轴对称与垂直平分线的性质与判定学生版Word格式文档下载.docx
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如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称.如下图,△ABC是轴对称图形.
知识点2两个图形轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就是说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
如下图,△ABC与△A′B′C′关于直线
对称,
叫做对称轴.A和A′,B和B′,C和C′是对称点.
轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系:
轴对称图形
两个图形轴对称
区别
图形的个数
1个图形
2个图形
对称轴的条数
一条或多条
只有1条
联系
二者都的关于对称轴对称的
知识点3对称轴的性质
对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.即:
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
知识点4线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
如图,直线
经过线段AB的中点O,并且垂直于线段AB,则直线
就是线段AB的垂直平分线.
知识点5线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
如图14-5,点P是线段AB垂直平分线上的点,则PA=PB.
知识点6线段垂直平分线的判定
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
知识点7成轴对称的两个图形的对称轴的画法
如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此,我们只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴.
知识点7成轴对称的两个图形的主要性质
1、成轴对称的两个图形全等
2、如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线
例题精讲
版块一轴对称与轴对称图形
☞轴对称图形的识别
【例1】如图12-112所是小方画的正方形风筝图案,她以图中的对角线所在直线为对称轴,在对角线的下方画一个三角形,使得新的风筝图案成为轴对称图形,若如图12-113所示的图形中有一图形为此轴对称图形,则此图为()
【例2】判断下列图形(如图所示)是不是轴对称图形.
【例3】将一张矩形纸对折,然后用笔尖在上面扎出一个“B”,再把它辅平,你可以看到(
)
【例4】(2003海淀区)羊年话“羊”字象征着美好和吉祥,下列图案都与“羊”字有关,其中是轴对称图形的个数是()
A.1;
B.2;
B.3;
D.4
【例5】(2004泸州)下列各种图形不是轴对称图形的是()
☞轴对称的性质
【例6】下列命题中:
①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形;
②等腰三角形的对称轴是底边上的中线;
③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线;
④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.正确的说法有( )个
A.1个B.2个C.3个D.4个
【例7】已知∠AOB=30°
,点P在∠AOB的内部,P1与P关于OA对称,P2与P关于OB对称,则△P1OP2是( )
A.含30°
角的直角三角形;
B.顶角是30的等腰三角形;
C.等边三角形D.等腰直角三角形.
【例8】已知△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称,且BC与B1C1交与直线MN上一点O,则( )
A.点O是BC的中点B.点O是B1C1的中点
C.线段OA与OA1关于直线MN对称D.以上都不对
【例9】如图直线MN表示一河流,在河流的一侧有A、B两村庄,现要在MN上修建一个排水站,问排水站修在何处最省钱。
【例10】一面镜子MN竖直悬挂在墙壁上,人眼O的位置.如图所示,有三个物体A、B、C放在镜子前面,人眼能从镜子看见哪个物体?
【例11】(2014•聊城)如图,点P是∠AOB外的一点,点M,N分别是∠AOB两边上的点,点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上,点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上.若PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,则线段QR的长为( )
A.4.5B.5.5C.6.5D.7
【例12】(2011万州区模拟)如图,点A和点B相距60cm,且关于直线L对称,一只电动青蛙在距直线20cm,距点A为50cm的点P1处,按如下顺序循环跳跃,最后青蛙与直线L相距20cm,则青蛙可能跳跃了( )次.
A.2011B.2010C.2009D.2006
【例13】如图:
已知,P为∠AOB内一点,分别作出点P关于OA,OB的对称点P1,P2,连P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=5cm,求△PMN的周长.
☞轴对称和折叠
【例14】有一本书折了其中一页的一角,如图:
测得AD=30cm,BE=20cm,∠BEG=60°
,求折痕EF的长.
【例15】(2001福州)两个全等的三角板,可以拼出各种不同的图形,图中已画出其中一个三角形,请你分别补出另一个与其全等的三角形,使每个图形分别成不同的轴对称图形(所画三角形可与原三角形有重叠部分).
【例16】数学课上,老师让同学们按要求折叠长方形纸片.
第一步:
先将长方形的四个顶点标上字母A,B,C,D(如图);
第二步:
折叠纸片,使AB与CD重合,折出纸痕MN,然后打开铺平;
第三步:
过点D折叠纸片,使A点落在折痕MN上的A′处,折痕是DL.这时,老师说:
“A′L的长度一定等于LD的一半.”同学们经过测量果然如此.为了解开其中的奥秘,老师设置了几个思考题,请同学们完成:
(1)△ALD与△A′LD关于LD对称吗?
(2)AD=A′D吗?
∠ADL=∠A′DL吗?
∠LA′D是直角吗?
(3)连接AA′,△A′AN与△A′DN对称吗?
(4)A′A=A′D吗?
△A′AD是什么三角形?
(5)请同学们完整地说明A′L=
LD的理由.
☞画轴对称图形和对称轴
【例17】如图①所示,给出了一个图案的一半,其中的虚线就是这个图案的对称轴,请画出这个图案的另一半.
【例18】如图所示,已知△ABC和直线MN.求作:
△A′B′C′,使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称.(不要求写作法,只保留作图痕迹)
【例19】(2003,南宁市)尺规:
把右图(实线部分)补成以虚线L为对称轴的轴对称图形,你会得到一只美丽蝴蝶的图案(不用写作法、保留作图痕迹).
☞镜面对称
【例20】小明从镜子里看到对面电子钟示数的影像如图,这时的时刻应是(
).
