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无端点
无法度量
射线
射线OM
1个
线段
线段AB(或BA)
线段l
2个
可度量长度
※2.直线公理:
经过两点有且只有一条直线.
二.比较线段的长短
※1.线段公理:
两点间线段最短;
两之间线段的长度叫做这两点之间的距离.
※2.比较线段长短的两种方法:
①圆规截取比较法;
②刻度尺度量比较法.
※3.用刻度尺可以画出线段的中点,线段的和、差、倍、分;
用圆规可以画出线段的和、差、倍.
三.角的度量与表示
※1.角:
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角;
这个公共端点叫做角的顶点;
这两条射线叫做角的边.
※2.角的表示法:
角的符号为“∠”
①用三个字母表示,如图1所示∠AOB
②用一个字母表示,如图2所示∠b
③用一个数字表示,如图3所示∠1
④用希腊字母表示,如图4所示∠β
※经过两点有且只有一条直线。
※两点之间的所有连线中,线段最短。
※两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离。
1º
=60’1’=60”
※角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。
如图5所示:
※一条射线绕它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,
所成的角叫做平角。
如图6所示:
※终边继续旋转,当它又和始边重合时,
所成的角叫做周角。
如图7所示:
※从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
※经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
※如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。
※互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
※平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
※如图8所示,过点C作直线AB的垂线,垂足为O点,线段CO的长度叫做点C到直线AB的距离。
第二章平行线与相交线
一.台球桌面上的角
※1.互为余角和互为补角的有关概念与性质
如果两个角的和为90°
(或直角),那么这两个角互为余角;
如果两个角的和为180°
(或平角),那么这两个角互为补角;
注意:
这两个概念都是对于两个角而言的,而且两个概念强调的是两个角的数量关系,与两个角的相互位置没有关系。
它们的主要性质:
同角或等角的余角相等;
同角或等角的补角相等。
二.探索直线平行的条件
※两条直线互相平行的条件即两条直线互相平行的判定定理,共有三条:
①同位角相等,两直线平行;
②内错角相等,两直线平行;
③同旁内角互补,两直线平行。
三.平行线的特征
※平行线的特征即平行线的性质定理,共有三条:
①两直线平行,同位角相等;
②两直线平行,内错角相等;
③两直线平行,同旁内角互补。
四.用尺规作线段和角
※1.关于尺规作图
尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。
※2.关于尺规的功能
直尺的功能是:
在两点间连接一条线段;
将线段向两方向延长。
圆规的功能是:
以任意一点为圆心,任意长度为半径作一个圆;
以任意一点为圆心,任意长度为半径画一段弧。
第五章三角形
一.认识三角形
1.关于三角形的概念及其按角的分类
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
这里要注意两点:
①组成三角形的三条线段要“不在同一直线上”;
如果在同一直线上,三角形就不存在;
②三条线段“首尾是顺次相接”,是指三条线段两两之间有一个公共端点,这个公共端点就是三角形的顶点。
三角形按内角的大小可以分为三类:
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
2.关于三角形三条边的关系
根据公理“连结两点的线中,线段最短”可得三角形三边关系的一个性质定理,即三角形任意两边之和大于第三边。
三角形三边关系的另一个性质:
三角形任意两边之差小于第三边。
对于这两个性质,要全面理解,掌握其实质,应用时才不会出错。
设三角形三边的长分别为a、b、c则:
①一般地,对于三角形的某一条边a来说,一定有|b-c|<a<b+c成立;
反之,只有|b-c|<a<b+c成立,a、b、c三条线段才能构成三角形;
②特殊地,如果已知线段a最大,只要满足b+c>a,那么a、b、c三条线段就能构成三角形;
如果已知线段a最小,只要满足|b-c|<a,那么这三条线段就能构成三角形。
3.关于三角形的内角和
三角形三个内角的和为180°
①直角三角形的两个锐角互余;
②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角;
③一个三角中至少有两个内角是锐角。
4.关于三角形的中线、高和中线
①三角形的角平分线、中线和高都是线段,不是直线,也不是射线;
②任意一个三角形都有三条角平分线,三条中线和三条高;
③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置:
锐角三角形的三条高都在三角形的内部,如图1;
直角三角形有一条高在三角形的内部,另两条高恰好是它两条边,如图2;
钝角三角形一条高在三角形的内部,另两条高在三角形的外部,如图3。
④一个三角形中,三条中线交于一点,三条角平分线交于一点,三条高所在的直线交于一点。
二.图形的全等
能够完全重合的图形称为全等形。
全等图形的形状和大小都相同。
只是形状相同而大小不同,或者说只是满足面积相同但形状不同的两个图形都不是全等的图形。
三.全等三角形
1.关于全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
互相重合的顶点叫做对应点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角
所谓“完全重合”,就是各条边对应相等,各个角也对应相等。
因此也可以这样说,各条边对应相等,各个角也对应相等的两个三角形叫做全等三角形。
※2.全等三角形的对应边相等,对应角相等。
3.全等三角形的性质经常用来证明两条线段相等和两个角相等。
四.探三角形全等的条件
※1.三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”
※2.有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”
※3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”
※4.两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”
五.作三角形
1.已知两个角及其夹边,求作三角形,是利用三角形全等条件“角边角”即(“ASA”)来作图的。
2.已知两条边及其夹角,求作三角形,是利用三角形全等条件“边角边”即(“SAS”)来作图的。
3.已知三条边,求作三角形,是利用三角形全等条件“边边边”即(“SSS”)来作图的。
六.探索直三角形全等的条件
※1.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简称为“斜边、直角边”或“HL”。
这只对直角三角形成立。
※2.直角三角形是三角形中的一类,它具有一般三角形的性质,因而也可用“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”来判定。
