1、近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设ABR(实数集)，如果A到B的映射：xx2，xR，则是从A到B的（ ）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AB中含有（ ）个元素。A、2 B、5 C、7 D、103、在群G中方程ax=b，ya=b， a,bG都有解，这个解是（ ）乘法来说A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样)4、当G为
2、有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（ ）A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（ ）A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合；，则有-。2、若有元素eR使每aA，都有ae=ea=a，则e称为环R的-。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个-。4、偶数环是-的子环。5、一个集合A的若干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个-。6、每一个有限群都有与一个置换群-。7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群
3、，则这个群的单位元是-，元a的逆元是-。8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么-。9、一个除环的中心是一个-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。3、设集合，定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。近世代数模拟试题二一、
4、单项选择题二、 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（ ）是子群。A、 B、 C、 D、2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A、a*b=a-bB、a*b=maxa,b C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、设、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（ ）A、 B、 C、 D、5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。A、不可能是群B、不一定是群
5、C、一定是群 D、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-同构。2、一个有单位元的无零因子-称为整环。3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于-。4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-同构。5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么AB=-。6、若映射既是单射又是满射，则称为-。7、叫做域的一个代数元，如果存在的-使得。8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为-。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、-。10、一个环R对于加法来作成
6、一个循环群，则P是-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A=1,2,3G是A上的置换群，H是G的子群，H=I,(1 2)，写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？3、a=493, b=391, 求(a,b), a,b 和p, q。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若是群，则对于任意的a、bG，必有惟一的xG使得a*xb。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：ab当且仅当mab。近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6阶有
7、限群的任何子群一定不是（ ）。A、2阶B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个 B、5个 C、6个 D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）A、（N,） B、（Z,） C、（2,3,4,6,12,|（整除关系） D、 (P(A),)5、设S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123
8、) D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则-。3、区间1，2上的运算的单位元是-。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=。5、环Z8的零因子有 -。6、一个子群H的右、左陪集的个数-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-。9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有
9、5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是A的子环，则S1S2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换，。1求和；2确定置换和的奇偶性。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AB中含
10、有（ ）个元素。A.2 B.5 C.7 D.102.设ABR(实数集)，如果A到B的映射：xx2，xR，则是从A到B的（ ）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）A.(1)，(123)，(132)B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123)D.S3中的所有元素4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ ）个。A.2B.4C.6D.85.下列集合关于所给的运算不作成环的是（ ）A.整系数多项式全体Zx关于多项式的加法与
11、乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m， nZ， mn0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m， nZ， mn1二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.设“”是集合A的一个关系，如果“”满足_，则称“”是A的一个等价关系。7.设(G，)是一个群，那么，对于a，bG，则abG也是G中的可逆元，而且(ab)1_。8.设(23)(35)，(1243)(235)S5，那么_(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根
