高中数学-函数零点问题.doc
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高中数学-函数零点问题.doc
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函数零点问题
[题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型,一般以选择题、填空题的形式考查,难度为中档.其考查点有两个方面:
一是函数零点所在区间、零点个数;二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围.
常考题型精析
题型一 零点个数与零点区间问题
例1
(1)(湖北)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( )
A.{1,3} B.{-3,-1,1,3}
C.{2-,1,3} D.{-2-,1,3}
(2)(北京)设函数f(x)=
①若a=1,则f(x)的最小值为________;
②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是________.
点评 确定函数零点的常用方法:
(1)若方程易求解时,用解方程判定法;
(2)数形结合法,在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手时,可以转化为某一易入手的等价问题求解,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
变式训练1 (东营模拟)[x]表示不超过x的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5.已知f(x)=x-[x](x∈R),g(x)=log4(x-1),则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
题型二 由函数零点求参数范围问题
例2 (天津)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为________.
点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法:
(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.
变式训练2 (北京东城区模拟)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=f(x).当x∈[0,1]时,f(x)=2x.若在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则实数a的取值范围是______.
高考题型精练
1.已知x1,x2是函数f(x)=e-x-|lnx|的两个零点,则( )
A. C.1 2.(天津)已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.(福州模拟)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( ) A.,0 B.-2,0 C. D.0 4.函数f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 5.设函数f(x)=4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( ) A.[-4,-2] B.[-2,0] C.[0,2] D.[2,4] 6.(课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( ) A.(2,+∞) B.(-∞,-2) C.(1,+∞) D.(-∞,-1) 7.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0 A.1-2a B.2a-1 C.1-2-a D.2-a-1 8.(北京朝阳区模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,则实数k的取值范围是__________. 9.已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1),当2 10.方程2-x+x2=3的实数解的个数为________. 11.(江苏)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为________. 12.已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,且在[-1,3]内,关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个根,则k的取值范围是__________. 答案精析 函数零点问题 常考题型精析 例1 (1)D (2)①-1 ②∪[2,+∞) 解析 (1)令x<0,则-x>0, 所以f(-x)=(-x)2+3x=x2+3x. 因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(-x)=-f(x). 所以当x<0时,f(x)=-x2-3x. 所以当x≥0时,g(x)=x2-4x+3.令g(x)=0,即x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.当x<0时,g(x)=-x2-4x+3.令g(x)=0,即x2+4x-3=0,解得x=-2+>0(舍去)或x=-2-.所以函数g(x)有三个零点,故其集合为{-2-,1,3}. (2)①当a=1时,f(x)= 当x<1时,f(x)=2x-1∈(-1,1), 当x≥1时,f(x)=4(x2-3x+2) =4≥-1, ∴f(x)min=-1. ②由于f(x)恰有2个零点,分两种情况讨论: 当f(x)=2x-a,x<1没有零点时,a≥2或a≤0. 当a≥2时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1时,有2个零点; 当a≤0时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1时无零点. 因此a≥2满足题意. 当f(x)=2x-a,x<1有一个零点时,0 f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1有一个零点,此时a<1,2a≥1,因此≤a<1. 综上知实数a的取值范围是. 变式训练1 B[函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数可转化为函数f(x)与g(x)图象的交点个数,作出函数f(x)=x-[x]=与函数g(x)=log4(x-1)的大致图象如图,由图可知两函数图象的交点个数为2,即函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是2.] 例2 1 解析 画出函数f(x)的图象如图所示. 函数y=f(x)-a|x|有4个零点,即函数y1=a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0). 当a=2时,函数f(x)的图象与函数y1=a|x|的图象有3个交点.故a<2. 当y=a|x|(x≤0)与y=|x2+5x+4|相切时,在整个定义域内,f(x)的图象与y1=a|x|的图象有5个交点, 此时,由得x2+(5-a)x+4=0. 由Δ=0得(5-a)2-16=0,解得a=1,或a=9(舍去), 则当1 故实数a的取值范围是1 变式训练2 解析 由f(x+2)=f(x)得函数的周期是2. 由ax+2a-f(x)=0得f(x)=ax+2a, 设y=f(x),y=ax+2a,作出函数y=f(x),y=ax+2a的图象,如图, 要使方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根, 则直线y=ax+2a=a(x+2)的斜率满足kAH 由题意可知,G(1,2),H(3,2),A(-2,0), 所以kAH=,kAG=, 所以 高考题型精练 1.A[在同一坐标系中画出函数y=e-x与y=|lnx|的图象,结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+∞),即在x1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),则有e-x1=|lnx1|=-lnx1∈(e-1,1),e-x2=|lnx2|=lnx2∈(0,e-1),e-x2-e-x1= lnx2+lnx1=lnx1x2∈(-1,0),于是有e-1 2.D[方法一 当x>2时,g(x)=x+b-4,f(x)=(x-2)2; 当0≤x≤2时,g(x)=b-x,f(x)=2-x; 当x<0时,g(x)=b-x2,f(x)=2+x. 由于函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点, 所以方程f(x)-g(x)=0恰有4个根. 当b=0时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+8=0,无解; 当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x-(-x)=0,无解; 当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+2=0,无解. 所以b≠0,排除答案B. 当b=2时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为(x-2)2=x-2,得x=2(舍去)或x=3,有1解; 当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=2-x,有无数个解; 当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x2=x+2,得x=0(舍去)或x=-1,有1解. 所以b≠2,排除答案A. 当b=1时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+7=0,无解; 当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为1-x=2-x,无解; 当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+1=0,无解. 所以b≠1,排除答案C.因此答案选D. 方法二 记h(x)=-f(2-x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图,直线AB: y=x-4,当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时,由 解得b′=-,--(-4)=, 所以曲线h(x)向上平移个单位后,所得图象与f(x)的图象有两个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当<b<2时,f(x)与g(x)的图象有4个不同的交点,即y=f(x)-g(x)恰有4个零点.选D.] 3.D[当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.] 4.B[∵2sinπx-x+1=0,∴2sinπx=x-1,图象如图所示,由图象看出y=2sinπx与y=x-1有5个交点, ∴f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为5.] 5.A[f(0)=4sin1>0,f (2)=4sin5-2,由于π<5<2π, 所以sin5<0,故f (2)<0,则函数在[0,2]上存在零点; 由于f(-1)=4sin(-1)+1<0,故函数在[-1,0]上存在零点,也在[-2,0]上存在零点; 令x=∈[2,4], 则f()=4sin-=4-=>0, 而f (2)<0,所以函数在[2,4]上存在零点.选A.] 6.B[f′(x)=3ax2-6x, 当a=3时,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2), 则当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈(0,)时,f′(x)<0;x∈(,+∞)时,f′(x)>0,注意f(0)=1,f()=>0,则f(x)的大致图象如图1所示. 图1 不符合题意,排除A、C. 当a=-时,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),则当x∈(-∞,-)时,f′(x)<0,当x∈(-,0)时,f′(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,注意f(0)=1,f(-)=-,则f(x)的大致图象如图2所示. 图2 不符合题意,排除D.] 7.A[当0≤x<1时,f(x)≤0. 由F(x)=f(x)-a=0,画出函数y=f(x)与y=a的图象如图. 函数F(x)=f(x)-a有5个零点. 当-1 所以f(-x)=log0.5(-x+1)=-log2(1-x), 即f(x)=log2(1-x),-1 由f(x)=log2(1-x)=a, 解得x=1-2a, 因为函数f(x)为奇函数, 所以函数F(x)=f(x)-a(0 8. 解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同交点,则图易知k∈. 9.2
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