直角三角形的其他判定方法可以归纳如下:
①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等;
②有一个锐角和一条边对应相等的两个直角三角形全等。
③三条边对应相等的两个直角三角形全等。
第七章生活中的轴对称
※1.如果一个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形;
这条直线叫做对称轴。
※2.角平分线上的点到角两边距离相等。
※3.线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
※4.角、线段和等腰三角形是轴对称图形。
※5.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,简称为“三线合一”。
※6.轴对称图形上对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
※7.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
第三章图形的平移与旋转
平移:
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定距离,这样的图形运动称为平移。
平移的基本性质:
经过平移,对应线段、对应角分别相等;
对应点所连的线段平行且相等。
旋转:
在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转。
这个定点叫旋转中心,转动的角度叫旋转角。
旋转的性质:
旋转后的图形与原图形的大小和形状相同;
旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等;
对应点到旋转中心的连线所成的角度彼此相等。
(例:
如图所示,点D、E、F分别为点A、B、C的对应点,经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等。
第四章四平边形性质探索
※平行四边的定义:
两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。
※平行四边形的性质:
平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离:
若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。
这个距离称为平行线之间的距离。
菱形的定义:
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质:
具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法:
一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
※矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质:
具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。
(矩形是轴对称图形,有两条对称轴)
※矩形的判定:
有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
正方形的定义:
一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质:
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
(正方形是轴对称图形,有两条对称轴)
※正方形常用的判定:
有一个内角是直角的菱形是正方形;
邻边相等的矩形是正方形;
对角线相等的菱形是正方形;
对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示):
※梯形定义:
一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质:
等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※多边形内角和:
n边形的内角和等于(n-2)·
180°
※多边形的外角和都等于360°
※在平面内,一个图形绕某个点旋转180°
,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图开叫做中心对称图形。
※中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段被对称中心平分。
第四章相似图形
一.线段的比
※1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:
CD=m:
n,或写成
.
※2.四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即
那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.
※3.注意点:
①a:
b=k,说明a是b的k倍;
②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;
③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;
④除了a=b之外,a:
b≠b:
a,
与
互为倒数;
⑤比例的基本性质:
若
则ad=bc;
若ad=bc,则
二.黄金分割
※1.如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果
那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.
四.相似多边形
1.一般地,形状相同的图形称为相似图形.
※2.对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
五.相似三角形
※1.在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.
※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.
※3.全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.注意:
证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
※4.相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
※5.相似三角形周长的比等于相似比.
※6.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
六.探索三角形相似的条件
※1.相似三角形的判定方法:
一般三角形
直角三角形
基本定理:
平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.
①两角对应相等;
②两边对应成比例,且夹角相等;
③三边对应成比例.
①一个锐角对应相等;
②两条边对应成比例:
a.两直角边对应成比例;
b.斜边和一直角边对应成比例.
※2.平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如图2,l1//l2//l3,则
※3.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
八.相似的多边形的性质
※相似多边形的周长等于相似比;
面积比等于相似比的平方.