A.21:
10
B.10:
21
C.10:
51
D.12:
01
【例21】如图,平面直角坐标系中,A(0,x)、B(y,0)、C(z,0),在B、C两点各有一个平面镜,其中在B点的平面镜沿x轴方向,从P点发射两条光线PA、
PB,反射光线BD经A点和反射光线CD相交.
(1)若x、y、z满足(2x+y-1)2+|y+z-1|=-(z-2)2,求△ABC的面积;
(2)若两条入射光线PA、PB的夹角(∠BPC)为28°
,要想让两条反射光线
BD、CD的夹角(∠BDC)为36°
,问平面镜MN与x轴夹角的度数.
【例22】如图,平面直角坐标系中,直线BD分别交x轴、y轴于B、D两点,A、C是过D
点的直线上两点,连接OA、OC、BD,∠CBO=∠COB,且OD平分∠AOC.
(1)请判断AO与CB的位置关系,并予以证明;
(2)沿OA、AC、BC放置三面镜子,从O点发出的一条光线沿x轴负方向射出,经AC、CB、OA反射后,恰好由O点沿y轴负方向射出,若AC⊥BD,
求∠ODB;
(3)在
(2)的条件下,沿垂直于DB的方向放置一面镜子l,从射线OA上任意一点P放出的光线经B点反射,反射光线与射线OC交于Q点,OQ交BP于M点,给出两个结论:
①∠OMB的度数不变;
②∠OPB+∠OQB的度数不变.可
以证明,其中有且只有一个是正确的,请你作出正确的判断并求值.
版块二垂直平分线的性质及判定
☞垂直平分线的性质
【例23】△ABC中,AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,若∠BAC=115°
,则∠EAF=___________.
【例24】(2010•烟台)如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°
.线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则∠CBE等于( )
A、80°
B、70°
C、60°
D、50°
【例25】(2010•烟台)如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°
A、80°
【例26】(2010•台湾)如图,直线CP是AB的中垂线且交AB于P,其中AP=2CP.甲、乙两人想在AB上取两点D、E,使得AD=DC=CE=EB,其作法如下:
(甲)作∠ACP、∠BCP之角平分线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求;
(乙)作AC、BC之中垂线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确( )
A、两人都正确B、两人都错误
C、甲正确,乙错误D、甲错误,乙正确
【例27】(2004•湖州)已知如图,在△ABC中,BC=8,AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC与E,则△ADE的周长等于 .
【例28】(2002•广西)如图,△ABC的周长为19cm,AC的垂直平分线DE交BC于D,E为垂足,AE=3cm,则△ABD的周长为 cm.
【例29】如图,△ABC中,EF垂直平分AB,GH垂直平分AC,设EF与GH相交于O,则点O与边BC的关系如何?
请用一句话表示:
.
【例30】如图,已知:
△ABC中,BC<AC,AB边上的垂直平分线DE交AB于D,交AC于E,AC=9cm,△BCE的周长为15cm,求BC的长.
【例31】(2014•江西样卷)在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,D为BC中点,CE⊥AD于E,BF∥AC交CE的延长线于F.
(1)求证:
△ACD≌△CBF;
(2)求证:
AB垂直平分DF.
【例32】(2010•娄底)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证:
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
【例33】(2011•新昌县模拟)如图,利用尺规求作所有点P,使点P同时满足下列两个条件:
①点P到A,B两点的距离相等;
②点P到直线l1,l2的距离相等.(要求保留作图痕迹,不必写出作法)
【例34】(2011•白云区一模)在△ABC中,AB边的垂直平分线交直线BC于点D,垂足为点F,AC边的垂直平分线交直线BC于点E,垂足为点G.
(1)当∠BAC=100°
(如图)时,∠DAE=.;
(2)当∠BAC为一任意角时,猜想∠DAE与∠BAC的关系,并证明你的猜想.
课后练习
【题1】(2013•三明)下列图形中,不是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
【题2】(2013•宁夏)如图,正三角形网格中,已有两个小正三角形被涂黑,再将图中其余小正三角形涂黑一个,使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 种.
【题3】(2013凉山州)如图,∠3=30°
,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时,必须保证∠1的度数为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
【题4】(2014•台湾)如图,锐角三角形ABC中,直线L为BC的中垂线,直线M为∠ABC的角平分线,L与M相交于P点.若∠A=60°
,∠ACP=24°
,则∠ABP的度数为( )
A.24B.30C.32D.36
【题5】(2013•十堰)如图,将△ABC沿直线DE折叠后,使得点B与点A重合.已知AC=5cm,△ADC的周长为17cm,则BC的长为( )
A.7cmB.10cmC.12cmD.22cm
【题6】(2011•绍兴)如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于的
AB的长为半径画孤,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为( )
A、7B、14C、17D、20
【题7】(2013•郴州)在图示的方格纸中
(1)作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1;
(2)说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的?
【题8】(2012四川凉山8分)在学习轴对称的时候,老师让同学们思考课本中的探究题。
如图
(1),要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
你可以在l上找几个点试一试,能发现什么规律?
你可以在
上找几个点试一试,能发现什么规律?
聪明的小华通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线(图
(2)),问题就转化为,要在直线l上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的:
①作点B关于直线l的对称点B′.
②连接AB′交直线l于点P,则点P为所求.
请你参考小华的做法解决下列问题.如图在△ABC中,点D、E分别是AB、AC边的中点,BC=6,BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点P,使△PDE得周长最小.
(1)在图中作出点P(保留作图痕迹,不写作法).
.
【题9】光线以如图所示的角度a照射到平面镜I上,然后在平面镜I、Ⅱ之间来回反射.已知∠α=60°
,∠β=50°
,求∠γ.
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- 轴对称 垂直平分线 性质 判定 学生