高三数学复习等比数列.doc
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等比数列
一、基础知识
1.定义与定义式
从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.
2.通项公式,推广形式:
变式
3.前n项和
注:
应用前n项和公式时,一定要区分的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.
4.等比中项:
若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比中项,且
5.在等比数列中有如下性质:
(1)若
(2)下标成等差数列的项构成等比数列
(3)连续若干项的和也构成等比数列.
6.证明数列为等比数列的方法:
(1)定义法:
若
(2)等比中项法:
若
(3)通项法:
若
(4)前n项和法:
若
7.解决等比数列有关问题的常见思维方法
(1)方程的思想(“知三求二”问题)
(2)分类的思想
①运用等比数列的求和公式时,需要对讨论
②当
()
二、范例剖析
1.关于基本公式的运用
例1.已知等比数列中,a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求an。
详见优化设计P41典例剖析例1,解答略。
变式:
将该题中的等比数列改为等差数列,结果是多少?
例2.已知数列为等差数列,公差d≠0,的部分项组成下列数列:
,,…,,恰为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+…+kn。
详见优化设计P41典例剖析例2,解答略。
2.关于等比数列的证明
例3.数列的通项公式分别是它们公共项由小到大排列的数列是,①写出的前5项②证明是等比数列
思维分析:
容易证明是等比数列,由定义式,只需找出中任意相邻两项关系即可.
解
(1)的前5项为:
8、32、128、512、2048
(2)设
3.数学应用题----数列建模
例4.一个球应从100米高处自由下落,每次着地后又跳回到原高度的一半落下,当它第10次着地时,共经过了多少米?
思维分析:
数列建模过程中,关键是建立递推关系式,然而求出,再结合数列相关性质解题。
解:
球第一次着地时经过了100米,从这时到球第二次着地时,一上一下共经过了,因此球第十次着地时共经过的路程为
练习变式4:
一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一出生就在每年生日,到银行储蓄a元,一年定期,若年利润率为r,保持不变,且每年到期时,存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子18岁上大学时,将所有存款(含利息)全部取回,则取回总钱数为多少?
解:
4.等比数列综合题
例5设各项均为正数的数列和满足,,成等比数列,lgbn,lgan+1,lgbn+1成等差数列,且a1=1,b1=2,a2=3,求通项an,bn。
详见优化设计P42典例剖析例3,解答略。
备用题:
(01年全国高考)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业收入为bn万元,写出an、bn的表达式。
(2)至少经过多少年旅游业总收入才能超过总投入?
思维分析:
建立等比数列模型
解:
(1)
(2),至少经过5年。
三、课堂小结
1.等比数列的定义、通项、中项、求和;
2.方程的思想、整体代换思想、分类讨论思想;
3.适当注意等比数列性质的应用,以减少运算量而提高解题速度。
四、课后作业
优化设计
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- 数学 复习 等比数列