职高数学复习-数列教案.doc
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第课时
教学内容:
数列的定义
教学目的:
理解数列的定义、通项公式、Sn的含义,掌握通项公式的求法及其应用,了解递推的含义.
教学重点:
数列的基本概念.
教学难点:
求通项公式、递推公式的应用
教学过程:
一、数列的定义:
按一定顺序排列成的一列数叫做数列.
记为:
{a}.即{a}:
a,a,…,a.
二、通项公式:
用项数n来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式。
1、本质:
数列是定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数.
2、通项公式:
a=f(n)是a关于n的函数关系.
三、前n项之和:
S=a+a+…+a
注求数列通项公式的一个重要方法:
对于数列,有:
例1、已知数列{100-3n},
(1)求a、a;
(2)67是该数列的第几项;(3)此数列从第几项起开始为负项.
解:
例2求下列数列的通项公式:
(1)1,3,5,7,……
(2)-,,-,.……
(3)9,99,999,9999,……
解:
(1);
(2);(3)
练习:
定写出数列3,5,9,17,33,……的通项公式:
答案:
an=2n+1。
例3已知数列的第1项是1,以后的各项由公式给出,写出这个数列的前5项.
解据题意可知:
,
例4已知数列的前n项和,求数列的通项公式:
(1)=n+2n;
(2)=n-2n-1.
解:
(1)①当n≥2时,=-=(n+2n)-[(n-1)+2(n-1)]=2n+1;
②当n=1时,==1+2×1=3;
③经检验,当n=1时,2n+1=2×1+1=3,∴=2n+1为所求.
(2)①当n≥2时,=-=(n-2n-1)-[(n-1)+2(n-1)-1]=2n-3;
②当n=1时,==1-2×1-1=-2;
③经检验,当n=1时,2n-3=2×1-3=-1≠-2,∴=为所求.
注:
数列前项的和和通项是数列中两个重要的量,在运用它们的关系式时,一定要注意条件,求通项时一定要验证是否适合
四、提高:
例5当数列{100-2n}前n项之和最大时,求n的值.
分析:
前n项之和最大转化为.
五、同步练习:
1.已知:
,那么(C)
(A)0是数列中的一项(B)21是数列中的一项
(C)702是数列中的一项(C)30不是数列中的一项
2、在数列2,5,9,14,20,x,…中,x的值应当是(D)
(A)24(B)25(C)26(D)27
3、已知数列,…,,…且an=,则n为(C)
(A)21(B)41(C)45(D)49
4、数列{an}通项公式an=logn+1(n+2),则它的前30项之积是(B)
(A)(B)5(C)6(D)
5、已知数列1,-1,1,-1,…,则下列各式中,不是它的通项公式的为(D)
(A)(B)(C)(D)
6、数列的一个通项公式是 (A)
(A)(B)
(C) (D)
7、数列通项是,当其前n项和为9时,项数n是 (B)
(A)9 (B)99 (C)10 (D)100
8.数列,,,,…的一个通项公式是(B)
(A)(B)(C)(D)
9.设数列则是这个数列的(B)
(A)第六项(B)第七项(C)第八项(D)第九项
10.已知数列{a}满足a=1,且,求数列的第五项a5=31
11、已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn+1)=n+1,求an.
(答案:
)
12、已知数列{100-4n},
(1)求a;
(2)求此数列前10项之和;
(3)当此数列前n项之和最大时,求n的值.
答案
(1)60
(2)780(3)24or25
13、设数列{an}中,Sn=-n2+24n,
(1)求通项公式;
(2)求a10+a11+a12+…+a20的值;(3)求Sn最大时an的值.
答案:
(1)an=25-2n
(2)-55(3)1
补充:
1、已知数列{a}满足a=b(b1),且,
(1)求a,a,a;
(2)求此数列的通项公式.
2、已知数列{a}前n项之和Sn=,求an.
3、一数列的通项公式为an=30+n-n2.
①问-60是否为这个数列中的一项.
②当n分别为何值时,an=0,an>0,an<0
第课时
教学内容:
等差数列
(1)
教学目的:
通过复习,巩固等差数列的定义、通项公式、求和公式
教学重点:
等差数列
教学过程:
(一)主要知识
1.等差数列的定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
即:
2.通项:
,推广:
.
3.求和:
.(关于n的没有常数项的二次函数).
