单球面物象折射公式及其应用Word下载.docx
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,PMl,MP'
l'
则PMP的光程为
设主光轴上面顶点0的左方有一真实发光点P,他发出的同心光束的任意一条光
线自左向右入射到刀面上的M点,相应的折射与主轴交与P'
点.以球面顶点0为计
MOC.
PMP'
=nlnT
在PMC和MCP'
中应用余弦定理,并注意
COSCOS
l'
7s'
r2r^2rs'
rcos
根据费马原理,光程变化率应为0,
式(2-2)
代入PMP,的表达式进行求导,有
经计算整理后可得到
给定s和可由式(2-3)定出.一般来说,s'
与有关,这意味着由同一P点发出的同心光束中的各条光线,经刀面折射后,不再汇交与一点,即球面折射破坏了光束的同心性,使轴上发光点不能成像.有两种特殊情况值得注意.其一,令式(2-3)两端同时等于零,即
—=0n'
2(s'
r)
求解这组联立方程的解,从而把s和S同时确定下来,它们均与无关,此时的P和P'
是一对特殊的共轭点,称为球面折射的齐明点或不晕点.对一对齐明点,宽光束经球面折射后仍能成像.其二是把光束限制在近轴区域内,即cos1,此种的讨论,详见下文.
2.2近轴光线的单球面折射
2.2.1物象距公式
在近轴光线的条件下,值很小,在一级近似下,cos1,因此式(2-3)中的
(1cos)0,s'
与近似无关,则有
将上面等式两端同时开放,经数学处理后,可得如下简单关系式:
式(2-7)
n'
nn'
ns'
sr
上式表明,在n、n'
和r给定的条件下,在近轴区,轴上物点P经球面刀折射后可在轴上得一相应的像点P'
.从球面顶点0到像点P'
的距离s'
称为像距;
从球面顶点0到P的距离s称为物距;
和n分别称为像方折射率和物方折射率,式(2-7)称为球面折射近轴成像的物象距公式.此式对凹球面同样成立.
2.2.2焦距公式
如果位于主轴上的物点位置改变,则与之共轭的像点在主轴上的位置必有相应
改变.轴上无限远处物点的共轭像点称为折射面的像方焦点,记作F'
;
面顶点0到像
当F'
在0点右方时f'
>
0,在0点左方时f'
v0;
f<
0.
方焦点F'
的距离称为像方焦距,记作f'
轴上无限远处像点的共轭物点称为折射球面的物方焦点,记作F;
球面顶点O到物方焦点F的距离称为物方焦距,记作f.由前文关于物距、像距的的符号规则可知:
当F在O点左方时f>
0,在O点右方时根据式(2-7)及上述焦点的定义,可知:
时
nr
当s'
式(2-9)
n
可见,折射球面的两个焦距与它的几何形状(r)及其两侧介质折射率(n,n'
)有关,由式(2-8)和式(2-9)可得两个焦距之比为
式(2-10)
上式表明,折射球面的两个焦距数值一般不等,但符号相反,因此,相应的两个焦点必定分居球面顶点两侧不等距离处.
如图2所示,主轴上的P、P'
是一对共轭点.设想将主轴绕折射球面曲率中心C并在图面内沿顺时针方向旋转一小角度,主轴变成副轴,P、P'
点分别转到Q、Q'
点.由于球对称性,Q、Q'
必然也是一对共轭点,这就证明了近轴物点可以成像.由于角很小(在近轴区),可以认为弧PQPQ,弧P'
Q'
Pd,且QP和QP'
近似地垂直于主轴,P、P'
点分别是Q、Q'
点在主轴上的的垂足,所以s和s'
分别为近轴物点Q的物距和像点Q'
的像距,它们满足式(2-7).
近轴物点及其共轭像点到主轴的距离分别为物高和像高,用y和y'
表示.引入横
向放大率,其定义为像高和物高之比,即
式(2-11)
在近轴区的条件下,sinii,又由折射定律,可得
即有
由式(2-11),可以得到横向放大率公式
ns
式(2-14)
3.单球面物像折射公式的应用
3.1高斯公式的推导
把式(2-8)和式(2-9)代入式(2-7)可得,
式(3-1)
我们把物距和像距分别从物方焦距和
x表示;
像点在F'
之右的,像距F'
P用
如图4,在确定物点P和像点P'
的位置后,像方焦距算起.物点在F之左的,物距FP用x'
表示.反之亦然.这样就有
s'
X'
f'
Xf1
XX'
ff'
式(3-2)
此式便是牛顿公式.
