1、函数零点问题题型分析高考展望函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围.常考题型精析题型一零点个数与零点区间问题例1(1)(湖北)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A.1,3 B.3，1,1,3C.2，1,3 D.2，1,3(2)(北京)设函数f(x)若a1，则f(x)的最小值为_；若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_.点评确定函数零点的常用方法：(1)若方程易求解时，用解方程判定法；
2、(2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.变式训练1(东营模拟)x表示不超过x的最大整数，例如2.92，4.15.已知f(x)xx(xR)，g(x)log4(x1)，则函数h(x)f(x)g(x)的零点个数是()A.1 B.2C.3 D.4题型二由函数零点求参数范围问题例2(天津)已知函数f(x) 若函数yf(x)a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为_.点评利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
3、：(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.变式训练2(北京东城区模拟)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x2)f(x).当x0,1时，f(x)2x.若在区间2,3上方程ax2af(x)0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_.高考题型精练1.已知x1，x2是函数f(x)e-x|ln x|的两个零点，则()A.x1x21 B.1x1x2eC.1x1x210 D.ex1x20，则a的取值范围是()A.(2，) B.(，2)C.(1，) D.(，1)7.定义在R上的
4、奇函数f(x)，当x0时，f(x)则关于x的函数F(x)f(x)a(0a0，且a1)，当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.10.方程2xx23的实数解的个数为_.11.(江苏)已知函数f(x)|ln x|，g(x)则方程|f(x)g(x)|1实根的个数为_.12.已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x0,1时，f(x)x，且在1,3内，关于x的方程f(x)kxk1 (kR，k1)有四个根，则k的取值范围是_.答案精析函数零点问题常考题型精析例1(1)D(2)12，)解析(1)令x0，所以f(x)(x)23xx23x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)
5、f(x).所以当x0时，f(x)x23x.所以当x0时，g(x)x24x3.令g(x)0，即x24x30，解得x1或x3.当x0(舍去)或x2.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为2，1,3.(2)当a1时，f(x)当x1时，f(x)2x1(1,1)，当x1时，f(x)4(x23x2)41，f(x)min1.由于f(x)恰有2个零点，分两种情况讨论：当f(x)2xa，x1没有零点时，a2或a0.当a2时，f(x)4(xa)(x2a)，x1时，有2个零点；当a0时，f(x)4(xa)(x2a)，x1时无零点.因此a2满足题意.当f(x)2xa，x1有一个零点时， 0a2.f(x)4(xa)(x
6、2a)，x1有一个零点，此时a1, 2a1，因此a1.综上知实数a的取值范围是.变式训练1B 函数h(x)f(x)g(x)的零点个数可转化为函数f(x)与g(x)图象的交点个数，作出函数f(x)xx与函数g(x)log4(x1)的大致图象如图，由图可知两函数图象的交点个数为2，即函数h(x)f(x)g(x)的零点个数是2.例21a0).当a2时，函数f(x)的图象与函数y1a|x|的图象有3个交点.故a2.当ya|x|(x0)与y|x25x4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1a|x|的图象有5个交点，此时，由得x2(5a)x40.由0得(5a)2160，解得a1，或a9(舍去)，则
7、当1a2时，两个函数图象有4个交点.故实数a的取值范围是1a2.变式训练2a解析由f(x2)f(x)得函数的周期是2.由ax2af(x)0得f(x)ax2a，设yf(x)，yax2a，作出函数yf(x)，yax2a的图象，如图，要使方程ax2af(x)0恰有四个不相等的实数根，则直线yax2aa(x2)的斜率满足kAHakAG，由题意可知，G(1,2)，H(3,2)，A(2,0)，所以kAH，kAG，所以a.高考题型精练1. A 在同一坐标系中画出函数yex与y|ln x|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，)，即
8、在x1，x2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，).不妨设x1(0,1)，x2(1，)，则有ex1|ln x1|ln x1(e1,1)，ex2|ln x2|ln x2(0，e1)，ex2ex1ln x2ln x1ln x1x2(1,0)，于是有e1x1x2e0，即x1x22时，g(x)xb4，f(x)(x2)2；当0x2时，g(x)bx，f(x)2x；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x80，无解；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x(x)0，无解；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为(x2)2x2，得x2(舍去)或x3，有1解；当0x2时，方程f(x)g(
9、x)0可化为2x2x，有无数个解；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x70，无解；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为1x2x，无解；当x1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0.4.B 2sin xx10，2sin xx1，图象如图所示，由图象看出y2sin x与yx1有5个交点，f(x)2sin xx1的零点个数为5.5.A f(0)4sin 10，f(2)4sin 52，由于52，所以sin 50，故f(2)0，则函数在0,2上存在零点；由于f(1)4sin(1)10，而f(2)0；x(0，)时，f(x)0，注意f
10、(0)1，f()0，则f(x)的大致图象如图1所示.图1不符合题意，排除A、C.当a时，f(x)4x26x2x(2x3)，则当x(，)时，f(x)0，当x(0，)时，f(x)0，注意f(0)1，f()，则f(x)的大致图象如图2所示.图2不符合题意，排除D.7.A 当0x1时，f(x)0.由F(x)f(x)a0，画出函数yf(x)与ya的图象如图.函数F(x)f(x)a有5个零点.当1x0时，0x1，所以f(x)log0.5(x1)log2(1x)，即f(x)log2(1x)，1x0.由f(x)log2(1x)a，解得x12a，因为函数f(x)为奇函数，所以函数F(x)f(x)a(0a1)的所
11、有零点之和为12a.8.解析画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)f(x)k有两个不同零点，只需yf(x)与yk的图象有两个不同交点，则图易知k.9.2解析由于2a3b4，故f(1)loga11b1b0，而0loga21,2b(2，1)，故f(2)loga22b0，因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n2.10.2解析方程变形为3x22x()x，令y13x2，y2()x.如图所示，由图象可知有2个交点.11.4解析令h(x)f(x)g(x)，则h(x)当1x2时，h(x)2x0，故当1x2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y|h(x)|和y1的图象如图所示.由图象可知|f(x)g(x)|1的实根个数为4.12.解析由题意作出f(x)在1,3上的图象如图，记yk(x1)1，函数yk(x1)1的图象过定点A(1,1).记B(2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数yf(x)与ykxk1的图象有四个交点，故kABk0，kAB，k0.