4.中项:
若a、b、c等差数列,则b为a与c的等差中项:
2b=a+c
(二)主要方法:
1.等差数列的判定方法
(1)定义法:
(2)中项法:
(3)通项法:
(4)前n项和法:
2.知三求二(),要求选用公式要恰当.
3.设元技巧:
三数:
四数
(二)基础题型:
讲练题:
1.求等差数列8,5,2…的第20项。
()
2.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.
(1)求通项an;
(2)若Sn=242,求n.
解
(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,
得方程组解得a1=12,d=2.所以an=2n+10.
(2)由Sn=na1+d,Sn=242,得方程12n+×2=242.
解得n=11或n=-22(舍去).
三、例题讲解:
例1判断下列数列是否是等差数列:
(1)an=3n+5;
(2)an=3n2;(3)an+1=an-3
(4)数列{an}满足Sn=2n2+3n.(5)已知数列a,b,c满足2=3,2=6,2=12.
解:
(注:
a,b,c成等差数列2b=a+c)
练习:
已知数列{a}满足:
a=2,a=a+3,求通项a.
例2在等差数列中,已知
解:
设首项为,公差为,
则
例3
(1)已知等差数列{}中=13且=,那么n取何值时,取最大值.
(2)设{a}是递增等差数列,它的前3项之和为12,前3项之积为48,求这个数列的首项.
解
(1)解法1:
设公差为d,由=得:
3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2。
解得d=-2,所以=15-2n。
由即得:
6.5≤n≤7.5,所以n=7时,取最大值.
解法2:
由解1得d=-2,又a1=13所以
=-n+14n=-(n-7)+49
∴当n=7,取最大值.
分析2:
三个数成等差数列可设这三个数为:
a-d,a,a+d
四、小结:
定义
a-a=d(
通项公式
a=a+(n-1)d
等差中项
A=
求和公式
五、同步练习:
1.数列{an}的通项公式为,则此数列为(A)
(A)是公差为2的等差数列(B)是公差为5的等差数列
(C)是首项为5的等差数列(D)是公差为n的等差数
2、下列数列是等差数列的是(B)
(A){a}:
1,2,4,6,8(B){a}:
a-a=2(n2)
(C){a}:
a=3n2+2(D){a}:
S=2n+1
3、已知数列是等差数列,则使为等差数列的数列是(C)
(A)(B)(C)(D)
4.已知等差数列:
40,37,34,…中第一个负数项是(C)
(A)第13项(B)第14项(C)第15项(D)第16项
5、在等差数列{a}中,已知a=2,a+a=13,则a+a+a等于(B)
(A)40(B)42(C)43(D)45
6.若等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则d=(C)
(A)5(B)4(C)3(D)2
7.等差数列{an}的公差d=,且S100=145,则a1+a3+a5+…+a99=(C)
(A)52.5(B)72.5(C)60(D)85
8.在等差数列{an}中,已知:
a5=8,S5=10,那么S10等于(A)
(A)95(B)125(C)175(D)70
9.在等差数列{an}中,已知Sn=4n2-n,那么a100=(D)
(A)810(B)805(C)800(D)795
10.在等差数列{an}中,已知S4=1,S8=4,则等于(C)
(A)7(B)8(C)9(D)10
11、在100和500之间能被9整除的所有数的和是(A)
(A)13266(B)12699(C)13832(D)14500
12.一个等差数列的首项是89,公差为25,则此数列从78项开始大于1999.
13.等差数列的第10项为23,第25项为-22,则数列的通项公式为an=53-3n.
14.已知数列{a}满足:
a=1,a=a+3,则a=3n-2.
15.设为等差数列的前项和,若,则公差为-1
16.在等差数列中,a1>0,d=,an=3,Sn=,则a1=2,n=3.
17.方程lgx+lgx3+lgx5+….+lgx2n-1=2n2的解是100.
18.等差数列{an}的通项公是an=2n+1,由bn=,则数列{bn}的前n项的和是0.5n(n+5).
19、等差数列{a},a=1,a+a+…+a=100,则此数列的通项a=2n-1.
20、在等差数列中,a=-7,a=13,S=18,求公差d的值.(答案:
4)
21、已知等差数列{a}中,aa=13,a=7,求a和公差d.
答案:
a1=1,a7=13,d=2或a1=13,a7=1,d=-2
22.已知等差数列{an},,试问:
该数列前n项的和Sn能否取得最小值?
