1、第十二章 数项级数1、 级数的收敛性 定义1 给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 （1）称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中称为数项级数（1）的通项.数项级数（1）也常写作:或简单写作.数项级数（1）的前项之和，记为， （2）称它为数项级数（1）的第个部分和，也简称部分和.定义2 若数项级数（1）的部分和数列收敛于（即），则称数项级数（1）收敛，称为数项级数（1）的和，记作或.若是发散数列，则称数项级数（1）发散.定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数，总存在正整数，使得当以及对任意的正整数，都有. （6）定理12.2 若级数与都收敛
2、，则对任意常数级数亦收敛，且 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的收敛性.定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号，即不改变级数的收敛性，也不改变级数的和。正向级数定理12.5 正项级数收敛的充要条件：部分和数列有界，即存在某个正数，对一切正整数有都有，则（i）若级数收敛，则级数也收敛；（ii）若级数发散，则级数也发散.推论 设 是两个正项级数，若则 （i）当时，级数（3）、（4）同时收敛或同时发散； （ii）当且级数（4）收敛时，级数（3）也收敛； （iii）当且级数（4）发散时，级数（3）也发散.定理12.7（达朗贝尔判别法，或称比式判别法） 设为正项级数，且存在某正
3、整数及常数（i）若对一切成立不等式 则级数收敛.（ii）若对一切成立不等式 则级数发散.推论1（比式判别法的极限形式） 若为正项级数，且 则 （i）当时，级数收敛； （ii）当或时，级数发散.推论2 设为正项级数.（i）若，则级数收敛；（ii）若，则级数发散.定理12.8（柯西判别法，或称根式判别法） 设为正项级数，且存在某正数及常数， （i）若对一切成立不等式 则级数收敛；（ii）若对一切成立不等式 则级数发散.推论1（根式判别法的极限形式） 设为正项级数，且 则 （i）当时，级数收敛； （ii）当时，级数发散.推论2 设为正项级数，且 则当 （i）时级数收敛； （ii）时级数发散.定理12
4、.9 设为上的非负减函数，那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散.定理12.10（拉贝判别法） 设为正项级数，且存在某正整数及常数 ，（i）若对一切，成立不等式 则级数收敛；（ii）若对一切，成立不等式 则级数发散；推论（拉贝判别法的极限形式） 设为正项级数，且极限 存在，则（i）当时，级数收敛；（ii）当时，级数发散. 2、 一般项数级数 定理12.11（莱布尼茨判别法） 若交错级数 （1）满足下述两个条件：（i）数列单调递减；（ii）则级数（1）收敛. 推论 若级数（1）满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数（1）的余项估计式为 定理12.12 绝对收敛的级数一定收敛. 定理12.13 设
5、级数绝对收敛，且其和等于，则任意重排列后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数.级数的乘积 设有收敛级数 把级数（2）与（3）中的每一项所有可能的乘积列成下表： （4） 这些乘积可以按各种方法排成不同的级数.定理12.4（柯西定理） 若级数（2）（3）都绝对收敛，则对（4）中的所有乘积按任意顺序排列所得的级数也绝对收敛，且其和等于引理（分部求和公式，也称阿贝耳变换） 设为两组实数，若令 则有如下分部求和公式成立：推论（阿贝耳引理） 若 （i）是单调数组； （ii）对任一正整数有(这里)，则记时，有定理12.5（阿贝耳判别法） 若为单调有界数列，且级数收敛，则级数（5）收敛.定理12.6（狄利克雷判别法） 若数列单调递减，且又级数的部分和数列有界，则级数（5）收敛. 第十三章 函数列与函数项级数1、第十四章 幂级数第十五章 傅里叶级数第十六章 多元函数的极限与连续第十七章 多元函数微分学第十八章 隐函数定理及其应用第十九章 含参量积分第二十章 曲线积分第二十一章 重积分第二十二章 曲面积分第二十三章 流形体上微积分初阶段
