表示为__1.49×108平方公里__. 3.将下列各数用小数表示: -1.68×10-5=__-0.0000168__,2-2×10-3=__2.5×10-4__. 4.下列各式中,错误的是(D) A.0.001=10-3 B.=103 C.3000=3×103D.(-0.01)-3=106 5.计算: (1)(3×10-8)×(4×103) 解: 原式=(3×4)×(10-8×103) =12×10-5 =1.2×10-4 (2)(2×10-3)2÷(10-3)3 解: 原式=22×10-6÷10-9 =4×103 1.上交作业 课本第147页第8、9题. 2.课后作业 见《学生用书》.
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