若能请求出最小值及此时n的值,若不能,请说明理由.()
23.已知等差数列前3项分别为a-1,a+1,2a+3,求数列的通项公式.
答案:
a=0,an=2n-3
24、已知等差数列前4项分别为x,x+3y-1,3x+y,4x+2y+2,求通项a.
第课时
教学内容:
等差数列
(2)
教学目的:
深化知识,强化等差数列性质的应用
教学重点:
等差数列的性质及应用
教学难点:
性质的应用
教学过程:
(一)简单性质:
(1)若n+m=2p,则an+am=2ap.
推广:
从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
如:
(下标成等差数列)
(2)等和性:
(3)组成公差为的等差数列.
(4)a=a+(n-m)d
(二)知识应用
例1在等差数列{a}中,解决下列问题:
(1)已知a+a=20,求a.
(2)已知++++=450,求+及前9项和.
解由等差中项公式:
+=2,+=2
由条件++++=450,得:
5=450,∴+=2=180.
=810
(3)等差数列{a}的前n项和为30,前2n项和为100,则它的前3n项和为C.
(A)130(B)170(C)210 (D)260
(4)已知{a}是等差数列,公差为-2,且a+a+...+a=100,则a+a+...+a=.
例2若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数.
解:
例3项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.
解:
设数列共2m+1(m∈N*)把该数列记为{an}.
依题意:
(a2+a2m)=33
(1);
(a1+a2m+1)=44
(2)
由
(1)
(2)得 ∴m=3。
代入
(1)得a2+a2m=22,∴am+1==11.即该数列有7项,中间项为11.
(三)提高:
例1已知等差数列{an}为等差数列,p≠q,ap=q,aq=p,求ap+q.
解法一:
相减得(p-q)d=q-p,∵p≠q,∴d=-1.代入
(1),
得a1=p+q-1.故ap+q=a1+(p+q-1)d=0.
解法二:
ap=aq+(p-q)d,∴q=p+(p-q)d,以下同解法一.
例2已知为等差数列,前10项的和为前100项的和,求前110项的和
解法一:
设的首项为,公差,则
解法二:
为等差数列,故可设,则
解法三:
例5设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.
(Ⅰ)求公差d的取值范围;
(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由.
解:
(Ⅰ)依题意,有
,即,
由a3=12,得a1=12-2d(3)
将(3)式分别代入
(1),
(2)式,得,∴.
(Ⅱ)由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13.
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,
则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
由于S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0,即a6+a7>0,a7<0.
由此得a6>-a7>0.因为a6>0,a7<0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.
(三)同步练习:
1.在等差数列中,S10=120,那么a1+a10的值是(B)
(A)12(B)24(C)36(D)48
2、在等差数列{an}中,a5+a6+a7+a8+a9=450,则a3+a11的值为(C)
(A)45(B)75(C)180(D)300
3、等差数列{an}中,已知a2+a12=3,则S13=(B)
(A)18(B)19.5(C)21(D)39
4、设是等差数列的前项和,若,则(D)
(A)(B)(C)(D)
5、是等差数列,,,则数列的前6项和等于(B)
(A)12 (B)24 (C)36 (D)48
6、在等差数列{an}中,已知a3:
a5=3:
4,则S9:
S5的值是(D)
(A)27:
20(B)9:
4(C)3:
4(D)12:
5
7、的通项为若要使此数列的前n项和最大,则n=(C)
(A)12(B)13(C)12或13(D)14
8、若等差数列{an}单调递增,且a3+a6+a9=12,a3a6a9=28,则an=(D)
(A)n-2(B)-n+16(C)n-2或-n+16(D)n-2
9、等差数列共有2n+1项,其奇数项的和为132,偶数项的和为120,则n=(B)
(A)9(B)10(C)11(D)不确定
10、如果f(n+1)=f(n)+1,(n)且f
(1)=2,则f(100)的值是(C)
(A)102(B)99(C)101(D)100
11.设{an}是公差为-2的等差数列,若a1+a4+a7+…+a97=50,则a3+a6+a9+…+a99等于(B)
(A)-78(B)-82(C)-148(D)-182
12、在等差数列{an}中,如果a6+a9+a12+a15=20,则S20=100
13、若,,成等差数列,则x的值为log27
14、等差数列{an}中,已知S10=10,S20=30,求S30=60
15、已知b是a、c的等差中项,的等差中项,如果a+b+c=33,求此三数.(答案:
13、11、9或4、11、18)
16.等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若的值为
(答案:
7/4)
17.在等差数列中,其它的前项和,若210
第课时
教学内容:
等比数列
(1)
教学目的:
巩固等比数列的定义、通项、求和
教学重点:
等比数列.