3.3近轴光线单球面反射公式的推导
对于反射情况,这里利用焦距和折射率的关系,从两方面入手进行讨论与推导.
下面先就焦距与折射率的关系开始进行讨论.
关于焦距和折射率的关系,已在上文中给出了具体的关系式,即式(2-10).
在球面反射的情况中,物空间与像空间重合,且反射光线与入射光线的传播方向恰恰相反.这一情况,在数学处理上可以认为像方介质的折射率n'
等于物方介质折射率n
的负值,即
于是由式(2-10)可得
式(3-4)
f'
f
第一方面,从单球面物像折射公式进行讨论.
在上文,已经由费马原理推出了单球面物像折射公式,即式(2-7).把式(3-3)代入式
(2-7)可得
式(3-5)
1
s
在上式中,对于r一定的球面,只有一个s'
和给定的s对应,此时存在确定的像点,
当s时,s'
r/2,则由式(3-3)可得反射球面的焦距,为
r
-
2
的符号取决于r,亦遵循符号法则.同样适用于凸球面反射的情况.
带入式(3-5)得到
可见,此式与式(3-6)相同,为单球面反射物像公式,同样适用于凸球面
3.4近轴光线条件下薄透镜的成像公式
如图6,薄透镜是由两个曲率半径分别为r1和r2的折射球面组成的,透镜的厚度为d,折射率为n,透镜两端的折射率分别记作n1和n2•若在主轴上有一点光源P,发出的一条光线PA经透镜折射后,交与主轴P'
点,令
图6薄透镜主平面内的光线
对第一个折射凸面,设此时的像距为s1'
则由式(2-7)可得
式(3-7)
nn1nm
S1'
sr1
由式(2-7)可得
对于薄透镜,dS1'
,所以由式(3-8)可得到S2'
S1'
,从而,对式(3-9)有
由式(3-8)和式(3-9)联立可解得
式(3-11)
n2n
s
对式(3-11)
式(3-12)
fn7M
「1
时,便可得到像方焦距
式(3-14)
式(3-14)便是得到得薄透镜的高斯物像公式.
3.5近轴光线单球面折射公式和高斯公式及牛顿公式的应用比较
例一:
如图7所示,一个折射率n'
1.6的玻璃哑铃,长20cm,两端的曲率半径
5cm
1.61
图7近轴光线在玻璃哑铃中的折射
A:
用物像公式直接求解
分析:
这个由哑铃构成的光系统可以看成有两个球界面的共轴光具组所构成的光系统,所以我们可以对两个球面沿光的传播方向逐个进行分析.
对第一个折射面,相当于一个凸球面,按照符号法则,
有
r2cm,s1
并且n'
1.6,n1.0.因此,由式(2-7)可得到
5
解得
16cm
0,像和物在折射面的两侧,所以是实像.对于第二个折射面,相当于一个凹球面,按符号法则,有
r2cm,s21620cm4cm
1.0,n1.6,因此又由式(2-7)可得到
1.611.6
10cm,
'
0,所以最后一个为虚像,并落在哑铃中间.
B:
用牛顿公式求解
据题意,由式(2-8)和式(2-9)可得哑铃左端的物方焦距和像方焦距分别为
r
1
f1
cm
1.6c2cm1.61
3.33cm
5.33cm
物离物方焦点的距离为
X1
Si
1.67cm
代入式(3-2)可得
x'
f1f'
10.67cm
Xi
故像距为
116cm
同样,对于哑铃右端的球界面,其物方焦距和像方焦距分别为n'
1n'
r5.33cm
物距为
像离物方焦点的距离为
S2
X2
20cm
4cm
f21.33cm
2空
13.33cm
2x'
2f'
210cm
单球面物像折射公式推导出来的牛顿公式和高斯公式解决问题也是较为方便的体现了单球面折射公式的重要性.
结论
由费马原理推导出来的单球面物像折射公式,以及基于此公式推导出的一些物像公式揭示了单球面成像的一般规律,对共轴球面系统提供了成像的理论依据及其一般的成像规律.因此,推导单球面物像折射公式有着及其重要的价值和意义.
参考文献
[1]姚启钧.光学教程.北京:
高等教育出版社.2008.
[2]蔡履中.光学.北京:
科学出版社.2007.
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