优秀的近世代数期末考试总复习.doc
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近世代数模拟试题一
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A=B=R(实数集),如果A到B的映射:
x→x+2,x∈R,则是从A到B的()
A、满射而非单射 B、单射而非满射
C、一一映射 D、既非单射也非满射
2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有()个元素。
A、2 B、5C、7 D、10
3、在群G中方程ax=b,ya=b,a,b∈G都有解,这个解是()乘法来说
A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)
4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数()
A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的()
A、倍数B、次数C、约数D、指数
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合;,则有---------。
2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则e称为环R的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换,则称R是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a的逆元是-------。
8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么---------。
9、一个除环的中心是一个-------。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
1、设置换和分别为:
,,判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积。
2、证明:
任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
3、设集合,定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则(,)是不是群,为什么?
四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)
1、设是群。
证明:
如果对任意的,有,则是交换群。
2、假定R是一个有两个以上的元的环,F是一个包含R的域,那么F包含R的一个商域。
近世代数模拟试题二
一、单项选择题
二、1、设G有6个元素的循环群,a是生成元,则G的子集()是子群。
A、B、C、D、
2、下面的代数系统(G,*)中,()不是群
A、G为整数集合,*为加法B、G为偶数集合,*为加法
C、G为有理数集合,*为加法D、G为有理数集合,*为乘法
3、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的?
()
A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|
4、设、、是三个置换,其中=(12)(23)(13),=(24)(14),=(1324),则=()
A、B、C、D、
5、任意一个具有2个或以上元的半群,它()。
A、不可能是群 B、不一定是群
C、一定是群 D、是交换群
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说:
任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群中的元素的阶等于50,则的阶等于------。
4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与-------同构。
5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。
6、若映射既是单射又是满射,则称为-----------------。
7、叫做域的一个代数元,如果存在的-----使得。
8、是代数系统的元素,对任何均成立,则称为---------。
9、有限群的另一定义:
一个有乘法的有限非空集合作成一个群,如果满足对于乘法封闭;结合律成立、---------。
10、一个环R对于加法来作成一个循环群,则P是----------。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群,H是G的子群,H={I,(12)},写出H的所有陪集。
2、设E是所有偶数做成的集合,“”是数的乘法,则“”是E中的运算,(E,)是一个代数系统,问(E,)是不是群,为什么?
3、a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。
四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)
1、若
2、设m是一个正整数,利用m定义整数集Z上的二元关系:
a〜b当且仅当m︱a–b。
近世代数模拟试题三
一、单项选择题
1、6阶有限群的任何子群一定不是()。
A、2阶 B、3阶C、4阶 D、6阶
2、设G是群,G有()个元素,则不能肯定G是交换群。
A、4个B、5个C、6个D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于()。
A、偶数 B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂
4、下列哪个偏序集构成有界格()
A、(N,) B、(Z,)
C、({2,3,4,6,12},|(整除关系)) D、(P(A),)
5、设S3={
(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有()
A、
(1),(123),(132)B、12),(13),(23)
C、
(1),(123)D、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的,每个元素的逆元素是--------的。
2、如果是与间的一一映射,是的一个元,则----------。
3、区间[1,2]上的运算的单位元是-------。
4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z8的零因子有-----------------------。
6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点,每个群只能同构于他/它自己的---------。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。
9、设群中元素的阶为,如果,那么与存在整除关系为--------。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链?
2、S1,S2是A的子环,则S1∩S2也是子环。
S1+S2也是子环吗?
3、设有置换,。
1.求和;
2.确定置换和的奇偶性。
四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)
1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M为含幺半群,证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。
近世代数模拟试题四
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有()个元素。
A.2 B.5
C.7 D.10
2.设A=B=R(实数集),如果A到B的映射
:
x→x+2,x∈R,
则是从A到B的()
A.满射而非单射 B.单射而非满射
C.一一映射 D.既非单射也非满射
3.设S3={
(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有()
A.
(1),(123),(132) B.(12),(13),(23)
C.