教学难点:
计算方法
教学过程:
(一)主要知识:
1.定义与定义式:
从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.
2.通项公式:
推广形式:
.
3.前n项和:
注:
应用前n项和公式时,一定要区分的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.
4.等比中项:
如果在与之间插入一个数,使,,成等比数列,那么叫做与的等比中项.即().
(二)主要方法:
1.等比数列的判定方法:
①定义法:
对于数列,若,则数列是等比数列.
②等比中项:
对于数列,若,则数列是等比数列.
2.三个数成等比可设它们为:
a,aq,aq2或a/q,a,aq;四个数成等比可设它们为:
a/q3,a/q,aq,aq3;
(三)知识点训练
1、在等比数列{an}中a2=2,a5=54,则q= ;
2、在等比数列{an}中a5=1,an=256,q=2,则n= .
3、公差不为0的等差数列第二、三、六项成等比数列,则公比等于 .
(四)例题讲解:
例1已知数列:
3+2,(3-2),3+2,则下列说法正确的是
(A)此数列是等差数列,但不是等比数列
(B)此数列是等比数列,但不是等差数列
(C)此数列是等差数列,也是等比数列
(D)此数列即不是等差数列,又不是等比数列
例2解决下列问题:
(1)等比数列中=2,=8,求通项公式;
解:
(2)等比数列中=5,且2=3,求通项公式;
解:
(3)求等比数列1,2,4,…从第5项到第10项的和.
解:
由
,
从第5项到第10项的和为-=1008
(4)在等比数列{a}中,a=,S=,求a和公比q.
例3在等比数列{an}中,S4=1,S8=3,则a17+a18+a19+a20.
解解方程组可得:
q4=2,,
解法2由,-,-,…成等比数列计算.
(五)练习:
在等比数列中,解决下列问题:
(1)已知a=8,a=2,求a.
(2)已知S=,S=+,求a.
(3)在等比数列{a}中,S=,公比q=,求a.
(4)a5-a1=15,a4-a2=6,则a3=.
(5)在等比数列{an}中,已知a3=1,S3=4,求a1、q
(6)a=a+5,a+a=4,求a.
(六)作业
公式基础应用——在等比数列中,解决下列问题:
(1)已知a=8,a=2,求a.(128)
(2)已知S=,S=+,求a.()
(3)在等比数列{a}中,S=,公比q=,求a.(a1=24,a5=243/2)
(4)a5-a1=15,a4-a2=6,则a3=4.
(5)在等比数列{an}中,已知a3=1,S3=4,求a1、q.(a1=3/2,q=1)
1、“b2=ac”是a、b、c成等比数列的(B)
(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)非充分非必要条件
2、在等比数列{an}中,已知a5=-2,则这个数列的前9项之积的值为(B)
(A)512(B)-512(C)256(D)-256
3、lga、lgb、lgc三个数成等差数列,则(D)
(A)a+b=c(B)(C)a+c=2b(D)a、b、c成等比数列
4、若a、b、c成等比数列,则函数y=ax2+bx+c与x轴交点的个数(A)
(A)0个(B)1个(C)2个(D)0个或2个
5、在等比数列中,a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是(A)
(A)4(B)4(C)(D)
6、下列四个命题中,正确的个数是(B)
①公比q>1的等比数列的各项都大于1;②公比q<0的等比数列是递减数列;
③常数列是公比为1的等比数列;④{lg2n}是等差数列而不是等比数列
(A)0(B)1(C)2(D)3
7、数列{an}的前n项之和为Sn=2n-1,那么此数列是(A)
(A)等比数列(B)等差数列(C)等比或等差数列(D)非等比等差数列
8、已知数列{an}的通项公式为an=22n-1,则该数列的前5项的和为(D)
(A)62(B)(C)(D)682
9、数列{an}中,若an+1=an,且a1=2,则S5=(A)
(A)(B)(C)(D)
10、等比数列的前三项和等于首项的3倍,则该等比数列的公比为(C)
(A)-2(B)1
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