全等三角形的性质和判定Word文件下载.docx
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这里的角,指的是两组对应边的夹角.
2.有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.
如图,AXBC与AABD中,AB=AB,AC=AD,ZB=ZB,但AABC与AABD
不完全重合,故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.
【典型例题】类型一、全等三角形的判定1――“边边边”
1、已知:
如图,△RPQ中,RP=RQ,M为PQ的中点.
求证:
RM平分ZPRQ.
证明:
TM为PQ的中点(已知),
•••PM=QM
在△RPM和△RQM中,
RPRQ(已知),
PMQM,
RMRM公共边
•△PM^zRQM(SSS).
•ZPRM=/QRM(全等三角形对应角相等)
即RM平分ZPRQ.
举一反三:
【变式】已知:
如图,AD=BC,AC=BD.试证明:
/CAD=/DBC.
类型二、全等三角形的判定2――“边角边”
^^2、已知:
如图,AB=AD,AC=AE,/1=/2.
BC=DE.
•/+/CAD=/2+ZCAD,即ZBAC=/DAE在/ABC和ZADE中
ABAD
BACDAE
ACAE
•••/ABC也zADE(SAS)
•••BC=DE(全等三角形对应边相等)
AB=CB,EB=DB,ZABC=/EBD=90°
)连接AE、CD,试确定AE
与CD的位置与数量关系,并证明你的结论.
延长AE交CD于F,
v/ABC和△DBE是等腰直角三角形
••AB=BC,BD=BE
在△KBE和MBD中
ABBC
ABECBD90
BEBD
•ZABENBD(SAS)
••AE=CD,Z1=/2
又+Z3=90°
3=/4(对顶角相等)
•z2+Z4=90。
,即AFC=90°
••AE丄CD
如图,
PCAC,PBAB,AP平分ZBAC,且AB=AC,点Q
在PA上,
QC=QB
类型三、全等三角形判定的实际应用
G4、“三月三,放风筝”•下图是小明制作的风筝,他根据DE=DF,EH=FH,
不用度量,就知道/DEH=/DFH•请你用所学的知识证明.
【答案与解析】
在厶DEH和ADFH中,
DE=DF
EH=FH
DHDH
/.ZDEH也QFH(SSS)
一、选择题
1.△KBC和△A'
中,若AB=A'
BC=B'
.则()
2.如图,已知AB=CD,AD=BC,则下列结论中错误的是()
A.AB//DCB.ZB=/DC.ZA=/CD.AB=BC
3.下列判断正确的是()
A.两个等边三角形全等
B.三个对应角相等的两个三角形全等
C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等
D.直角三角形与锐角三角形不全等
6.如图,已知AB丄BD于B,ED丄BD于D,AB=CD,BC=ED,以下结论不
正确的是()
A.EC丄ACB.EC=ACC.ED+AB=DBD.DC=CB
、填空题
时,就可
9.如图,在AABC和△EFD中,AD=FC,AB=FE,当添加条件得△ABC也^FD(SSS)
三、解答题
AD=BC,
分析:
要证AD//BC,只要证Z
又需证
s
•••AB//CD(),
•••Z
—()
在八
和厶中,
(),
(),
A
sa(
)
Z
—(
//()•
15.如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE求证:
AE=DE.
全等三角形判定3――“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或
“ASA”).
如图,如果/A=/A'
AB=A'
ZB=ZB'
,则△ABC也ZA'
要点二、全等三角形判定4――“角角边”
1.全等三角形判定4――“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角
边”或“AAS”)
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图,在AABC和AADE中,如果DE//BC,那么ZADE=/B,/AED=/C,
又/A=ZA,但SBC和8DE不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不
定全等•
要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法,要根据具体的已知条件而定,见下表:
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SASAASASA
两角对应相等
ASAAAS
两边对应相等
SASSSS
类型一、全等三角形的判定3――“角边角”
如图,E,F在AC上,AD//CB且AD=CB,/D=/B.
•'
•/A=/C
在△KDF与△:
BE中
AC
ADCB
DB
•△DF也QBE(ASA)
••AF=CE,AF+EF=CE+EF
故得:
AE=CF
举一反三:
【变式】如图,AB//CD,AF//DE,BE=CF求证:
AB=CD.
类型二、全等三角形的判定4――“角角边”
2、已知:
如图,AB丄AE,AD丄AC,/E=/B,DE=CB.求证:
AD=AC.
TAB丄AE,AD丄AC,
•••/CAD=/BAE=90°
•••/CAD+ZDAB=/BAE+ZDAB,即/BAC=/EAD
在经AC和生AD中
BACEAD
BE
CB=DE
•△AC也£
AD(AAS)
AC=AD
【变式】如图,AD是AABC的中线,过C、B分别作AD及AD的延长线的垂
线CF、BE.
TAD为△ABC的中线
•BD=CD
••BE丄AD,CF丄AD,
•zBED^ZCFD=90°
在△BED和△CFD中
BEDCFD
BDECDF(对顶角相等)
BDCD
•△ED也/CFD(AAS)
•••BE=CF
3、已知:
如图,AC与BD交于0点,AB//DC,AB=DC.
