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律
牛顿第二定律、向心力公式
基本公式
L=vt,y=at2,
a=,tanθ=
r=,T=,
t=T
例1.如图所示,静止于A处的离子,经加速电场加速后沿图中圆弧虚线通过静电分析器,从P点垂直CN进入矩形区域的有界匀强电场,电场方向水平向左.静电分析器通道内有均匀辐射分布的电场,已知圆弧虚线的半径为R,其所在处场强为E、方向如图所示;
离子质量为m、电荷量为q;
=2d、=3d,离子重力不计.
(1)求加速电场的电压U;
(2)若离子恰好能打在Q点上,求矩形区域QNCD内匀强电场场强E0的值;
(3)若撤去矩形区域QNCD内的匀强电场,换为垂直纸面向里的匀强磁场,要求离子能最终打在QN上,求磁场磁感应强度B的取值范围.
(2)离子做类平抛运动2d=vt
3d=at2
由牛顿第二定律得qE0=ma.
则E0=
(3)离子在匀强磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,根据牛顿第二定律,有qBv=m
则r=
离子能打在QN上,则既没有从DQ边出去也没有从PN边出去,则离子运动径迹的边界如图中Ⅰ和Ⅱ.
由几何关系知,离子能打在QN上,必须满足:
d<
r≤2d
则有≤B<
.
答案
(1)ER
(2)
(3)≤B<
【变式探究】如图所示的坐标系中,第一象限内存在与x轴成30°
角斜向下的匀强电场,电场强度E=400N/C;
第四象限内存在垂直于纸面向里的有界匀强磁场,x轴方向的宽度OA=20cm,y轴负方向无限大,磁感应强度B=1×
10-4T.现有一比荷为=2×
1011C/kg的正离子(不计重力),以某一速度v0从O点射入磁场,α=60°
,离子通过磁场后刚好从A点射出,之后进入电场.
(1)求离子进入磁场B的速度v0的大小;
(2)离子进入电场后,经多少时间再次到达x轴上;
(3)若离子进入磁场B后,某时刻再加一个同方向的有界匀强磁场使离子做完整的圆周运动,求所加磁场磁感应强度的最小值.
解析 离子的运动轨迹如图所示
(2)离子进入电场后,设经过时间t再次到达x轴上.离子沿垂直电场方向做速度为v0的匀速直线运动,位移为l1
l1=v0t
离子沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动,加速度为a,位移为l2
Eq=ma
l2=at2
由几何关系可知tan60°
=
代入数据解得t=×
10-7s
(3)由Bqv=知,B越小,r越大.设离子在磁场中最大半径为R
由几何关系得R=(r1-r1sin30°
)=0.05m
由牛顿运动定律得B1qv0=m得B1=4×
10-4T
则外加磁场ΔB1=3×
答案
(1)4×
106m/s
(2)×
(3)3×
10-4T
【感悟提升】带电粒子在组合场中的运动问题,一般都是单物体多过程问题,求解策略是“各个击破”:
(1)先分析带电粒子在每个场中的受力情况和运动情况,抓住联系相邻两个场的纽带——速度(一般是后场的入射速度等于前场的出射速度),
(2)然后利用带电粒子在电场中往往做类平抛运动或直线运动,在磁场中做匀速圆周运动的规律求解.
【命题热点突破二】带电粒子在叠加复合场中的运动
例2.如图所示,水平线AC和竖直线CD相交于C点,AC上开有小孔S,CD上开有小孔P,AC与CD间存在磁感应强度为B的匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里,∠DCG=60°
,在CD右侧、CG的下方有一竖直向上的匀强电场E(大小未知)和垂直纸面向里的另一匀强磁场B1(大小未知),一质量为m、电荷量为+q的塑料小球从小孔S处无初速度地进入匀强磁场中,经一段时间恰好能从P孔水平匀速飞出而进入CD右侧,小球在CD右侧做匀速圆周运动而垂直打在CG板上,重力加速度为g.
(1)求竖直向上的匀强电场的电场强度E的大小;
(2)求CD右侧匀强磁场的磁感应强度B1的大小;
(3)若要使小球进入CD右侧后不打在CG上,则B1应满足什么条件?
解析
(1)因小球在CD右侧受重力、电场力和洛伦兹力作用而做匀速圆周运动,所以有mg=qE,即E=.
(2)小球进入磁场后,由于重力作用,速率不断增大,同时在洛伦兹力的作用下小球右偏,当小球从小孔P水平匀速飞出时,受力平衡有Bqv=mg,即v=
从S到P由动能定理得mg=mv2,即=
因小球从小孔P水平飞入磁场B1后做匀速圆周运动而垂直打在CG上,所以C点即为小球做圆周运动的圆心,半径即为r=
又因B1qv=m
联立得B1=2B.
