哈尔滨工业大学2010《现代控制理论基础》考试题A卷及答案.doc
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哈尔滨工业大学2010《现代控制理论基础》考试题A卷及答案.doc
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哈尔滨工业大学现代控制理论基础(A卷答案)班号:
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一.(本题满分10分)
如图所示为一个摆杆系统,两摆杆长度均为,摆杆的质量忽略不计,摆杆末端两个质量块(质量均为)视为质点,两摆杆中点处连接一条弹簧,与分别为两摆杆与竖直方向的夹角。
当时,弹簧没有伸长和压缩。
水平向右的外力作用在左杆中点处,假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼,而且位移足够小,满足近似式,。
(1)写出系统的运动微分方程;
(2)写出系统的状态方程。
【解】
(1)对左边的质量块,有
对右边的质量块,有
在位移足够小的条件下,近似写成:
即
(2)定义状态变量
,,,
则
或写成
二.(本题满分10分)
设一个线性定常系统的状态方程为,其中。
若时,状态响应为;时,状态响应为。
试求当时的状态响应。
【解答】系统的状态转移矩阵为,根据题意有
合并得
求得状态转移矩阵为
当时的状态响应为
三.(本题满分10分)
已知某系统的方块图如下,
回答下列问题:
(1)按照上图指定的状态变量建立状态空间表达式;
(2)确定使系统状态完全能控且完全能观时,参数的取值范围。
【解答】
(1)系统的状态空间表达式为
(2)使系统状态完全能控且完全能观时,参数且。
四.(本题满分10分)
离散系统的状态方程为
(1)是否存在一个有限控制序列,使得系统由已知的初始状态,转移到,?
试给出判断依据和判断过程。
(2)若存在,求的最小值及控制序列。
【解答】
(1)由题意,
,,,,由系统能控性的定义可知:
存在有限控制序列,使得在有限时间内由状态初值转移到零。
(2)由系统状态完全能控的性质可知,此系统为二阶系统,可用适当的,,使得,即的最小值为1。
根据状态方程进行递推如下:
,
由上面最后一步可得
即
即,。
五.(本题满分10分)
对下列系统
试设计一个状态反馈控制器,满足以下要求:
闭环系统的阻尼系数;阶跃响应的峰值时间等于3.14秒。
【解答】
假设状态反馈控制律为,代入状态方程得闭环系统
闭环特征多项式为
根据题意的要求,,,,期望特征多项式为
根据多项式恒等的条件可得:
解得
状态反馈控制律为。
六.(本题满分10分)
设系统的状态空间表达式为
若该系统的状态不可测量,试设计一个降维状态观测器,使降维观测器的极点为,要求写出降维观测器动态方程,并写出状态的估计方程。
【解答】将状态空间表达式写成:
进一步写成
设降维观测器方程为
引入中间变量,两边求导数得
根据题意,降维观测器的极点为-10,即,解得。
最终得到降维观测器的动态方程为
状态估计的表达式为。
七.(本题满分10分)
证明对于线性定常系统的线性变换,其传递函数(矩阵)保持不变。
【证明】设原线性系统为
其传递函数矩阵为
设线性变换为,变换后的线性系统为
该系统的传递函数矩阵为
显然,,即其传递函数(矩阵)保持不变。
证毕
八.(本题满分10分)
某2阶非线性系统的状态方程为,证明该系统在坐标原点处渐近稳定。
【证明】
取李雅普诺夫函数,显然是正定函数;此外,沿着状态轨线的导数为:
令函数,则,关于的二次方程的根的判别式为
,,。
则有,所以表达式恒小于零,因此,为负定。
所以该系统在坐标原点处渐近稳定。
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