九.图形的放大与缩小
※1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形;
这个点叫做位似中心;
这时的相似比又称为位似比.
※2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
◎3.位似变换:
①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.
②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.
③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.
第六章证明
(一)
二.定义与命题
※1.一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.
定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现.
※2.可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.
正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.
※3.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理.
※4.有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.
5.根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.
三.为什么它们平行
※1.平行判定公理:
同位角相等,两直线平行.(并由此得到平行的判定定理)
※2.平行判定定理:
同旁内互补,两直线平行.
※3.平行判定定理:
同错角相等,两直线平行.
四.如果两条直线平行
※1.两条直线平行的性质公理:
两直线平行,同位角相等;
※2.两条直线平行的性质定理:
两直线平行,内错角相等;
※3.两条直线平行的性质定理:
两直线平行,同旁内角互补.
五.三角形和定理的证明
※1.三角形内角和定理:
三角形三个内角的和等于180°
2.一个三角形中至多只有一个直角
3.一个三角形中至多只有一个钝角
4.一个三角形中至少有两个锐角
六.关注三角形的外角
※1.三角形内角和定理的两个推论:
推论1:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;
推论2:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
第一章证明
(二)
※等腰三角形的“三线合一”:
顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
※等边三角形是特殊的等腰三角形,作一条等边三角形的三线合一线,将等边三角形分成两个全等的
直角三角形,其中一个锐角等于30º
,这它所对的直角边必然等于斜边的一半。
※有一个角等于60º
的等腰三角形是等边三角形。
※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有:
①勾股定理:
(注意区分斜边与直角边)
②在直角三角形中,如有一个内角等于30º
,那么它所对的直角边等于斜边的一半
③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(此定理将在第三章出现)
※垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
(注意着重号的意义)
<
直线与射线有垂线,但无垂直平分线>
※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
※线段垂直平分线逆定理:
到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
※三角形的三边的垂直平分线交于一点,并且这个点到三个顶点的距离相等。
(如图1所示,AO=BO=CO)
※角平分线上的点到角两边的距离相等。
※角平分线逆定理:
在角内部的,如果一点到角两边的距离相等,则它在该角的平分线上。
角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
※三角形三条角平分线交于一点,并且交点到三边距离相等,交点即为三角形的内心。
(如图2所示,OD=OE=OF)
第三章证明(三)
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的菱形关系(如图3所示):
※三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半
第四章视图与投影
※三视图包括:
主视图、俯视图和左视图。
三视图之间要保持长对正,高平齐,宽相等。
一般地,俯视图要画在主视图的下方,左视图要画在正视图的右边。
主视图:
基本可认为从物体正面视得的图象
俯视图:
基本可认为从物体上面视得的图象
左视图:
基本可认为从物体左面视得的图象
※视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面),而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。
※在一个外形线框内所包括的各个小线框,一定是平面体(或曲面体)上凸出或凹的各个小的平面体(或曲面体)。
※在画视图时,看得见的部分的轮廓线通常画成实线,看不见的部分轮廓线通常画成虚线。
物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影。
太阳光线可以看成平行的光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影。
探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的,像这样的光线所形成的投影称为中心投影。
※区分平行投影和中心投影:
①观察光源;
②观察影子。
眼睛的位置称为视点;
由视点发出的线称为视线;
眼睛看不到的地方称为盲区。
※从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影,是当光线与投影垂直时的投影。
①点在一个平面上的投影仍是一个点;
②线段在一个面上的投影可分为三种情况:
线段垂直于投影面时,投影为一点;
线段平行于投影面时,投影长度等于线段的实际长度;
线段倾斜于投影面时,投影长度小于线段的实际长度。
③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况:
平面图形和投影面平行的情况下,其投影为实际形状;
平面图形和投影面垂直的情况下,其投影为一线段;
平面图形和投影面倾斜的情况下,其投影小于实际的形状。
第三章圆
一.车轮为什么做成圆形
※1.圆的定义:
描述性定义:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆;
固定的端点O叫做圆心;
线段OA叫做半径;
以点O为圆心的圆,记作⊙O,读作“圆O”
集合性定义:
圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆心,定长叫做圆的半径,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆。
对圆的定义的理解:
①圆是一条封闭曲线,不是圆面;
②圆由两个条件唯一确定:
一是圆心(即定点),二是半径(即定长
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