答案
(1)
(2)2B (3)B1≥4.3B
【变式探究】如图所示,离子源A产生的初速度为零、带电荷量为e、质量不同的正离子被电压为U1的加速电场加速后进入一电容器中,电容器两极板之间的距离为d,电容器中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场和匀强电场.正离子能沿直线穿过电容器,垂直于边界MN进入磁感应强度大小也为B的扇形匀强磁场中,∠MNQ=90°
.(不计离子的重力)
(1)求质量为m的离子进入电容器时,电容器两极板间的电压U2;
(2)求质量为m的离子在磁场中做圆周运动的半径;
(3)若质量为4m的离子垂直打在NQ的中点S1处,质量为16m的离子打在S2处.求S1和S2之间的距离以及能打在NQ上正离子的质量范围.
解析
(1)设离子经加速电场后获得的速度为v1,应用动能定理有U1e=mv
离子进入电容器后沿直线运动,有=Bev1
得U2=Bd
(3)根据
(2)中R=,质量为4m的离子在磁场中运动打在S1处,运动半径为
R1=
质量为16m的离子在磁场中运动
打在S2处,运动半径为R2=
又ON=R2-R1
由几何关系可知S1和S2之间的距离ΔS=-R1
联立解得ΔS=2(-1)
由R′2=(2R1)2+(R′-R1)2
解得R′=R1
再根据R1≤Rx≤R1
解得m≤mx≤25m
答案
(1)Bd
(2)
(3)m≤mx≤25m
【命题热点突破三】带电粒子在交变电磁场中的运动及多解问题
例3、如图甲所示,宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2),存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如图乙所示),电场强度的大小为E0,E>0表示电场方向竖直向上.t=0时,一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域,沿直线运动到Q点后,做一次完整的圆周运动,再沿直线运动到右边界上的N2点.Q为线段N1N2的中点,重力加速度为g.上述d、E0、m、v、g为已知量.
(1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小.
(2)求电场变化的周期T.
(3)改变宽度d,使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域,求T的最小值.
(2)设微粒从N1运动到Q的时间为t1,做圆周运动的周期为t2,则=vt1⑤(1分)
qvB=m⑥(2分)
2πR=vt2⑦(1分)
联立③④⑤⑥⑦得t1=;
t2=⑧(2分)
电场变化的周期T=t1+t2=+⑨(1分)
(3)若微粒能完成题述的运动过程,要求d≥2R⑩(1分)
联立③④⑥得R=⑪(1分)
设在N1Q段直线运动的最短时间为t1min,由⑤⑩⑪得
t1min=
因t2不变,T的最小值Tmin=t1min+t2=.(2分)
【感悟提升】空间存在的电场或磁场是随时间周期性变化的,一般呈现“矩形波”的特点.交替变化的电场及磁场会使带电粒子顺次经过不同特点的电场、磁场或叠加的场,从而表现出多过程现象,其特点较为隐蔽,应注意以下两点:
(1)仔细确定各场的变化特点及相应时间,其变化周期一般与粒子在磁场中的运动周期关联.
(2)把粒子的运动过程用直观草图进行分析.
【变式探究】如图甲所示,两竖直线所夹区域内存在周期性变化的匀强电场与匀强磁场,变化情况如图乙、丙所示,电场强度方向以y轴负方向为正,磁感应强度方向以垂直纸面向外为正.t=0时刻,一质量为m、电量为q的带正电粒子从坐标原点O开始以速度v0沿x轴正方向运动,粒子重力忽略不计,图乙、丙中E0=,t0=,B0已知.要使带电粒子在0~4nt0(n∈N)时间内一直在场区运动,求:
(1)在t0时刻粒子速度方向与x轴的夹角;
(2)右边界到O的最小距离;
(3)场区的最小宽度.
解析
(1)由牛顿第二定律,得E0q=ma
vy=t0(2分)
E0=
tanθ=(1分)
θ=37°
(1分)
(2)x1=v0t0(1分)
如图所示,由几何关系得
x2=R1-R1cos53°
B0qv=m(1分)
v=(1分)
x=x1+x2=(π+0.5)(1分)
答案
(1)37°
(2)(π+0.5)
(3)(1.5n+1.5+π)
【高考真题解读】
1.(2015·
福建理综,22,20分)如图,绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场,电场方向水平向右,电场强度大小为E,磁场方向垂直纸面向外,磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑,到达C点时离开MN做曲线运动.A、C两点间距离为h,重力加速度为g.
