北师大版七年级下册数学第4章专项45阶段强化专训Word格式文档下载.docx
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已知两边型
5.如图,在△ABC中,AM为BC边上的高,点E为AC上的一点,BE交AM于点F,且AM=BM,FM=CM.试说明:
BE⊥AC.
(第5题)
两次全等型
6.如图,AB=CB,AD=CD,E是BD上任意一点.试说明:
AE=CE.
(第6题)
7.如图,已知AB∥CD,OA=OD,AE=DF.试说明:
EB∥CF.
(第7题)
已知两角型
8.如图,已知∠BDC=∠CEB=90°
,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC.试说明:
OB=OC.(提示:
角平分线上的点到角的两边距离相等)
(第8题)
9.如图,在△ABC与△DCB中,AC与BD交于点E,且∠BAC=∠CDB,∠ACB=∠DBC,分别延长BA与CD交于点F.试说明:
BF=CF.
(第9题)
专训2 构造全等三角形的五种常用方法
在进行几何题的证明或计算时,需要在图形中添加一些辅助线,辅助线能使题目中的已知条件比较集中,能比较容易找到一些量之间的关系,使数学问题较轻松地解决.常见的辅助线作法有:
构造法、旋转法、翻折法、倍长中线法和截长补短法,目的都是构造全等三角形.
翻折法
1.如图,在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D.试说明:
∠2=∠1+∠C.
构造法
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,∠ABC=45°
,点D为BC的中点,CE⊥AD于点E,其延长线交AB于点F,连接DF.
∠ADC=∠BDF.
旋转法
3.如图,在正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
倍长中线法
4.如图,在△ABC中,D为BC的中点.
(1)试说明:
AB+AC>
2AD;
(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.
截长补短法
5.如图,AB∥CD,CE,BE分别平分∠BCD和∠CBA,点E在AD上.试说明:
BC=AB+CD.
答案
1.解:
因为BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,
所以∠ADB=∠AEC=90°
.
在△ADB和△AEC中,
所以△ADB≌△AEC(ASA).
所以AB=AC.
又因为AD=AE,所以BE=CD.
2.解:
因为BE⊥AD,CF⊥AD,
所以∠BED=∠CFD=90°
又因为∠BDE=∠CDF,BE=CF,
所以△DBE≌△DCF.
所以BD=CD.所以D是BC的中点,即AD是△ABC的中线.
3.解:
因为AB=AD,∠BAE=∠DAE,AE=AE,
所以△ABE≌△ADE(SAS).
所以BE=DE,∠AEB=∠AED.
所以∠BEC=∠DEC.
又因为EC=EC,
所以△BEC≌△DEC(SAS).
所以∠CBE=∠CDE.
4.解:
如图,作CG⊥AC,交AE的延长线于点G,
易得∠BAC=∠DAE+∠BAE=90°
,∠ABF+∠BAE=90°
,
所以∠DAE=∠ABF.
因为CG⊥AC,
所以∠BAD=∠ACG=90°
在△ABD和△CAG中,
所以△ABD≌△CAG(ASA).
所以∠ADB=∠G,AD=CG.
因为D是AC的中点,所以AD=CD=CG.
因为∠ACG=90°
,∠ACB=45°
所以∠GCE=∠ACB=45°
在△DEC和△GEC中,
所以△DEC≌△GEC(SAS).
所以∠CDE=∠G.
所以∠ADB=∠CDE.
5.解:
因为AM⊥BC,
所以∠BMA=∠AMC=90°
所以∠1+∠2=90°
在△BMF和△AMC中,
所以△BMF≌△AMC(SAS).
所以∠2=∠C.
又因为∠1+∠2=90°
,所以∠1+∠C=90°
在△BEC中,∠1+∠C=90°
所以∠BEC=180°
-90°
=90°
所以BE⊥AC.
6.解:
在△ABD和△CBD中,
所以△ABD≌△CBD(SSS).
所以∠ABD=∠CBD.
在△ABE和△CBE中,
所以△ABE≌△CBE(SAS).
所以AE=CE.
7.解:
方法一:
因为AB∥CD,所以∠3=∠4.
在△ABO和△DCO中,
所以△ABO≌△DCO(ASA).所以OB=OC.
又因为AE=DF,OD=OA,
所以OD+DF=OA+AE,即OF=OE.
在△COF和△BOE中,
所以△COF≌△BOE(SAS).所以∠F=∠E.
