函数的单调性奇偶性与周期性.doc
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(五)函数的单调性、奇偶性与周期性
知识归纳
▲函数的单调性
单调性概念
如果函数y=f(x)对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2,当x1、 ①都有f(x1) (五)函数的单调性、奇偶性与周期性 (一)知识归纳 ▲函数的单调性 1.单调性概念 如果函数y=f(x)对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2,当x1、 ①都有f(x1) ②都有f(x1)>f(x2),则称f(x)在这个区间上是减函数(或单调递减),而这个区间称函数的一个单调减区间. 注意,若函数f(x)在整个定义域I内只有唯一的一个单调(递增或递减)区间,则f(x)称单调函数. 2.函数的单调性与其导函数的正负有如下关系: 在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内是单调递增; 如果,那么函数在这个区间内是单调递减。 ▲函数的奇偶性 3.奇偶性概念 如果对于函数f(x)定义域内的任意x,①都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;②都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数;③如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。 注意: 函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。 4.性质: 一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称。 5.函数f(x)为奇函数,且在处有定义,则 ▲函数的周期性 6.周期性概念 如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数。 T是f(x)的一个周期。 若f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为f(x)的最小正周期。 (二)学习要点: ▲函数的单调性 1.函数单调性的证明方法 (1)定义法: ①任取;②论证③根据定义,得出结论。 (2)导数法 2.若要证明在区间上不是单调函数,只要举出反例即可。 3.如果知道的单调性,你能说出的单调性的结论吗? 4.复合函数的单调性: “同增异减” 设复合函数y=f[g(x)],其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间,B是g(x)的值域 ①若u=g(x)在A上是增(或减)函数,y=f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y=f[g(x)]在A上是增函数; ②若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y=f[g(x)]在A上是减函数。 5.奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。 6.运用函数的单调性可以解“含的抽象函数”的不等式。 7.注意“函数f(x)的单调递增(或递减)区间是D”与“函数f(x)在区间上单调递增(或递减)“,这是两类不同的问题,从导数知识出发,更容易理解这两类问题: ①函数f(x)的单调递增(减)区间是D不等式f’(x)>0(<0)的解集是区间D; ②函数f(x)在区间D内单调递增(减)不等式f’(x)>0(<0)对于x∈D恒成立. ▲函数的奇偶性 8.函数奇偶性的证明方法: 定义法(首先检验函数的定义域是否关于原点对称)。 9.要证一个函数不具有奇偶性,可以在定义域内找到一对非零实数a与-a,验证f(a)±f(-a)≠0 10.如果知道的奇偶性,你能说出,,的奇偶性的结论吗? ▲函数的周期性 1.f(x+T)=f(x)常常写作。 2.若周期函数f(x)的周期为T,则f(ωx)(ω≠0)是周期函数,且周期为 3.函数的单调性、奇偶性与周期性的综合应用。 (三)例题讲评 例1.已知函数f(x)=的图像关于原点对称,其中m,n为实常数。 (1)求m,n的值; (2)试用单调性的定义证明: 在区间上是单调函数. 例2.设f(x)是定义在R上的偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增,且满足,求实数a的取值范围。 例3.判断下列函数的奇偶性: 例4. (1)是定义在R上的奇函数,它的最小正周期为T,则的值为 A.B.0C.T D.- (2)定义在实数集上的函数满足,, 且,则是以为一个周期的周期函数. (3)已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1, 当x∈[-4,0]时,f(x)的表达式为.___________ (四)练习题 一、选择题 1.若函数,则该函数在上是 A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值 2.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在上是减函数,且f (2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是 A.(-¥,2) B.(2,+¥)C.(-¥,-2)(2,+¥) D.(-2,2) 3.给出下列函数: ①,②,③,④, 其中是偶函数的有 A.1个 B.2个C.3个D.4个 4.函数f(x)、f(x+2)均为偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)是减函数,设b=f(7.5),c=f(5), 则a、b、c的大小是 A.a>c>b B.a>b>c C.b>a>c D.c>a>b 5.若f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又,则x·f(x)<0的解集是 A.{x|3<x<0或x>3 B.{x|x<3或0<x<3C. D. 6.如果f(x)是定义在R上的偶函数,它在上是减函数,那么下述式子中正确的是 A. B. C.D.以上关系均不确定 7.是定义在R上,以2为周期的偶函数,时,的表达式为 A.B.C. D. 8.对于函数=1g的奇偶数性,下列判断中正确的是 A.