(1)求小滑块运动到C点时的速度大小vC;
(2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf;
(3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置,当小滑块运动到D点时撤去磁场,此后小滑块继续运动到水平地面上的P点.已知小滑块在D点时的速度大小为vD,从D点运动到P点的时间为t,求小滑块运动到P点时速度的大小vP.
(3)如图,小滑块速度最大时,速度方向与电场力、重力的合力方向垂直.撤去磁场后小滑块将做类平抛运动,等效加速度为g′
g′=⑥
且v=v+g′2t2⑦
解得vP=+\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((\f(qE,m))2+g2))t2)⑧
答案
(1)
(2)mgh-
(3)+\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((\f(qE,m))2+g2))t2)
2.(2015·
重庆理综,9,18分)如图为某种离子加速器的设计方案.两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场.其中MN和M′N′是间距为h的两平行极板,其上分别有正对的两个小孔O和O′,O′N′=ON=d,P为靶点,O′P=kd(k为大于1的整数).极板间存在方向向上的匀强电场,两极板间电压为U.质量为m、带电量为q的正离子从O点由静止开始加速,经O′进入磁场区域.当离子打到极板上O′N′区域(含N′点)或外壳上时将会被吸收.两虚线之间的区域无电场和磁场存在,离子可匀速穿过,忽略相对论效应和离子所受的重力.求:
(1)离子经过电场仅加速一次后能打到P点所需的磁感应强度大小;
(2)能使离子打到P点的磁感应强度的所有可能值;
(3)打到P点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间.
解析
(1)粒子经电场加速一次后的速度为v1,由动能定理得
qU=mv①
粒子能打到P点,则在磁场中的轨道半径r1=②
对粒子在磁场中由牛顿第二定律得qv1B1=,r1)③
联立①②③式解得B1=④
(2)若粒子在电场中加速n次后能打到P点,同理可得
nqU=mv2 (n=1,2,3,…)⑤
rn=⑥
qvB=⑦
联立⑤⑥⑦式解得B=⑧
由题意可得当n=1时,2r1′>
d⑨
解得n<
k2⑩
故⑧式中n的取值为n=1,2,3,…,k2-1
答案
(1)
(2) (n=1,2,3,…,k2-1)
(3) h
3.(2015·
天津理综,12,20分)现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动.真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场,电场与磁场的宽度均为d.电场强度为E,方向水平向右;
磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直.一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放,粒子始终在电场、磁场中运动,不计粒子重力及运动时的电磁辐射.
(1)求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2;
(2)粒子从第n层磁场右侧边界穿出时,速度的方向与水平方向的夹角为θn,试求sinθn;
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出,试问在其他条件不变的情况下,也进入第n层磁场,但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界,请简要推理说明之.
(2)设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn,轨迹半径为rn(各量的下标均代表粒子所在层数,下同).
nqEd=mv⑤
qvnB=m,rn)⑥
图1
粒子进入第n层磁场时,速度的方向与水平方向的夹角为αn,从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn,粒子在电场中运动时,垂直于电场线方向的速度分量不变,有
vn-1sinθn-1=vnsinαn⑦
由图1看出
rnsinθn-rnsinαn=d⑧
由⑥⑦⑧式得
rnsinθn-rn-1sinθn-1=d⑨
由⑨式看出r1sinθ1,r2sinθ2,…,rnsinθn为一等差数列,公差为d,可得
rnsinθn=r1sinθ1+(n-1)d⑩
图2
当n=1时,由图2看出
r1sinθ1=d
由⑤⑥⑩⑪式得
sinθn=B⑫
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出,则
θn=⑬
sinθn=1⑭
在其他条件不变的情况下,换用比荷更大的粒子,设其比荷为,假设能穿出第n层磁场右侧边界,粒子穿出时的速度方向与水平方向的夹角为θn,由于
>⑮
则导致
sinθn′>1⑯
说明θn′不存在,即原假设不成立.所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界.
答案
(1)2
(2)B (3)见解析
4.(2015·
江苏单科,15,16分)一台质谱仪的工作原理如图所示,电荷量均为+q、质量不同的离子飘入电压为U0的加速电场,其初速度几乎为零.这些离子经加速后通过狭缝O沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场,最后打在底片上.已知放置底片的区域MN=L,且OM=L.某次测量发现MN中左侧区域MQ损坏,检测不到离子,但右侧区域QN仍能正常检测到离子.在适当调节加速电压后,原本打在MQ的离子即可在QN检测到.