12、据Lagrange定理知，对于aG，则元素a的阶只可能是_。10.在3次对称群S3中，设H(1)，(123)，(132)是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素(12)H_。11.设Z60，1，2，3，4，5是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是_。12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是_。13.设Zx是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)_。14.设高斯整数环Ziabi|a，bZ，其中i21，则Zi中的所有单位是_。15.有理数域Q上的代数元+在Q上的极小多项式是_。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）16.设Z为整数加群，
13、Zm为以m为模的剩余类加群，是Z到Zm的一个映射，其中：kk，kZ，验证：是Z到Zm的一个同态满射，并求的同态核Ker。17.求以6为模的剩余类环Z60，1，2，3，4，5的所有子环，并说明这些子环都是Z6的理想。18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）19.设Ga，b，c，G的代数运算“”由右边的运算表给出，证明：(G，)作成一个群。abcaabcbbcaccab20.设 已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。21.设(R，)
14、是一个环，如果(R，)是一个循环群，证明：R是一个交换环。近 世 代 数 试 卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“”，错的打“”；每小题1分，共10分）1、设与都是非空集合，那么。 （ ）2、设、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。 （ ）4、如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。 （ ）5、如果群的子群是循环群，那么也是循环群。 （ ）6、群的子群是不变子群的充要条件为。 （ ）7、如果环的阶，那么的单位元。 （ ）8、若环满足左消去律，那么必定没有右零因子。 （ ）9、中满足条件的多项式叫做元在域上的极
15、小多项式。 （ ）10、若域的特征是无限大，那么含有一个与同构的子域，这里是整数环，是由素数生成的主理想。 （ ）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）1、设和都是非空集合，而是到的一个映射，那么（ ）集合中两两都不相同；的次序不能调换；中不同的元对应的象必不相同；一个元的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算（ ）在整数集上，； 在有理数集上，；在正实数集上，；在集合上，。3、设是整数集上的二元运算，其中（即取与中的最大者），那么在中（ ）不适合交换律；不适合结合律；存在单位元；每
16、个元都有逆元。4、设为群，其中是实数集，而乘法，这里为中固定的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是（ ）0和； 1和0； 和； 和。5、设和都是群中的元素且，那么（ ）； ； ； 。6、设是群的子群，且有左陪集分类。如果6，那么的阶（ ）6； 24； 10； 12。7、设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）的同态核是的不变子群； 的不变子群的逆象是的不变子群；的子群的象是的子群； 的不变子群的象是的不变子群。8、设是环同态满射，那么下列错误的结论为（ ）若是零元，则是零元； 若是单位元，则是单位元；若不是零因子，则不是零因子；若是不交换的，则不交换。9、下列正确的命题是（ ）欧氏环一
17、定是唯一分解环； 主理想环必是欧氏环；唯一分解环必是主理想环； 唯一分解环必是欧氏环。10、若是域的有限扩域，是的有限扩域，那么（ ）； ； 。三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）1、设集合；，则有 。2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则 。3、设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么 。4、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为 。5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。6、给出一个5-循环置换，那么 。7、若是有单位元的环的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为 。8、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么
18、是一个域当且仅当是 。9、整环的一个元叫做一个素元，如果 。10、若域的一个扩域叫做的一个代数扩域，如果 。四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉换。 2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。 3、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么。 4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有。 5、叫做域的一个代数元，如果存在的都不等于零
19、的元使得。 五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）1、给出下列四个四元置换组成的群，试写出的乘法表，并且求出的单位元及和的所有子群。2、设是模6的剩余类环，且。如果、，计算、和以及它们的次数。六、证明题（每小题10分，共40分）1、设和是一个群的两个元且，又设的阶，的阶，并且，证明：的阶。2、设为实数集，令，将的所有这样的变换构成一个集合，试证明：对于变换普通的乘法，作成一个群。3、设和为环的两个理想，试证和都是的理想。4、设是有限可交换的环且含有单位元1，证明：中的非零元不是可逆元就是零因子。 测验题一、 填空题（42分）1、设集合与分别有代数运算与，且，则当 时，也满足结合律；当 时，
20、也满足交换律。2、对群中任意元素= ；3、设群G中元素a的阶是n，n|m则= ；4、设是任意一个循环群，若，则与 同构；若，则与 同构；5、设G=为6阶循环群，则G的生成元有 ；子群有 ；6、n次对称群的阶是 ；置换的阶是 ；7、设，则 ；8、设，则 ；9、设H是有限群G的一个子群，则|G|= ；10、任意一个群都同一个 同构。二、证明题（24）1、 设G为n阶有限群，证明：G中每个元素都满足方程。2、 叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，并证明群G的任意两个子群H与K的交仍然是G的一个子群。3、 证明:如果群G中每个元素都满足方程，则G必为交换群。三、解答题（34）1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运算作成群。2、写出三次对称群的所有子群并写出关于子群H=（1），（23）的所有左陪集和所有右陪集。15
