数列的函数特性教学案Word文档格式.docx
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除了作差比较外,也可以采用作商的方法,作商时,首先应明确数列的项an的符号,将其商与1进行比较,从而确定数列的单调性,对于多项式应进行因式分解,对于根式,进行分子(或分母)有理化.
借助于数列图像的直观性,证明数列的单调性.
知能自主梳理
.几种数列的概念
(1)数列按照项与项之间的大小关系可分为 数列, 数列, 数列和 数列.
(2)一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即 ,那么这个数列叫做 数列;
(3)一个数列,如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项,即 ,那么这个数列叫做 数列;
(4)一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫做 数列;
(5)如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫做 数列.
2.数列的递推公式
如果已知数列的 ,且从第二项(或某一项)开始的 与它的
间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的
公式.
3.an与Sn的关系
S1
若数列{an}的前n项和记为Sn,即Sn=a1+a2+…+an,则an=
[答案] 1.递增 递减 摆动 常
(2)an+1&
an 递增 an+1&
an 递减 (4)摆动(5)常
2.第1项 任一项an 前一项an-1 递推
3.Sn-Sn-1
思路方法技巧
命题方向 数列表示法的应用
[例1] 根据数列的通项公式填表:
n
2
…
5
an
53
3
画出数列{an}的图像,其中an=3n-1.
[分析] 根据数列的通项公式,代入相应的n值得到所求的项,解关于n的方程得项对应的n值.
在直角坐标系下,描出点.
[解析] 由第n项可知此数列的通项公式为:
an=3,
所以a1=3×
=21,a2=3×
=33,a5=3×
=69.
令3=153,解得n=12.
故填充完整的表格为:
21
33
69
∵an=3n-1,列表:
4
9
27
在直角坐标系中图像如下:
[说明] 列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系,比较直观,但它只能表示有限个元素之间的对应关系;
数列an=3n-1的图像是函数y=3x-1上的无穷多个孤立的点.
变式应用1 已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,作出该数列的图像.
[解析] 分别取n=1,2,3,…,得到点(1,1),,,…,描点作出图像.如图,它的图像是直线y=2x-1上的一些等间隔的点.
命题方向 数列单调性的判断
[例2] 已知函数f=2x-2-x,数列{an}满足f=-2n.
求数列{an}的通项公式;
(2)求证数列{an}是递减数列.
[分析]
(1)已知函数关系式,由条件可得出2log2an-2-log2an=-2n,解这个关于an的方程即可;
(2)只需证明an+1-an&
0或&
1即可.
[解析]
(1)∵f=2x-2-x,f=-2n,
∴2log2an-2-log2an=-2n,an-=-2n,
∴an2+2nan-1=0,解得an=-n±
.
∵an&
0,∴an=-n.
(2)=
=&
1.
即{an}是递减数列.
[说明] 我们常把递增数列和递减数列统称为单调数列,由于数列可看作是一个特殊的函数,因此,判断函数性质的方法同样适用于数列.比较an与an+1大小的常用方法有:
①作差法:
若an+1-an&
0,则数列{an}是递增数列;
0,则数列{an}是递减数列.②作商法:
若&
1,则数列{an}是递增数列;
1,则数列{an}是递减数列.
变式应用2 写出数列1,
,,,,…的通项公式,并判断它的增减性.
[解析] 该数列的通项公式为an=,
∴an+1-an=-=.
∵n∈N+,∴&
0,
∴an+1&
an,∴该数列为递减数列.
命题方向 数列中最大项与最小项的求法
[例3] 求数列{-2n2+9n+3}中的最大项.
[分析] 由通项公式可以看出an与n构成二次函数关系,求二次函数的最值可采用配方法.此时应注意自变量n为正整数.
[解析] 由已知an=-2n2+9n+3=-22+.
由于n为正整数,故当n=2时,an取得最大值为13.
所以数列{-2n2+9n+3}的最大值为a2=13.
[说明] 数列的项与项数之间构成特殊的函数关系,因此有关数列的最大项与最小项问题可用函数最值的求法去解决,但要注意函数的定义域为正整数集这一约束条件.
变式应用3 已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.
数列中有多少项是负数?
(2)n为何值时,an有最小值?
并求出最小值.
[解析]
(1)由n2-5n+4&
0,解得1&
n&
4.
∵n∈N+,∴n=2,3.
∴数列有两项是负数.
(2)∵an=n2-5n+4=(n-)2-,可知对称轴方程为n==2.5.
又∵n∈N+,∴n=2或3时,an有最小值,其最小值为22-5×
2+4=-2.
探索延拓创新
命题方向 数列的实际应用题
[例4] 在一次人才招聘会上,有A、B两家公司分别开出它们的工资标准:
A公司允诺第一年月工资1500元,以后每年月工资比上年月工资增加230元,B公司允诺第一年月工资为XX元,以后每年月工资在上年月工资的基础上增加5%,设某人年初被A、B两家公司同时录取,试问:
该人在A公司工作比在B公司工作月工资收入最多可以多多少元?