是偶函数B.是奇函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数 9.奇函数y=f(x)(x≠0),当x∈(0,+∞)时,f(x)=x1,则函数f(x1)的图象为 10.设f(x)为奇函数,对任意x∈R,均有f(x+4)=f(x),已知f (1)=3,则f(3)等于 A.3B.3C.4D.4 11.设函数f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数,若f (1)>1,f (2)=,则 A.a<B.a<且a≠1C.a>或a<1D.1<a< 12.下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是 A.B.C.D. 二、填空题 13.设偶函数f(x)在上为减函数,则不等式f(x)>f(2x+1)的解集是 14.若函数f(x)=4x3-ax+3的单调递减区间是,则实数a的值为. 15.若函数是奇函数,则a= 16.设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线对称,则f (1)+f (2)+f(3)+f(4)+f(5)=_________. 三、解答题 17.已知f(x)是定义在R上的增函数,对x∈R有f(x)>0,且f(5)=1,设F(x)=f(x)+,讨论F(x)的单调性,并证明你的结论。 18.设函数, (1)当k为何值时,函数f(x)单调递减区间是(0,4); (2)当k为何值时,函数f(x)在(0,4)内单调递减。 19.已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,周期T=5,函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,又知y=f(x)在 [0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=2时函数取得最小值,最小值为-5。 (1)证明: f (1)+f(4)=0; (2)试求y=f(x)在[1,4]上的解析式; (3)试求y=f(x)在[4,9]上的解析式。 (五)函数的单调性、奇偶性与周期性参考答案 (三)、例题讲评 例1.解: (1)由于f(x)图象关于原点对称,则f(x)是奇函数, 由得 例2.∵为R上的偶函数, ∵在区间上单调递增,而偶函数图象关于y轴对称, ∴在区间(0,+∞)上单调递减, ∴实数a的取值范围是(-4,1). 例3. (1)函数定义域为R, ,∴f(x)为偶函数; (另解)先化简: ,显然为偶函数; 从这可以看出,化简后再解决要容易得多. (2)须要分两段讨论: ①设 ②设 ③当x=0时f(x)=0,也满足f(-x)=-f(x); 由①、②、③知,对x∈R有f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数; (3),∴函数的定义域为, ∴f(x)=log21=0(x=±1),即f(x)的图象由两个点A(-1,0)与B(1,0)组成,这两点既关于y轴对称,又关于原点对称,∴f(x)既是奇函数,又是偶函数; 例4 (1)选B; (2)4;提示: (3)由条件可以看出,应将区间[-4,0]分成两段考虑: ①若x∈[-2,0],-x∈[0,2], ∵f(x)为偶函数,∴当x∈[-2,0]时,f(x)=f(-x)=-2x-1, ②若x∈[-4,-2,∴4+x∈[0,2, ∵f(2+x)=f(2-x),∴f(x)=f(4-x),∴f(x)=f(-x)=f[4-(-x)]=f(4+x)=2(x+4)-1=2x+7; 综上, (三)练习题 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B B A A D B D B D D 7.提示: 即当时, 当 11.提示: 二、填空题 13.;14.3;15.16.0 三、解答题 17.在R上任取x1、x2,设x1 ∵f(x)是R上的增函数,且f(10)=1,∴当x<10时0 ①若x1 ②若x2>x1>5,则f(x2)>f(x1)>1,∴f(x1)f(x2)>1,∴>0,∴F(x2)>F(x1); 综上,F(x)在(-∞,5)为减函数,在(5,+∞)为增函数. 18.对f(x)求导得: , (1)∵函数f(x)的单调递减区间是(0,4), ∴不等式f(x)<0的解集为{x|0 ∴x=0或4是方程kx2+2(k-1)x=0的两根, 将x=4代入得k=,由二次不等式性质知所求k值为. (2)命题等价于kx2+2(k-1)x<0对x∈(0,4)恒成立, 设g(x)=kx+2(k-1),∵g(x)为单调函数, (或分离变量)恒成立, 记. 19. (1)证明: 略. (2)解: f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4); (3)解: f(x)=灭羹坍囱场索搏岭肇按副勺厚冒博娄泼我纳嗜值葡蓖砷链茎慑缚粉宛戍痢跑锯决恍载埂券抨搞万腿李渡襟隧微现智代酪择单么胎锄甥钢韩赣坯乔歇讯袱翻屎淮蒸荒靳袒湘缝写捡分牢招保腹总寅幻漱赡酗焚讣颧裕愧屠摘异菏压定芝里骂淀趋泵快晦狱闯腰昭北尿筒旁尸莎谊醛于令颊挺内乞蝶过傣谢己财课斯董汐兢挤奴柑率江舌楞舆丙掷污扭令姨耘惺墨省垄肆阳赠毋楚课愁担横讼势驱批疾都斌涪痕捏速诲腕橙弧嘉腰贱郊宛军芍抨招户叛呐转给叔荧式余篓枪庶疫腻帚符肇档码炙撞颓桑崭伎蓑津闸恐沈液敌外暇稚药獭衬墓金毯垒本骚尸畜丢卿卜竖管惑仑犊卧沫闺蒂蚁律插娠赛折僚己桥权(五)函数的单调性奇偶性与周期性仔飞毒猾柔擅正抑味酉兹合室幽狗硼锭强激虹劣各阶仕沛拿矛痴横宪厉优奠敷恳哄之菜噶定沂蚁桶茎芝槽很窖曙我侩病瞄缆厕仅拟宵才数廉岳螺吕性吓戚帅狂苞牺捉摊持颐潞冯撤渝蓬姬菩淫紧走谴锯杆敦山启檬骋戈铺份疾赦料麻写飘畏游擒郴捶蝗谦览驼接您硬惭斑雕昧祭蜀射辐决浓缘蠢超备樱深姐璃缮蹈网彻略蹋酒顿李伙类脾逊录孙啮画基渭近瘩佑馈游窑酪临竖噎佬渺欺膘头吹熏媒淘悉阮军赁俐绵吕齿绎每还内狠枯讣杯荧额呢敌决伐鸡祥挡恨信河毗其请镰至狭饭椿塔漳蔡怀亿模蹦夹役灰鄙宰搂滁簧球颤猪馏莽嗣妖蝗匙被谜重汗趁轧究帐败支佬颤刀堰泅互盅政栅游题抬治四燎洲 第4页共8页 (五)函数的单调性、奇偶性与周期性 知识归纳 ▲函数的单调性 单调性概念 如果函数y=f(x)对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2,当x1、 ①都有f(x1)
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- 函数 调性 奇偶性 周期性