(1)求证:
AC与BD互相平分;
(2)若过O点作直线I,分别交AB、DC于E、F两点,
(3)
.•./A=/C
在△KBO与ACDO中
A=C
AOB=COD(对顶角相等)
AB=CD
•••ZABO也ADO(AAS)
••AO=CO,BO=DO
在ZKEO和MFO中
AO二CO
AOE=COF(对顶角相等)
•ZAEO也ZFO(ASA)
•••OE=OF.
1.能确定△ABC也ZEF的条件是()
A.
AB=DE,
BC=EF,
/A=/E
B.
/C=/E
C.
/A=/E,
AB=EF,
ZB=/D
D./A=/D,AB=DE,ZB=ZE
2•如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC
全等的图形是()
图4—3
A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙
3.AD是△ABC的角平分线,作DE丄AB于E,DF丄AC于F,下列结论错误的
是()
A.DE=DF
B.AE=AF
C.BD=CD
D.ZADE=ZADF
4.如图,已知MB
=ND,/MBA=
ZNDC,下列条件不能判定△ABM也△DN
的是()
A.ZM=/N
B.AB=CD
C.AM=CN
D.AM//CN
7.女口图,/1=/2,要使△ABE◎△ACE,还需添加一个条件
是.
(填上你认为适当的一个条件即可).
8.在AABC和厶A'
中,/A=44。
,启=67°
£
'
=69°
zB'
=44。
,且
AC=B'
,则这两个三角形全等.(填“一定”或“不一定”)
9.已知,女口图,AB//CD,AF//DE,AF=DE,且BE=2,BC=10,贝UEF=
11.如图,已知:
Z1=/2,Z3=/4,要证BD=CD,需先证Z\AEB也AEC,
12.已知:
如图,/B=/DEF,AB=DE,要说明AABC也AEF,
(1)若以“ASA”为依据,还缺条件
(2)若以“AAS”为依据,还缺条件
(3)若以“SAS”为依据,还缺条件
13•阅读下题及一位同学的解答过程:
如图,AB和CD相交于点0,且OA=
0B,/A=/C.那么AA0D与△COB全等吗?
若全等,试写出证明过程;
若不
全等,请说明理由.
答:
△AODNOB.
在厶AOD和△COB中,
AC(已知),
OAOB(已知),
AODCOB(对顶角相等),
•••△AODFOB(ASA).
问:
这位同学的回答及证明过程正确吗?
为什么?
14.已知如图,E、F在BD上,且AB=CD,BF=DE,AE=CF,求证:
AC与
BD互相平分.
15.已知:
如图,AB1/CD,OA=OD,BC过O点,点E、F在直线AOD上,且
AE=DF.
要点一、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,这两个直角三角形就全等了•这里用到的是“AAS”,“ASA或“SAS”判定定理.
要点二、判定直角三角形全等的特殊方法一一斜边,直角边定理
在两个直角三角形中,有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)•这个判定方法是直角三角形所独有的,
般三角形不具备
【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定一一“HL
如图,AB丄BD,CD丄BD,AD=BC.
(1)AB=CD:
(2)AD//BC.
(1)VAB丄BD,CD丄BD,
•••/ABD=ZCDB=90°
在Rt△KBD和Rt△:
DB中,
AD=BC
BDDB••Rt△KBD李tMDB(HL)
••AB=CD(全等三角形对应边相等)
(2)由/ADB=/CBD
••AD//BC.
如图,AE丄AB,BC丄AB,AE=AB,ED=AC.
ED±
AC.
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等,不全等的画“X”,全
等的注明理由:
一个锐角和斜边对应相等;
两直角边对应相等;
一条直角边和斜边对应相等.
(1)一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.
(2)有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.
(4)
有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等.(
如图,AC=BD,AD丄AC,BC丄BD.
连接DC
••AD丄AC,BC丄BD
•••zDAC=/CBD=90
在Rt△KDC与Rt△BCD中,
DCCD
AC=BD
••Rt△ADC李t△BCD(HL)
••AD=BC.(全等三角形对应边相等)
【变式】已知,如图,AC、BD相交于0,AC=BD,ZC=ZD=90求证:
OC=OD.
、如图,将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上,且过A,B两
点分别作直线I的垂线,垂足分别为D,E,请你在图中找出一对全等
三角形,并写出证明它们全等的过程
一、选择题
1.下列说法正确的是()
A.一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B.斜边相等的两个直角三角形全等
C.斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D.一边长相等的两等腰直角三角形全等
3.能使两个直角三角形全等的条件是()
A.斜边相等B.—锐角对应相等
C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等
5.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是()
A.形状相同B.周长相等C.面积相等D.全等
6.在两个直角三角形中,若有一对角对应相等,一对边对应相等,则两个直角
三角形()
A.—定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是
二、填空题
7.如图,BE,CD是△ABC的高,且BD=EC,判定△BCD也QBE的依据是“”
8.已知,如图,/A=/D=90°
BE=CF,AC=DE,贝^△ABC圣
10.如图,已知AB丄BD于B,ED丄BD于D,EC丄AC,AC=EC,若DE=2,
AC,FD=CD.则
/BAD=
14.如图,已知AB丄BC于B,EF丄AC于G,DF丄BC于D,BC=DF.求证:
AC=EF.
15.如图,已知AB=AC,AE=AF,AE丄EC,AF丄BF,垂足分别是点E、F.
/1=/2.
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