数学分析下定义及定理.docx
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数学分析下定义及定理.docx
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第十二章数项级数
1、级数的收敛性
定义1给定一个数列,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式
(1)
称为数项级数或无穷级数(也常简称级数),其中称为数项级数
(1)的通项.
数项级数
(1)也常写作:
或简单写作.
数项级数
(1)的前项之和,记为
,
(2)
称它为数项级数
(1)的第个部分和,也简称部分和.
定义2若数项级数
(1)的部分和数列收敛于(即),则称数项级数
(1)收敛,称为数项级数
(1)的和,记作
或.
若是发散数列,则称数项级数
(1)发散.
定理12.1(级数收敛的柯西准则)级数
(1)收敛的充要条件是:
任给正数,总存在正整数,使得当>以及对任意的正整数,都有
<.(6)
定理12.2若级数与都收敛,则对任意常数级数亦收敛,且
定理12.3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的收敛性.
定理12.4在收敛级数的项中任意加括号,即不改变级数的收敛性,也不改变级数的和。
正向级数
定理12.5正项级数收敛的充要条件:
部分和数列有界,即存在某个正数,对一切正整数有<.
定理12.6(比较原则)设与是两个正项级数,如果存在某个正数,对一切>都有,,则
(i)若级数收敛,则级数也收敛;
(ii)若级数发散,则级数也发散.
推论设
是两个正项级数,若
则
(i)当时,级数(3)、(4)同时收敛或同时发散;
(ii)当且级数(4)收敛时,级数(3)也收敛;
(iii)当且级数(4)发散时,级数(3)也发散.
定理12.7(达朗贝尔判别法,或称比式判别法)设为正项级数,且存在某正整数及常数
(i)若对一切成立不等式
则级数收敛.
(ii)若对一切成立不等式
则级数发散.
推论1(比式判别法的极限形式)若为正项级数,且
则
(i)当时,级数收敛;
(ii)当或时,级数发散.
推论2设为正项级数.
(i)若,则级数收敛;
(ii)若,则级数发散.
定理12.8(柯西判别法,或称根式判别法)设为正项级数,且存在某正数及常数,
(i)若对一切成立不等式
则级数收敛;
(ii)若对一切成立不等式
则级数发散.
推论1(根式判别法的极限形式)设为正项级数,且
则
(i)当时,级数收敛;
(ii)当时,级数发散.
推论2设为正项级数,且
则当
(i)时级数收敛;
(ii)时级数发散.
定理12.9设为上的非负减函数,那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散.
定理12.10(拉贝判别法)设为正项级数,且存在某正整数及常数,
(i)若对一切,成立不等式
则级数收敛;
(ii)若对一切,成立不等式
则级数发散;
推论(拉贝判别法的极限形式)设为正项级数,且极限
存在,则
(i)当时,级数收敛;
(ii)当时,级数发散.
2、一般项数级数
定理12.11(莱布尼茨判别法)若交错级数
(1)满足下述两个条件:
(i)数列单调递减;
(ii)
则级数
(1)收敛.
推论若级数
(1)满足莱布尼茨判别法的条件,则收敛级数
(1)的余项估计式为
定理12.12绝对收敛的级数一定收敛.
定理12.13设级数绝对收敛,且其和等于,则任意重排列后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数.
级数的乘积
设有收敛级数
把级数
(2)与(3)中的每一项所有可能的乘积列成下表:
(4)
这些乘积可以按各种方法排成不同的级数.
定理12.4(柯西定理)若级数
(2)(3)都绝对收敛,则对(4)中的所有乘积按任意顺序排列所得的级数也绝对收敛,且其和等于
引理(分部求和公式,也称阿贝耳变换)设为两组实数,若令
则有如下分部求和公式成立:
推论(阿贝耳引理)若
(i)是单调数组;
(ii)对任一正整数有(这里),则记
时,有
定理12.5(阿贝耳判别法)若为单调有界数列,且级数收敛,
则级数(5)收敛.
定理12.6(狄利克雷判别法)若数列单调递减,且又级数的部分和数列有界,则级数(5)收敛.
第十三章函数列与函数项级数
1、
第十四章幂级数
第十五章傅里叶级数
第十六章多元函数的极限与连续
第十七章多元函数微分学
第十八章隐函数定理及其应用
第十九章含参量积分
第二十章曲线积分
第二十一章重积分
第二十二章曲面积分
第二十三章流形体上微积分初阶段
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- 数学分析 下定义 定理