并说明理由.
[分析] 根据题意,先建立实际问题的数学模型,根据建立的函数模型解决问题.由于自变量n∈N+,函数解析式可以看作数列的通项公式,因此可运用数列的单调性求解.
[解析] 设在A公司月工资为an,在B公司月工资为bn,则
问题等价于求cn=an-bn=1270+230n-XX×
1.05n-1的最大值.
当n≥2时,cn-cn-1=230-100×
1.05n-2;
当cn-cn-1&
0,即230-100×
1.05n-2&
0时,1.05n-2&
2.3,得n&
19.1.
因此,当2≤n≤19时,cn-1&
cn,
于是当n≥20时,cn&
cn-1.
所以c19=a19-b19≈827.
即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元.
[说明] 数列是一种特殊的函数,定义域为正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,数列的通项公式就是相应的函数解析式,因此,用函数的观点去考察数列问题也是一种有效的途径.
变式应用4 某企业由于受XX年国家财政紧缩政策的影响,预测XX年的月产值(万元)组成数列{an},满足an=2n2-15n+3,问第几个月的产值最少,最少是多少万元?
[解析] 由题意知,实质是求数列{an}的最小项.
由于an=2n2-15n+3=2(n-)2-,
图像如图所示,由图像知n=4时,a4最小,a4=-25,即第4个月产值最少,最少为-25万元.
名师辨误做答
[例5] 已知an=a&
#8226;
()n,试判断数列{an}的单调性.
[误解] ∵an-an-1=a()n-a()n-1=-a()n&
∴数列{an}为递减数列.
[辨析] 错误原因是误认为a&
0,其实对非零实数a应分a&
0和a&
0两种情况讨论.
[正解] ∵an-an-1=-a()n,
∴①当a&
0时,an-an-1&
0,∴an&
an-1,
∴数列{an}是递减数列.
②当a&
∴数列{an}是递增数列.
课堂巩固训练
一、选择题
.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1,则a6=( )
A.7 B.11 c.16 D.17
[答案] c
[解析] ∵a1=1,an-an-1=n-1,
∴a2-a1=1,∴a2=a1+1=2,
∴a3-a2=2,∴a3=a2+2=4,
∴a4-a3=3,∴a4=a3+3=7,
∴a5-a4=4,∴a5=a4+4=11,
∴a6-a5=5,∴a6=a5+5=16.
2.数列{an}中,an=-n2+11n,则此数列最大项的值是( )
A.
B.30 c.31 D.32
[答案] B
[解析] an=-n2+11n=-(n-)2+,
∵n∈N+,∴当n=5或6时,an取最大值30,故选B.
3.一给定函数y=f的图像在下列图中,并且对任意a1∈,由关系式an+1=f得到数列{an}满足an+1&
an,则该函数的图像是( )
[答案] A
[解析] 由关系式an+1=f得到数列{an}满足an+1&
an,可得f&
an,即f&
x.故要使该函数y=f图像上任一点(x,y)都满足y&
x,图像必在直线y=x的上方,所以A正确.
说明:
借用函数的图像与性质来研究数列时,要注意函数的一般性及数列的特殊性之间的关系,不可不加区分,混为一谈,表达时要清楚明白,数列问题有时用图像来处理,往往可以使问题巧妙、简捷地获得解决.
二、填空题
4.已知f=2,f=
,则f= .
[答案]
[解析] ∵f=2,f=
,
∴f=
=,
f=
==,
==.
5.已知数列{an}中,an=an+m满足a1=2,a2=4,则a3= .
[答案] 2
2=a+m
a=2
a=-1
[解析] ∵a1=2,a2=4,∴
,∴
(舍去)或
,
4=a2+m
m=0
m=3
∴a3=3+3=2.
三、解答题
6.证明数列{}是递减数列.
[证明] 令an=,
∴an+1-an=-
=-
=-&
0,
an.所以数列{}是递减数列.
课后强化作业
.已知数列{an}满足an+1-an-3=0,则数列{an}是( )
A.递增数列 B.递减数列 c.常数列 D.不能确定
[答案] A
[解析] 由条件得an+1-an=3&
0可知an+1&
an,
所以数列{an}是递增数列.
2.设an=-n2+10n+11,则数列{an}的最大项为( )
A.5 B.11 c.10或11 D.36
[答案] D
[解析] ∵an=-n2+10n+11=-2+36,
∴当n=5时,an取最大值36.
3.数列{an}中,a1=0,以后各项由公式a1&
a2&
a3&
…&
an=n2给出,则a3+a5等于( )
B.
c.
D.
[解析] ∵a1&
an=n2,
∴a1&
a3=9,a1&
a2=4,∴a3=.
同理a5=,∴a3+a5=+=.