(1)求原本打在MN中点P的离子质量m;
(2)为使原本打在P的离子能打在QN区域,求加速电压U的调节范围;
(3)为了在QN区域将原本打在MQ区域的所有离子检测完整,求需要调节U的最少次数.(取lg2=0.301,lg3=0.477,lg5=0.699)
(2)由
(1)知,U=离子打在Q点时r=L,U=
离子打在N点时r=L,U=,则电压的范围
≤U≤
(3)由
(1)可知,r∝
由题意知,第1次调节电压到U1,使原本Q点的离子打在N点
=
此时,原本半径为r1的打在Q1的离子打在Q上=
解得r1=L
第2次调节电压到U2,原本打在Q1的离子打在N点,原本半径为r2的打在Q2的离子打在Q上,则:
=,=
解得r2=L
同理,第n次调节电压,有rn=L
检测完整,有rn≤
解得n≥-1≈2.8
最少次数为3次.
答案
(1)
(2)≤U≤ (3)3次
5.(2014·
浙江理综,25,22分)离子推进器是太空飞行器常用的动力系统.某种推进器设计的简化原理如图1所示,截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区.Ⅰ为电离区,将氙气电离获得1价正离子;
Ⅱ为加速区,长度为L,两端加有电压,形成轴向的匀强电场.Ⅰ区产生的正离子以接近0的初速度进入Ⅱ区,被加速后以速度vM从右侧喷出.
Ⅰ区内有轴向的匀强磁场,磁感应强度大小为B,在离轴线R/2处的C点持续射出一定速率范围的电子.假设射出的电子仅在垂直于轴线的截面上运动,截面如图2所示(从左向右看).电子的初速度方向与中心O点和C点的连线成α角(0<
α≤90°
).推进器工作时,向Ⅰ区注入稀薄的氙气.电子使氙气电离的最小速率为v0,电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大,电离效果越好.已知离子质量为M;
电子质量为m,电荷量为e.(电子碰到器壁即被吸收,不考虑电子间的碰撞)
(1)求Ⅱ区的加速电压及离子的加速度大小;
(2)为取得好的电离效果,请判断Ⅰ区中的磁场方向(按图2说明是“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”);
(3)α为90°
时,要取得好的电离效果,求射出的电子速率v的范围;
(4)要取得好的电离效果,求射出的电子最大速率vmax与α角的关系.
解析
(1)由动能定理得Mv=eU①
U=,2e)②
a==e=,2L)③
(2)由题知电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大,电离效果越好,则题图2中显然电子往左半部偏转较好,故Ⅰ区中磁场方向应垂直纸面向外④
(4)电子运动轨迹如图所示,
OA=R-r,OC=,AC=r
根据几何关系得r=⑨
由⑥⑨式得vmax=
答案
(1),2e) ,2L)
(2)垂直纸面向外
(3)v0≤v< (4)vmax=
6.(2014·
重庆理综,9,18分)如图所示,在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场,同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场,磁感应强度大小分别为B和2B,KL为上、下磁场的水平分界线,在NS和MT边界上,距KL高h处分别有P、Q两点,NS和MT间距为1.8h.质量为m、带电荷量为+q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域,在两边界之间做圆周运动,重力加速度为g.
(1)求电场强度的大小和方向.
(2)要使粒子不从NS边界飞出,求粒子入射速度的最小值.
(3)若粒子能经过Q点从MT边界飞出,求粒子入射速度的所有可能值.
解析
(1)设电场强度大小为E.
由题意有mg=qE
得E=,方向竖直向上.
(2)如图1所示,设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为Vmin,对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r1和r2,圆心的连线与NS的夹角为φ.
由r=
有r1=,r2=r1
由(r1+r2)sinφ=r2
r1+r1cosφ=h
vmin=(9-6)
答案
(1),方向竖直向上
(2)(9-6)
(3)见解析
7.(2014·
大纲全国,25,20分)如图,在第一象限存在匀强磁场,磁感应强度方向垂直于纸面(xy平面)向外;
在第四象限存在匀强电场,方向沿x轴负向.在y轴正半轴上某点以与x轴正向平行、大小为v0的速度发射出一带正电荷的粒子,该粒子在(d,0)点沿垂直于x轴的方向进入电场.不计重力.若该粒子离开电场时速度方向与Y轴负方向的夹角为θ,求
(1)电场强度大小与磁感应强度大小的比值;
(2)该粒子在电场中运动的时间.
(2)联立⑤⑥式得
t=⑧
答案
(1)v0tan2θ
(2)
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