所以EB∥CF.
方法二:
所以△ABO≌△DCO(ASA).
所以BA=CD,OA=OD.
因为∠3=∠4,所以∠CDF=∠BAE.
在△CDF和△BAE中,
所以△CDF≌△BAE(SAS).所以∠F=∠E.
8.解:
因为∠BDC=∠CEB=90°
所以OD⊥AB,OE⊥AC.
因为AO平分∠BAC,所以OD=OE.
在△OBD和△OCE中,
所以△OBD≌△OCE(ASA).
所以OB=OC.
9.解:
在△ABC和△DCB中,
所以△ABC≌△DCB(AAS).
所以AC=DB.
又因为∠BAC=∠CDB,
所以∠FAC=∠FDB.
在△FAC和△FDB中,
所以△FAC≌△FDB(AAS).
所以CF=BF.
即BF=CF.
如图,延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折,与BC边重合,A点落在F点处,折痕为BE)
因为BE平分∠ABC,
所以∠ABE=∠CBE.
因为BD⊥AD,所以∠ADB=∠BDF=90°
在△ABD和△FBD中,
所以△ABD≌△FBD(ASA).
所以∠2=∠DFB.
又因为∠DFB=180°
-∠AFC,∠1+∠C=180°
-∠AFC,
所以∠DFB=∠1+∠C.
所以∠2=∠1+∠C.
如图,过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.
因为∠ACB=90°
,所以∠2+∠ACF=90°
因为CE⊥AD,所以∠AEC=90°
所以∠1+∠ACF=180°
-∠AEC=180°
所以∠1=∠2.
在△ACD和△CBG中,
所以△ACD≌△CBG(ASA).
所以∠ADC=∠G,CD=BG.
因为点D为BC的中点,
所以CD=BD.所以BD=BG.
又因为∠DBG=90°
,∠DBF=45°
所以∠GBF=∠DBG-∠DBF=90°
-45°
=45°
所以∠DBF=∠GBF.
在△BDF和△BGF中,
所以△BDF≌△BGF(SAS).
所以∠BDF=∠G.所以∠ADC=∠BDF.
点拨:
本题运用了构造法,通过作辅助线构造△CBG,△BGF是解题的关键.
如图,延长CB到点H,使得BH=DF,连接AH.
因为∠ABE=90°
,∠D=90°
所以∠D=∠ABH=90°
在△ABH和△ADF中,
所以△ABH≌△ADF.所以AH=AF,∠BAH=∠DAF.
所以∠BAH+∠BAF=∠DAF+∠BAF.
所以∠HAF=∠BAD=90°
因为BE+DF=EF,所以BE+BH=EF,即EH=EF.
在△AEH和△AEF中,
所以△AEH≌△AEF.
所以∠EAH=∠EAF.
所以∠EAF=
∠HAF=45°
图中所作辅助线,相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°
,使AD边与AB边重合,得到△ABH.
(第3题)
(第4题)
(1)如图,延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.
因为D为BC的中点,所以CD=BD.
又因为AD=ED,∠ADC=∠EDB,
所以△ADC≌△EDB.
所以AC=EB.
因为AB+BE>
AE,
所以AB+AC>
2AD.
(2)因为AB-BE<
AE<
AB+BE,
所以AB-AC<
2AD<
AB+AC.
因为AB=5,AC=3,所以2<
8.
所以1<
AD<
4.
本题运用了倍长中线法构造全等三角形,将说明不等关系和求线段取值范围的问题转化为说明全等,从而利用全等三角形的性质解决问题.
如图,在BC上取一点F,使BF=BA.
连接EF.因为CE,BE分别平分∠BCD和∠CBA,
所以∠3=∠4,∠1=∠2.
在△ABE和△FBE中,
所以△ABE≌△FBE(SAS).
所以∠A=∠5.
因为AB∥CD,所以∠A+∠D=180°
又因为∠5+∠6=180°
,所以∠6=∠D.
在△EFC和△EDC中,
所以△EFC≌△EDC(AAS).
所以FC=DC.所以BC=BF+CF=AB+CD.
说明一条线段等于两条线段的和的方法:
“截长法”或“补短法”.“截长法”的基本思路是在长线段上取一段,使之等于其中一短线段,然后说明剩下的线段等于另一短线段;
“补短法”的基本思路是延长短线段,使延长部分等于另一短线段,再说明延长后的线段等于长线段.
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