(1),(123) D.S3中的所有元素
4.设Z15是以15为模的剩余类加群,那么,Z15的子群共有()个。
A.2 B.4
C.6 D.8
5.下列集合关于所给的运算不作成环的是()
A.整系数多项式全体Z[x]关于多项式的加法与乘法
B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法
C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”:
m,n∈Z,mn=0
D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”:
m,n∈Z,mn=1
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设“~”是集合A的一个关系,如果“~”满足___________,则称“~”是A的一个等价关系。
7.设(G,·)是一个群,那么,对于a,b∈G,则ab∈G也是G中的可逆元,而且(ab)-1=
___________。
8.设σ=(23)(35),τ=(1243)(235)∈S5,那么στ=___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。
9.如果G是一个含有15个元素的群,那么,根据Lagrange定理知,对于a∈G,则元素a的阶只可能是___________。
10.在3次对称群S3中,设H={
(1),(123),(132)}是S3的一个不变子群,则商群G/H中的元素(12)H=___________。
11.设Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}是以6为模的剩余类环,则Z6中的所有零因子是___________。
12.设R是一个无零因子的环,其特征n是一个有限数,那么,n是___________。
13.设Z[x]是整系数多项式环,(x)是由多项式x生成的主理想,则(x)=_____________
___________。
14.设高斯整数环Z[i]={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,则Z[i]中的所有单位是___________
___________。
15.有理数域Q上的代数元+在Q上的极小多项式是___________。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
16.设Z为整数加群,Zm为以m为模的剩余类加群,是Z到Zm的一个映射,其中
:
k→[k],k∈Z,
验证:
是Z到Zm的一个同态满射,并求的同态核Ker。
17.求以6为模的剩余类环Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}的所有子环,并说明这些子环都是Z6的理想。
18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系,并举例说明唯一分解环未必是主理想环。
四、证明题(本大题共3小题,第19、20小题各10分,第21小题5分,共25分)
19.设G={a,b,c},G的代数运算“”
由右边的运算表给出,证明:
(G,)作成一个群。
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
a
c
c
a
b
20.设
已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。
证明:
I是R的一个子环,但不是理想。
21.设(R,+,·)是一个环,如果(R,+)是一个循环群,证明:
R是一个交换环。
近世代数试卷
一、判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分)
1、设与都是非空集合,那么。
()
2、设、、都是非空集合,则到的每个映射都叫作二元运算。
()
3、只要是到的一一映射,那么必有唯一的逆映射。
()
4、如果循环群中生成元的阶是无限的,则与整数加群同构。
()
5、如果群的子群是循环群,那么也是循环群。
()
6、群的子群是不变子群的充要条件为。
()
7、如果环的阶,那么的单位元。
()
8、若环满足左消去律,那么必定没有右零因子。
()
9、中满足条件的多项式叫做元在域上的极小多项式。
()
10、若域的特征是无限大,那么含有一个与同构的子域,这里是整数环,是由素数生成的主理想。
()
二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者,该题无分。
每小题1分,共10分)
1、设和都是非空集合,而是到的一个映射,那么()
①集合中两两都不相同;②的次序不能调换;
③中不同的元对应的象必不相同;
④一个元的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算()
①在整数集上,;②在有理数集上,;
③在正实数集上,;④在集合上,。
3、设是整数集上的二元运算,其中(即取与中的最大者),那么在中()
①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。
4、设为群,其中是实数集,而乘法,这里为中固定的常数。
那么群中的单位元和元的逆元分别是()
①0和;②1和0;③和;④和。
5、设和都是群中的元素且,那么()
①;②;③;④。
6、设是群的子群,且有左陪集分类。
如果6,那么的阶()
①6;②24;③10;④12。
7、设是一个群同态映射,那么下列错误的命题是()
①的同态核是的不变子群;②的不变子群的逆象是的不变子群;③的子群的象是的子群;④的不变子群的象是的不变子群。
8、设是环同态满射,,那么下列错误的结论为()
①若是零元,则是零元;②若是单位元,则是单位元;
③若不是零因子,则不是零因子;④若是不交换的,则不交换。
9、下列正确的命题是()
①欧氏环一定是唯一分解环;②主理想环必是欧氏环;
③唯一分解环必是主理想环;④唯一分解环必是欧氏环。
10、若是域的有限扩域,是的有限扩域,那么()
①;②;
③;④。
三、填空题(将正确的内容填在各题干预备的横线上,内容填错或未填者,该空无分。
每空1分,共10分)
1、设集合;,则有。
2、如果是与间的一一映射,是的一个元,则。
3、设集合有一个分类,其中与是的两个类,如果,那么。
4、设群中元素的阶为,如果,那么与存在整除关系为。
5、凯莱定理说:
任一个子群都同一个同构。
6、给出一个5-循环置换,那么。
7、若是有单位元的环的由生成的主理想,那么中的元素可以表达为。
8、若是一个有单位元的交换环,是的一个理想,那么是一个域当且仅当是。
9、整环的一个元叫做一个素元,如果。
10、若域的一个扩域叫做的一个代数扩域,如果。
四、改错题(请在下列命题中你认为错误的地方划线,并将正确的内容写在预备的横线上面。
指出错误1分,更正错误2分。
每小题3分,共15分)
1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律,那么在里,元的次序可以掉换。
2、有限群的另一定义:
一个有乘法的有限非空集合作成一个群,如果满足对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。
3、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么。
4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子,若和都是和的最大公因子,那么必有。
5、叫做域的一个代数元,如果存在的都不等于零的元使得。
五、计算题(共15分,每小题分标在小题后)
1、给出下列四个四元置换
组成的群,试写出的乘法表,并且求出的单位元及和的所有子群。
2、设是模6的剩余类环,且。
如果、,计算、和以及它们的次数。
六、证明题(每小题10分,共40分)
1、设和是一个群的两个元且,又设的阶,的阶,并且,证明:
的阶。
2、设为实数集,,令,将的所有这样的变换构成一个集合,试证明:
对于变换普通的乘法,作成一个群。
3、设和为环的两个理想,试证和都是的理想。
4、设是有限可交换的环且含有单位元1,证明:
中的非零元不是可逆元就是零因子。
测验题
一、填空题(42分)
1、设集合与分别有代数运算与,且,则当时,也满足结合律;当时,也满足交换律。
2、对群中任意元素=;
3、设群G中元素a的阶是n,n|m则=;
4、设是任意一个循环群,若,则与同构;若,
则与同构;
5、设G=为6阶循环群,则G的生成元有;子群有;
6、n次对称群的阶是;置换的阶是;
7、设,则;
8、设,则;
9、设H是有限群G的一个子群,则|G|=;
10、任意一个群都同一个同构。
二、证明题(24)
1、设G为n阶有限群,证明:
G中每个元素都满足方程。
2、叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件,并证明群G的任意两个子群H与K的交仍然是G的一个子群。
3、证明:
如果群G中每个元素都满足方程,则G必为交换群。
三、解答题(34)
1、叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运算作成群。
2、写出三次对称群的所有子群并写出关于子群H={
(1),(23)}的所有左陪集和所有右陪集。
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