4.已知数列{an}的通项公式an=lg1536-lg2,则使得an&
0成立的最小正整数n的值为( )
A.11 B.13 c.15 D.12
[答案] D
[解析] lg1536-lg2n-1&
0,lg1536&
lg2n-1,
即2n-1&
1536,代入验证得答案为D.
5.已知数列{an}中,a1=1,a2=3,an=an-1+
,则a5=( )
c.4 D.5
[解析] a3=a2+=3+1=4.
a4=a3+=4+=.
a5=a4+=+=.
6.在数列{an}中,a1=1,an&
an-1=an-1+n,则的值是( )
B.
c.
D.
[答案] c
[解析] ∵a1=1,∴a2=1+1=2,a3a2=a2+3=2+=1,∴a3=,
又a3a4=a3+4,∴a4=3,
∵a4a5=a4+5=2,∴a5=,
∴==.
7.已知Sk表示数列的前k项和,且Sk+Sk+1=ak+1,那么此数列是( )
A.递增数列 B.递减数列 c.常数列 D.摆动数列
[解析] ∵ak+1=Sk+1-Sk=Sk+Sk+1,
∴Sk=0.
可知此数列每一项均为0,
即an=0是常数列.
8.已知数列{an}的通项公式为an=()n-1[()n-1-1],则关于an的最大项,最小项叙述正确的是( )
A.最大项为a1,最小项为a3
B.最大项为a1,最小项不存在
c.最大项不存在,最小项为a3
D.最大项为a1,最小项为a4
[解析] 令t=()n-1,则它在N+上递减且0&
t≤1,而an=t2-t,在0&
t≤时递减,在t≥时递增,且n=1时,t=1,n=2时,t=,n=3时,t=,n=4时,t=,且a4&
a3,故选A.
9.已知数列{an}的通项公式an=n2-4n-12(n∈N+),则
(1)这个数列的第四项是 ;
(2)65是这个数列的第 项;
(3)这个数列从第 项起以后各项为正数.
[答案] -12 11 7
[解析] a4=42-4×
4-12=-12.
令65=n2-4n-12,∴n2-4n-77=0,
∴n=11或n=-7.
故65是这个数列的第11项.
(3)令n2-4n-12&
0,得n&
6或n&
2.
∴这个数列从第7项起各项为正数.
0.已知数列{an}的通项an=
,则an与an+1的大小关系是 .
[答案] an+1&
an
[解析] ∵a,b,c均为实数,f=
=在上是增函数,故数列an=在n∈N+时为递增数列,∴an&
an+1.
1.已知{an}是递增数列,且对任意的自然数n,都有an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围为 .
[答案] λ&
-3
[解析] 由{an}为递增数列,得an+1-an=2+λ-n2-λn=2n+1+λ&
0恒成立,
即λ&
-2n-1在n≥1时恒成立,
令f=-2n-1,fmax=-3.
只需λ&
fmax=-3即可.
2.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n,关于该数列,有以下四种说法:
该数列有无限多个正数项;
该数列有无限多个负数项;
该数列的最大项就是函数f=-2x2+13x的最大值;
-70是该数列中的一项.
其中正确的说法有 .(把所有正确的序号都填上)
[答案]
[解析] 令-2n2+13n&
0,得0&
,故数列{an}有6项是正数项,有无限个负数项.当n=3时,数列{an}取到最大值,而当x=3.25时函数f取到最大值.
令-2n2+13n=-70,得n=10,或n=-(舍去).即-70是该数列的第10项.
3.已知数列1,2,,,,….
(1)写出这个数列的一个通项公式an;
(2)判断数列{an}的增减性.
[解析]
(1)数列1,2,,,,….可变为,,,,,….观察该数列可知,每一项的分母恰与该项序号n对应,而分子比序号n的3倍少2,∴an=.
∵an==3-,
∴an+1=3-,
∴an+1-an=3--3+=-=&
0,∴an+1&
an.故数列{an}为递增数列.
4.根据数列的通项公式,写出数列的前5项,并用图像表示出来.
an=n+2;
an=.
[解析] a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图像如图1.
a1=2,a2=,a3=,a4=,a5=.图像如图2.
5.已知数列{an},a1=2,an+1=2an,写出数列的前4项,猜想an,并加以证明.
[证明] 由a1=2,an+1=2an,得
a2=2a1=4=22,a3=2a2=2&
22=23,
a4=2a3=2&
23=24.
猜想an=2n.
证明如下:
由a1=2,an+1=2an,
得==…===2.
∴an=&
&
a1=2&
2…2&
2=2n.
6.已知函数f=
,设f=an.求证:
≤an&
[解析] 解法一:
因为an-1=-1=-&
an-=-=≥0,
所以≤an&
解法二:
an===1-&
1,
an+1-an=-
=
=.
由n∈N+得an+1-an&
0,即an+1&
an,
所以数列{an}是递增数列.
所以an的最小值为a1=,即an≥.
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